21-22_A-离散傅里叶变换-定义与推导解析

时域连续, 频域离散 a. 傅里叶级数(FS): 时域周期,频域非周期 时域离散 , 频域离散 b. 离散傅里叶级数(DFS): 时域周期,频域周期
c. 连续傅里叶变换(FT): 时域连续, 频域连续 时域非周期,频域非周期 d. 序列的傅里叶变换(DTFT): 时域离散, 频域连续 时域非周期,频域周期
sin(

k)
设变换区间N=16， 则：
X (k ) x(n )W8kn e
n 0 N 0 7 3 j 2 kn 8
e
3 j k 8
sin( k ) 4 , k 0,1, ,15 sin( k ) 16

DFT和ZT/FT的关系 设序列x(n)的长度为N， 其Z变换和DFT分别为：
时域的连续性 对应 频域的非周期性
2. 周期序列的傅里叶级数(DFS)
设 x ( n ) 是以N为周期的周期序列，由于周期 性， 可以展成傅里叶级数：
x(n )
~
~
k


Biblioteka Baidu
ak e
j
2 kn N
式中ak是傅里叶级数的系数。
-∞<k<∞
x(k ) Nak 令：
~
ak也是周期序 列，周期为N
- 离散傅里叶级数 - 离散傅里叶变换的定义与推导
- 离散傅里叶变换的基本性质
- 频率域采样 - 离散傅里叶变换的应用举例
1. 周期函数的傅里叶级数(FS)
周期为Tp的周期性连续时间函数 x(t) 可展成 傅里叶级数X (jkW0) ,是离散非周期性频谱 , 表 示为:
例：
时域的周期时间函数 对应 频域的离散频谱 （频域采样对应时域的周期延拓）
必须在所有(无限多个)频率上来进行计算。
克服上述第一个局限的方法是：假设 x(n)是一个长为N的有限长序列，如果x(n) 不是有限长的，那么可以从中截取足够长 的一段，使其成为有限长序列，且不会给 计算结果带来很大误差。 从理论上来说，为了使x(n)的DTFT收 敛，x(n)必须是绝对可和的序列，当n趋近 于无穷大时，x(n)值趋近于0。所以上述的 做法可行。

表明序列x(n)的N点 DFT是x(n)的z变换在 单位圆上的N点等间 0 隔采样。 k N-1
或：
说明X(k)为x(n)的傅 里叶变换X(e jω)在区 间[0,2]上的N点等 间隔采样。
上例中，DFT变换区间长度 N分别取8、16，X (k)的幅度曲 线图如图所示。
因此，对同一序列x(n) ： （1）DFT的变换区间长度N不同，变换结果不同。 （2）当N足够大|X (k)|的包络可逼近|X(e jω)|曲线。 （3）|X (k)|表示ωk=(2π/N)k频点的幅度谱线。
~
~
例: 设x(n)=R4(n)，将x(n)以N=8为周期进行 周期延拓，得到周期序列 x(n) ，周期为8， 求DFS［ x(n) ］。 π 解: j k 4 2π π 7 3 1 e 4 j kn j kn X (k ) x(n)e 8 e 4 π j k n 0 n 0
[例] x(n)=R4(n) ，求x(n)的8点和16点DFT。
解： 设变换区间N=8， 则：
X (k ) x ( n )W8kn
n 0 3 j k 8 7 N 0

3
e
j
2 kn 8
2 N长度有关 e 的结果与 , k 0,1, , 7 DFT sin( 8 k)
N 1
j
2 nk N
2.3. DFT的定义
设x(n)是一个长度为M的有限长序列， 则x(n)的N点 离散傅里叶变换定义为:
由定义知： DFT使有限长时域离散序列 与有限长频域离散序列 建立起对应关系
X(k)的离散傅里叶逆变换为:
式中：WN=
，N为DFT变换区间长度，N≥M。
通常称(1)式和(2)式为离散傅里叶变换对。
X ( z ) ZT [ x(n )] x(n ) z n
n 0 N 1
N点DFT的物理意义是对 N 1 kn x(n) [0，2π] X 的频谱在 (k ) DFT [ x上进 (n )] x(n )WN n 0 行N点等间隔采样 即对序列的频谱离散化 比较上面二式可得关系式：
上式中 是一个以N为周期的周期序列， 称为 的离散傅里叶级数，用DFS表示。
将周期序列分解成N次谐波：
基波分量的频率是2π/N， 幅度是 (1/ N ) X (1) 。第k次谐波频 率为ωk=(2π/N)k, k=0, 1, 2 … N-1， 幅度为 (1/ N ) X (k ) 。 所以：一个周期序列可以用其DFS表示它的频谱分布规律。
n 0
N 1
j
2 nk N
k 0,1,2 N 1
DTFT:
2.2. 从DFS推导DFT
把DFS的定义式两边取主值区间 （各取一个周期）, 就得到关于有限长 序列的时频域的对应变换对 -------离散 傅里叶变换(DFT).
DFS:
DFT:
X ( k ) x ( n)e
n 0
克服上述第二个局限的方法是：只计算 一个频率周期内N个等间隔频率点上的变换 值。 jw X ( e ) 本身就是以2п 这样做的合理性在于 为周期的函数。
根据以上分析，将DTFT的变换式修改 成如下可以实际进行计算的形式，即为有限 长序列x(n)的离散傅里叶变换(DFT)：
DFT:
X ( k ) x ( n)e
2. 离散傅里叶变换(DFT)的推导 2.1. DFT可以看成是DTFT的特例
序列x(n)的DTFT：
从计算的角度来看，上式受到两大实际限制：
a. 如果x(n)是无限长序列，那么计算每个频率 上的 X (e jw ) 都需要无限多次的乘法和加法。
jw X ( e ) 是数字频率w的连续函数，所以 b. 由于
1 e
4
e
3 j πk 8
π k 2 π sin k 8 sin
其幅度特性
X (k )
如图 (b)所示。
- 离散傅里叶级数 - 离散傅里叶变换的推导与定义
- 离散傅里叶变换的基本性质
- 频率域采样 - 离散傅里叶变换的应用举例
1. 傅里叶变换的几种形式 通过傅里叶变换，可以建立以时间 t 为 自变量的信号与以频率 f 为自变量的频率函 数(频谱)之间的变换关系. t 或 f 取连续还是离散值, 可形成各种不 同形式的傅里叶变换对。