20-不定积分的第一类换元积分法

例6
求

1 ln x (x ln x)2
dx.
解
1 ln x
(x ln x)2 dx


(x
1 ln
x)2
d(xlnx)
u x ln x,
du (1 ln x)dx.
1 C. x ln x
9
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f [j(x)]j(x)dx f [j(x)]dj(x), u j(x) ?
通过凑微分确定 u
例7

ln x x
dx
ln x d(ln x)
1 ln 2 x C. 2
例8
x
1 x4 dx
1
2
1
1 (x2 )2
d(x2 )
1 arctan(x2 ) C. 2
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1 dx d(ln x) x
xdx 1 d(x2 ) 2
x2, d(1 x2) 2 xdx.
原式 x
u ( 1 )du 2x
dx 1 du, 2x
1212
1
u u2
d12 duu11uu23 33
23CC11(1(1xx2)223) 33
3
2CC

du


1
u
3 2
3

C


1
(1
x2
)
3 2
4
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一、第一类换元法
定理1(换元积分公式)
设 F 是 f 的一个原函数, u=j(x)可导, 则有
f [j( x)]j( x)dx [ f (u)du]uj( x)
换元积分过程
f [j( x)]j( x)dx 凑微分: j( x)dx dj( x)
f [j( x)]dj( x) 换元: f (u)du F(u) C
F[j( x)] C
f [j( x)]dj( x) F[j( x)] C
关键点:如何确定中间变量 u=j(x)?
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f [j(x)]j(x)dx f [j(x)]dj(x), u j(x) ?
定理1(换元积分公式)
设 F 是 f 的一个原函数, u=j(x)可导, 则有
f [j( x)]j( x)dx [ f (u)du]uj( x)
[F(j( x))] F(u)j( x) f (j( x))j( x)
f [j( x)]j( x)dx F[j( x)] C [ f (u)du]uj( x)
sin 2x 2cos2x cos2x
解决方法 将积分变量换成 2x. 因为 dx 1 d(2x)
令 t 2x dx 1 dt,
2
2
cos2x
dx

1 2

cost
dt
1 sin t C 1 sin 2x C
2
2
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一、第一类换元法
d(2x)

(2 x )'dx dx 1 2
2dx. du,
例例32 2xex2 dx ex2 (x2)dx ex2 d(x2) eudu u x2 ,
原
式


2
xeu

1 2x
du
du dx2 ( x2 )' dx 2xdx.
1
ex2 d(x2) eudu eu CCeexx22CC

1 x2
u9 x2du
u9du u10 C 1 (1 1 )10 C.
10
10 x
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u 3 x,
u 1 1 , x
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f [j(x)]j(x)dx f [j(x)]dj( u
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f [j(x)]j(x)dx f [j(x)]dj(x), u j(x) ?
通过凑微分确定 u
例9
ex
ex
dx 1

e
1 x
1
d(e
x

1)
exdx d(ex )
例10
ln(ex 1) C.
1
ex
ex ex dx e2x 1 dx
从被积函数中明显的复合部分去确定 u
例例11 2cos 2xdx cos 2x(2x)dx cos 2xd (2x) u 2x,
原
式


2
cos
u

1 2
du
du
ccocoossusuuddduuussisinninuuuCCCssisinnin222xxxCCC
3
C

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f [j(x)]j(x)dx f [j(x)]dj(x), u j(x) ?
从被积函数中明显的复合部分去确定 u
例4
e3
x
dx

x
eu 2 xdu x3
2 eudu 2 eu C 2 e3 x C .
3
3
3
例5 1 (1 1)9dx x2 x


dx


1
1 e
x
d(1

e
x
)
x ln(1 ex ) C
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第四章
第二节
不定积分
不定积分的换元积分法
主要内容：
第一类换元法.
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微分运算中有两个重要法则: 复合函数微分法和乘积的微分法.
在积分运算中, 与它们对应的是本节的 换元积分法和下节的分部积分法
基本积分法 (两种).
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一、第一类换元法
cos2xdx sin 2x C cosxdx sin x C
dx du, 2x
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f [j(x)]j(x)dx f [j(x)]dj(x), u j(x) ?
从被积函数中明显的复合部分去确定 u
例例43.
x
1
x2
dx


1 2
d u1dx(21(1xx22))dx(1

12x2u)'1dx1x2

(e
x
1 )2

1
d(e x
)
arctan(ex ) C.
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例11 求 1 dx 1 ex
解 法一
1 1 ex
dx

1

1
e

x
ex
e
x
dx
exdx d(ex )

1

1
e
x
e
x
dx

dx
ex 1 ex dx