18-第18讲 相关变化率、曲率、经济应用解析
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此外, V 4 t , 故有
2
12 d h 16 2. dt h
h 3 4 t . 对此式两边关于 t 求导, 得
故当水深 h 5 米时, 其表面上升的速度为
dh 16 16 0.204 (m/ 分) . 2 d t 5 25
例3
设一贴靠在铅直的墙上 ,
y y
曲率的概念
y
设 y f ( x) C 1.
y f ( x)
M
点 M 沿曲线运动到点
M 时 , 相应地切线转
过角度 (称为转角),
M
O
弧的改变量为s . 称
Байду номын сангаасk s
x
单位弧长上的转角
为 MM 的平均曲率. 其中, 与 s 具有方向性 .
︵
d k lim k lim s 0 s 0 s ds
y x2.
例2
向一个上顶的直径为 8 米, 深为8 米的圆锥形容器内匀速
注水. 若注水的速度为 4 m3 /分, 求当水深 5 米时水表面上
升的速度?
解 设注水t 分钟后, 水深为h 米. 此时, 水面的直径也是h 米,
1 h 3 容器内水的体积为 V h h . 3 2 12
解
M
曲率的计算公式
设曲线方程为 y f ( x) , f ( x) 二阶可导 ,
则在曲线上点 M ( x, y ) 处的曲率为
y k 2 3 (1 y ) 2
证
y
y f ( x)
如图所示 , 曲线在
M
M
点 M 处切线的斜率为 y tan
故
arctan y
O
长度为 5 米的梯子的下端以 3 m/秒 的速度离开墙脚滑动 . 问何时梯子上下两端滑 动的 速度大小相同？
dy dt
5m
dx dt
x
x
解 引入坐标系如图所示 .
设在时刻 t 时, 梯子下端离墙脚 x (m), 上端离墙脚 y (m) . 显然, x, y 均为 t 的函数 , 且有
dx 3 (m/秒) , dt
将它们代入曲率计算公式中即可得：
| y( ) x( ) y( ) x( ) | k 2 2 3 [( x( )) ( y( ) )]2
椭圆 x a cos , y b sin (a b 0) 上 ,
例6 哪一点曲率最大 , 哪一点曲率最小 .
高等院校非数学类本科数学课程
大 学 数 学 （一 ）
—— 一元微积分学
第十八讲 一元微积分的应用
—— 相关变化率、曲率、经济应用
一、 相关变化率 .
在实际问题中，往往是同时出现几个变量. 变量
之间有确定的关系，并且它们都是另外某一个变量的
函数( 例如，都是时间 t 的函数. ) 从它们对这另一个 变量的变化率之间的关系出发，由已知的一个或几个 变量的变化率求出一个变量的未知的变化率，就是所 谓的相关变化率问题.
例1 解
加热一金属圆板 , 其半径以 0.01 cm/秒的速度均匀增加 . 问当半径为 200 cm 时, 圆板面积的增加率为多 少?
设圆板的半径为 x , 面积为 y, 则
(1) dx 显然, x, y 都是 t 的函数, 且 0.01 cm/ 秒 . dt dy 现要求 x 200 cm 时, ? dt 将 (1) 式两边关于 t 求导, 得 dy dx 2 x , dt dt 故在 x 200 时, 圆板面积的增加率为 dy 2 200 0.01 4 (cm/ 秒). dt
( x R ) .
解
y k 0 3 (1 y2 ) 2
直线上任意一点处的曲率均为零 .
参数方程下曲率的计算公式
x x( ) 若 , x( ) , y ( ) 二阶可导 , 则 y y ( )
d y y( ) , d x x( )
d 2 y y( ) x( ) y( ) x( ) 2 3 dx ( x ( ))
dy d y 和 : 利用参数方程求导法求出 2 dx dx dy dx b cos , a sin , d d
而 x 2 y 2 52 , 故 x y 5 5 2 . 2 2
x
5 2 即当 x y 时, 梯子上下端滑动速度大 小相同. 2
二、曲率
我们已经讨论过曲线的凹凸性 , 知道如 何判断曲线的弯曲方向 , 但是还不能描述和 判定曲线的弯曲程度 . 而在许多实际问题中 都必须考虑曲线的弯曲程度 , 例如 , 道路的 弯道设计 , 梁的弯曲程度 , 曲线形的切削工 具的设计等等 . 你认为应该如何描述 曲线的弯曲程度 ?
称为曲线 y f ( x) 在点 M 处的曲率 .
又是平均值 极限的方法 .
例4
求半径为 R 的圆上任意一点处的曲率 .
如图所示 , 在圆上任取一点 M , 则 ︵ s || MM || R 1 O 故 lim lim s 0 R s 0 s R R 即圆上点的曲率处处相同： M 1 k R 半径越小的圆 , 弯曲得越厉害 .
O
y d dx 2 1 y
y d 1 d y 2 d x 1 y d x 1 y2
x
又
ds
2 1 y d x
d y 从而 k 3 2 ds (1 y ) 2
例5
求直线 y a x b 上任意一点处的曲率 . y a , y 0 ,
x 2 y 2 52 . (1)
注意到速度的方向性 , 我们的问题是
求 x, y 的值 , 使
y
dy dt
5m
dy 3 (m/ 秒) . (2) dt
2 2 2
y
O
dx dt
x
对 x y 5 两边关于 t 求导, 得 dx dy 2x 2y 0, dt dt dy x dx 即有 . dt y dt dx x 由 (2) 式及 3 (m/秒) , 得 3 3 , 即 x y. dt y
2
12 d h 16 2. dt h
h 3 4 t . 对此式两边关于 t 求导, 得
故当水深 h 5 米时, 其表面上升的速度为
dh 16 16 0.204 (m/ 分) . 2 d t 5 25
例3
设一贴靠在铅直的墙上 ,
y y
曲率的概念
y
设 y f ( x) C 1.
y f ( x)
M
点 M 沿曲线运动到点
M 时 , 相应地切线转
过角度 (称为转角),
M
O
弧的改变量为s . 称
Байду номын сангаасk s
x
单位弧长上的转角
为 MM 的平均曲率. 其中, 与 s 具有方向性 .
︵
d k lim k lim s 0 s 0 s ds
y x2.
例2
向一个上顶的直径为 8 米, 深为8 米的圆锥形容器内匀速
注水. 若注水的速度为 4 m3 /分, 求当水深 5 米时水表面上
升的速度?
解 设注水t 分钟后, 水深为h 米. 此时, 水面的直径也是h 米,
1 h 3 容器内水的体积为 V h h . 3 2 12
解
M
曲率的计算公式
设曲线方程为 y f ( x) , f ( x) 二阶可导 ,
则在曲线上点 M ( x, y ) 处的曲率为
y k 2 3 (1 y ) 2
证
y
y f ( x)
如图所示 , 曲线在
M
M
点 M 处切线的斜率为 y tan
故
arctan y
O
长度为 5 米的梯子的下端以 3 m/秒 的速度离开墙脚滑动 . 问何时梯子上下两端滑 动的 速度大小相同？
dy dt
5m
dx dt
x
x
解 引入坐标系如图所示 .
设在时刻 t 时, 梯子下端离墙脚 x (m), 上端离墙脚 y (m) . 显然, x, y 均为 t 的函数 , 且有
dx 3 (m/秒) , dt
将它们代入曲率计算公式中即可得：
| y( ) x( ) y( ) x( ) | k 2 2 3 [( x( )) ( y( ) )]2
椭圆 x a cos , y b sin (a b 0) 上 ,
例6 哪一点曲率最大 , 哪一点曲率最小 .
高等院校非数学类本科数学课程
大 学 数 学 （一 ）
—— 一元微积分学
第十八讲 一元微积分的应用
—— 相关变化率、曲率、经济应用
一、 相关变化率 .
在实际问题中，往往是同时出现几个变量. 变量
之间有确定的关系，并且它们都是另外某一个变量的
函数( 例如，都是时间 t 的函数. ) 从它们对这另一个 变量的变化率之间的关系出发，由已知的一个或几个 变量的变化率求出一个变量的未知的变化率，就是所 谓的相关变化率问题.
例1 解
加热一金属圆板 , 其半径以 0.01 cm/秒的速度均匀增加 . 问当半径为 200 cm 时, 圆板面积的增加率为多 少?
设圆板的半径为 x , 面积为 y, 则
(1) dx 显然, x, y 都是 t 的函数, 且 0.01 cm/ 秒 . dt dy 现要求 x 200 cm 时, ? dt 将 (1) 式两边关于 t 求导, 得 dy dx 2 x , dt dt 故在 x 200 时, 圆板面积的增加率为 dy 2 200 0.01 4 (cm/ 秒). dt
( x R ) .
解
y k 0 3 (1 y2 ) 2
直线上任意一点处的曲率均为零 .
参数方程下曲率的计算公式
x x( ) 若 , x( ) , y ( ) 二阶可导 , 则 y y ( )
d y y( ) , d x x( )
d 2 y y( ) x( ) y( ) x( ) 2 3 dx ( x ( ))
dy d y 和 : 利用参数方程求导法求出 2 dx dx dy dx b cos , a sin , d d
而 x 2 y 2 52 , 故 x y 5 5 2 . 2 2
x
5 2 即当 x y 时, 梯子上下端滑动速度大 小相同. 2
二、曲率
我们已经讨论过曲线的凹凸性 , 知道如 何判断曲线的弯曲方向 , 但是还不能描述和 判定曲线的弯曲程度 . 而在许多实际问题中 都必须考虑曲线的弯曲程度 , 例如 , 道路的 弯道设计 , 梁的弯曲程度 , 曲线形的切削工 具的设计等等 . 你认为应该如何描述 曲线的弯曲程度 ?
称为曲线 y f ( x) 在点 M 处的曲率 .
又是平均值 极限的方法 .
例4
求半径为 R 的圆上任意一点处的曲率 .
如图所示 , 在圆上任取一点 M , 则 ︵ s || MM || R 1 O 故 lim lim s 0 R s 0 s R R 即圆上点的曲率处处相同： M 1 k R 半径越小的圆 , 弯曲得越厉害 .
O
y d dx 2 1 y
y d 1 d y 2 d x 1 y d x 1 y2
x
又
ds
2 1 y d x
d y 从而 k 3 2 ds (1 y ) 2
例5
求直线 y a x b 上任意一点处的曲率 . y a , y 0 ,
x 2 y 2 52 . (1)
注意到速度的方向性 , 我们的问题是
求 x, y 的值 , 使
y
dy dt
5m
dy 3 (m/ 秒) . (2) dt
2 2 2
y
O
dx dt
x
对 x y 5 两边关于 t 求导, 得 dx dy 2x 2y 0, dt dt dy x dx 即有 . dt y dt dx x 由 (2) 式及 3 (m/秒) , 得 3 3 , 即 x y. dt y