小学几何之蝴蝶定理大全

小学几何之蝴蝶定理大全
一、基本知识点
定理1:同一三角形中，两个三角形的高相等，则面积之比
S i : S2 = a : b
a b
等于对应底边之比。

定理2:等分点结论(鸟头定理)
如图，三角形△AED的面积占三角形△ ABC的面积的
20
定理3:任意四边形中的比例关系(蝴蝶定理)
1) S i : S2 =S4 : S3 或S i X S3 = S2X S4
上、下部分的面积之积等于左、右部分的面积之积
2 ) AO： OC = (S i+ S2)：( S4+ S3)
梯形中的比例关系(梯形蝴蝶定理)
1) S i : S3 =a2: b2
上、下部分的面积比等于上、下边的
平方比
2) 左、右部分的面积相等
B b C
3) S i : S3 : S2 : S4 =a2: b2: ab : ab
4) S的对应份数为(a+b) 2
定理4:相似三角形性质
2) S i : S 2 = a 2 : A 2
定理5:燕尾定理
S A
ABG
:S A AGC : =S A BGE : :S A GEC =BE : EC
S A BGA : :S A BGC : =S A AGF :
S A GFC =AF : FC S A AGC : :S A BCG : =S A ADG
:S A DGB
=AD :DB
二、例题分析
例1、如图，AD DB , AE EF FC ，已知阴影部分面积为 5平方厘米, 多少平方厘米？
ABC 的面积是
例2、有一个三角形 ABC 的面积为1，如图，且AD - AB , BE
2
1
例3、如图，在三角形 ABC 中，，D 为BC 的中点，E 为AB 上的一点，且 BE=—AB,已知四边
3
例4、例1如图，ABCD 是直角梯形，求阴影部分的面积和。

（单位：厘米）
例5、两条对角线把梯形 ABCD 分割成四个三角形。

已知两个三角形的面积（如图所示） 另两个三角形的面积各是多少？（单位：平方厘米）
例6、如下图，图中 BO=2DO 阴影部分的面积是 4平方厘米，求梯形 ABCD 勺面积是多少平
三角形DEF 的面积.
-BC , CF
3
-CA ，求 4
形EDCA 勺面积是35,求三角形 ABC 的面积.
，求
B
方厘米?
例7、（小数报竞赛活动试题）
如图，某公园的外轮廓是四边形ABCD ,被对角线AC、BD分
成四个部分，△ AOB 面积为1平方千米，△ BOC面积为2平方千米，
△ COD的面积为3平方千米，公园陆地的
面积是6.92平方千米，求人工湖的面积是多少平方千米？
例8、如图：在梯形ABCD中，三角形AOD的面积为9平方厘米25
平方厘米，求梯形ABCD的面积。

例9、（2003北京市第十九届小学生“迎春杯”数学竞赛）
四边形ABCD的对角线AC与BD交于点O （如图）所示。

1
如果三角形ABD的面积等于三角形BCD的面积的丄，且
3
AO 2，DO 3，那么CO的长度是DO的长度的
______________________________________________________________
倍。

例10、左下图所示的—'ABCD的边BC长10cm,直角三角形BCE的直角边EC长8cm,已知两块
A
阴影部分的面积和比△ EFG的面积大10cn?，求CF的长。

例11、长方形ABCD的面积为36平方厘米，E、F、G分别为边AB、BC、CD的中点，H 为AD边上的任一点。

求图中阴影部分的面积是多少?
例12、如图，甲、乙两图形都是正方形，它们的边长分别是分的
面积。

例13、如图，大正方形ABCD的边长为6,依以下条件求三角形
例14、（右图是一块长方形耕地，它由四个小长方形拼合而成，其中三个小长方形的面积分别为15、18、30公顷，问图中阴影部分的面积是多少？
15
a
IS
c a
■ b 3C
例15、如下图，已知D是BC的中点，E是CD的中点，F是AC的中点，且ADG的面积比U L
10厘米和12厘米，求阴影部
BDF的面
积。

EFG 的面积大6平方厘米。

ABC 的面积是多少平方厘米 ？
二、练习题
1如图，四边形 ABCD 中, AC 和BD 相交于0点，三角形ADC 的面积=5,三角形D00的面积 =4,三角形 AOB 的面积=15，求三角形BOC 的面积是多少？
2、如图所示，BD, CF 将长方形 ABCD 分成 4块，△ DEF 的面积是4 cm 2，△ CED 的面积是 6cm 2。

问：四边形ABEF 的面积是多少平方厘米？
3、如右图BE=1 BC, CD=1 AC 那么三角形 AED 的面积是三角形 ABC 面积的 ____________
3
4
C
D
4.如图，AKD 是直角梯脱肋二5厘米，DM 厘米，三角形WC 的
面积是1■汙 方厘光则阴貓強就是—平方厘米
4爾
5、如图所示，已知 ABCD 是长方形，AE : ED = CF : FD = 1 : 2 ，三角形DEF 的面积是16
6、如右图，ABCD 是梯形，ABED 是平行四边形，己知三角面积如下图所示
（单位：平方
厘米），阴影部分的面积是多少平方厘米。

7、正方形ABFD 的面积为100平方厘米，直角三角形 ABC 的面积，比直角三角形（CDE 的面积大30平方厘米，求 DE 的长是多少？
8、已知 ABC 中，AB AC 12cm ， ABC 的面积是 cm 2，P 是BC 上任意一点，P
到
平方厘米，求三角形 ABE 的面积是多少平方厘米
?
A
n
AB, AC的距离是x,y，那么x y -
9、如右图所示，已知三角形ABC面积为1 ,延长AB至D,使BD=AB延长BC至E,使CE=2BQ 延长CA至F,使AF=3AC求三角形DEF的面积。