第六章静电学习题课讲解
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Ub U R1b U R2b q1 q2 450V
40b 40b
R2，q2 R1，q1
a
b
第六章、静电学
6-22、点电荷q=4×10-10C放入不带电的导体球壳的球心处， 球壳内外半径分别为R1=2cm，和R2=3cm，求（1）、导体 球壳的电势；（2）、离球心r=1cm处的电势；（3）、把点
l E dl 0
E是dl处的电场强度，积分遍及整个环路。
三、在静电场中移动电荷q0时电场力作功
Aab q0 (Ua Ub )
四、电场强度和电势的关系
E U
Ex
U x
,
第六章、静电学
【解题指导】：
一、计算电势的两种方法：
1. 从电势的定义出发，
U p
少功？
第六章、静电学
解：先求o点和c点的电势
（1） （2）
Uo
U ao
Ubo
q
4π 0l
q
4π 0l
0
Uc
U ac
Ubc
q
4π 0
3l
q
4π 0l
q
6π 0l
W
q0 (U o
Uc)
qq0
6π 0l
W
q0 (Uc
0)
qq0
6π 0l
R2，q2 R1，q1
a
b
R2 q1 dr q1 q2 dr
a 4 0r 2
R2 4 0r 2
q1 ( 1 1 ) q1 q2 ( 1 ) 900V
4 0 a R2 4 0 R2
Ub
E
d r
b
b
q1 q2
4 0r 2
第六章、静电学
6-19、一均匀带电线的形状如图所示，电荷线密度为λ ，AB 和CD段的长度均为R。求圆心O点的电势。
解：O点的电势是直线段AB、CD和半圆
弧BC分别在O点产生的电势的叠加。
其中
U BC
πR 4π 0R
4 0
按上题方法可得
U AB UCD 4π 0 ln 2
dr
q1 q2
4 0
(1) b
450V
第六章、静电学
由电势叠加原理求解——对球壳类问题求解尤其方便！！
！
点电荷的电势
Ur
q
4 0r
R
q
带电球面内一点的电势（r<R） U r 4 0R
R
带电球面外一点的电势（r>R）
Ur
q
4 0r
第六章、静电学
【解题指导】：
1、均匀带电导体球（壳）内外一点的场强和电势
导体球外：
E
q
4 0r 2
,
U q
4 0r
导体球内（不论空心还是实心）:
电场E为零。
电势U不为零，导体是等势体，球内一点电势等于球表面的电
势。
U q
4 0R
第六章、静电学
解二：叠加原理
U a U R1a U R2a q1 q2 900V
40a 40R2
后，求上述P点的电势。
解：（1）根据电势叠加原理
UP
q
4π 0r
600
V
（2）把A和B用导线连接后，A球的电量全部分布到
球壳B上，则
UP
q
4π 0 R2
450
V
第六章、静电学
6-18、一长为l的细棒AB上均匀带有电量Q，试计算细棒延 长线上与B端相距a的P点的电势。
在导线上任取一线元dx，
带电量dq dx
在P点产生的电势为
dU dx 4π 0 x
积分可得P点电势
U dU la dx ln l a
a 4π0 x 4π0 a
故
U 4 q q 1.44 103 V
4π0r π0r
（2）电场力做功
W q0 (U 0) 1.44 106 J
第六章、静电学
6-16、在图中a、b两处放有电量分别为＋q和－q的点电荷， ab间距为2l。 试问：（1）、将以正试验电荷q0从O点沿半 圆弧移动到c点，电场力对它做了多少功？（2）将一负试验 电荷从c点沿ac的延长线移动到无穷远，电场力对它做了多
【基本概念和规律】：
一、静电场的电势
1、定义： U p
p0
(U
0)
E
dl (
p
E dl )
p
2、电势差
b
U a Ub
E dl
a
3、点电荷的电势
U
p
q
4 0r
4、电荷连续分布的带电体的电势
U p
dq
4 0r
第六章、静电学
二、静电场的基本定理之一－－环路定理
p0
(U
0)
E
dl (
p
E dl )
p
Leabharlann Baidu
注意：(1)、要分段积分，不同的积分段，E的表达式不同。
(2)、要选择一条方便的积分路线。
第六章、静电学
2. 从点电荷的电势公式出发，运用叠加原理。
（1）将带电体的电势看成由许多点电荷或电荷元产生电势 的叠加
U
Qi
i 4 0ri
电荷移至离球心1cm处，再求导体球壳的电势。
解：（1）球壳产生静电感应，根据高斯定理和静电平衡 条件，可判断球壳内表面带电-q，再根据电荷守恒，可判
断球壳外表面带电+q，可以应用电势叠加原理求各点
的电势。
导体球壳电势
U1
U q1
U内1
U 外1
q
4π 0r
q
4π 0r
q
4π 0R2
120
V
r=1.0cm处的电势
U2
Uq2
U内2
U外2
q 4π 0 r
q 4π 0R1
q 4π 0R2
300
V
第六章、静电学
6-24、半径0.1m的金属球A带电q=10-9C，一原来不带电的半 径为0.2m的薄金属球壳B同心地罩在A球的外面。（1）、求 离球心O为0.15m处P点的电势；（2）、把A和B用导线连接
三部分叠加
U U BC U AB UCD 4π 0 (2 ln 2 π)
第六章、静电学
6-20
解一： 0
E
q1
4 0
r
2
q1 q2
4 0r 2
Ua a E dr
(r R1) (R1 r R2 )
(r R2 )
U p
dq
4 0r
r为dq到p点的距离
第六章、静电学
6-15、四个点电荷各带电量 2×10-9C，放在一正方形的四个顶点上，各 点与正方形中心O点相距5cm。问：
（1）、O点的电势是多少？（2）、将点电荷q0=1×10-9C从无限远处
移至O点，电场力需做功多少？
解：（1）O点的电势是各点电荷在该处产生的电势的代数和，
40b 40b
R2，q2 R1，q1
a
b
第六章、静电学
6-22、点电荷q=4×10-10C放入不带电的导体球壳的球心处， 球壳内外半径分别为R1=2cm，和R2=3cm，求（1）、导体 球壳的电势；（2）、离球心r=1cm处的电势；（3）、把点
l E dl 0
E是dl处的电场强度，积分遍及整个环路。
三、在静电场中移动电荷q0时电场力作功
Aab q0 (Ua Ub )
四、电场强度和电势的关系
E U
Ex
U x
,
第六章、静电学
【解题指导】：
一、计算电势的两种方法：
1. 从电势的定义出发，
U p
少功？
第六章、静电学
解：先求o点和c点的电势
（1） （2）
Uo
U ao
Ubo
q
4π 0l
q
4π 0l
0
Uc
U ac
Ubc
q
4π 0
3l
q
4π 0l
q
6π 0l
W
q0 (U o
Uc)
qq0
6π 0l
W
q0 (Uc
0)
qq0
6π 0l
R2，q2 R1，q1
a
b
R2 q1 dr q1 q2 dr
a 4 0r 2
R2 4 0r 2
q1 ( 1 1 ) q1 q2 ( 1 ) 900V
4 0 a R2 4 0 R2
Ub
E
d r
b
b
q1 q2
4 0r 2
第六章、静电学
6-19、一均匀带电线的形状如图所示，电荷线密度为λ ，AB 和CD段的长度均为R。求圆心O点的电势。
解：O点的电势是直线段AB、CD和半圆
弧BC分别在O点产生的电势的叠加。
其中
U BC
πR 4π 0R
4 0
按上题方法可得
U AB UCD 4π 0 ln 2
dr
q1 q2
4 0
(1) b
450V
第六章、静电学
由电势叠加原理求解——对球壳类问题求解尤其方便！！
！
点电荷的电势
Ur
q
4 0r
R
q
带电球面内一点的电势（r<R） U r 4 0R
R
带电球面外一点的电势（r>R）
Ur
q
4 0r
第六章、静电学
【解题指导】：
1、均匀带电导体球（壳）内外一点的场强和电势
导体球外：
E
q
4 0r 2
,
U q
4 0r
导体球内（不论空心还是实心）:
电场E为零。
电势U不为零，导体是等势体，球内一点电势等于球表面的电
势。
U q
4 0R
第六章、静电学
解二：叠加原理
U a U R1a U R2a q1 q2 900V
40a 40R2
后，求上述P点的电势。
解：（1）根据电势叠加原理
UP
q
4π 0r
600
V
（2）把A和B用导线连接后，A球的电量全部分布到
球壳B上，则
UP
q
4π 0 R2
450
V
第六章、静电学
6-18、一长为l的细棒AB上均匀带有电量Q，试计算细棒延 长线上与B端相距a的P点的电势。
在导线上任取一线元dx，
带电量dq dx
在P点产生的电势为
dU dx 4π 0 x
积分可得P点电势
U dU la dx ln l a
a 4π0 x 4π0 a
故
U 4 q q 1.44 103 V
4π0r π0r
（2）电场力做功
W q0 (U 0) 1.44 106 J
第六章、静电学
6-16、在图中a、b两处放有电量分别为＋q和－q的点电荷， ab间距为2l。 试问：（1）、将以正试验电荷q0从O点沿半 圆弧移动到c点，电场力对它做了多少功？（2）将一负试验 电荷从c点沿ac的延长线移动到无穷远，电场力对它做了多
【基本概念和规律】：
一、静电场的电势
1、定义： U p
p0
(U
0)
E
dl (
p
E dl )
p
2、电势差
b
U a Ub
E dl
a
3、点电荷的电势
U
p
q
4 0r
4、电荷连续分布的带电体的电势
U p
dq
4 0r
第六章、静电学
二、静电场的基本定理之一－－环路定理
p0
(U
0)
E
dl (
p
E dl )
p
Leabharlann Baidu
注意：(1)、要分段积分，不同的积分段，E的表达式不同。
(2)、要选择一条方便的积分路线。
第六章、静电学
2. 从点电荷的电势公式出发，运用叠加原理。
（1）将带电体的电势看成由许多点电荷或电荷元产生电势 的叠加
U
Qi
i 4 0ri
电荷移至离球心1cm处，再求导体球壳的电势。
解：（1）球壳产生静电感应，根据高斯定理和静电平衡 条件，可判断球壳内表面带电-q，再根据电荷守恒，可判
断球壳外表面带电+q，可以应用电势叠加原理求各点
的电势。
导体球壳电势
U1
U q1
U内1
U 外1
q
4π 0r
q
4π 0r
q
4π 0R2
120
V
r=1.0cm处的电势
U2
Uq2
U内2
U外2
q 4π 0 r
q 4π 0R1
q 4π 0R2
300
V
第六章、静电学
6-24、半径0.1m的金属球A带电q=10-9C，一原来不带电的半 径为0.2m的薄金属球壳B同心地罩在A球的外面。（1）、求 离球心O为0.15m处P点的电势；（2）、把A和B用导线连接
三部分叠加
U U BC U AB UCD 4π 0 (2 ln 2 π)
第六章、静电学
6-20
解一： 0
E
q1
4 0
r
2
q1 q2
4 0r 2
Ua a E dr
(r R1) (R1 r R2 )
(r R2 )
U p
dq
4 0r
r为dq到p点的距离
第六章、静电学
6-15、四个点电荷各带电量 2×10-9C，放在一正方形的四个顶点上，各 点与正方形中心O点相距5cm。问：
（1）、O点的电势是多少？（2）、将点电荷q0=1×10-9C从无限远处
移至O点，电场力需做功多少？
解：（1）O点的电势是各点电荷在该处产生的电势的代数和，