第14章 用力法计算超静定结构

X1 （1）基本体系 —基本未知量 （2）位移协调条件 —写力法基本方程
6m
1P 11 X1 0
25
20kN/m C I1 I2 A D
（3）求系数和自由项 —单位荷载法
I2
6m
160
MP
8m
B
11
1P
1 2 2560 8 160 6 2 EI 3 EI
14-5 对称结构的计算
Analysis of Symmetric Structure 教学要求：


理解对称结构的概念
应用对称结构的特点求解对称结构
39
14.5 对称结构的计算
Analysis of Symmetric Structure 主要内容： 基本概念 应用实例 小结
40
14.5.1 对称结构的基本概念
22
系数和自由项
梁、刚架：
ii ij
Mi Ai yi ds EI EI Aj yi Mi M j ds EI EI
2


iP
M i M P ds EI
桁架：
ii ij
Ni l EA
2
Ni N jl EA
18
q
A B
0.5qa2
A
MP A a
3 2 qa 8
B
B M1 MX1
1 2 qa 8
a
3 X 1 qa 8
（6）叠加法作弯矩图
1
3 X 1 qa 8
M M1 X1 M P
1 2 qa 8
0
A
B
19
M
小结
1P 11 X 1 0
（1）确定基本体系——确定基本未知量 （2）根据位移协调条件——写出力法基本方程 （3）求出系数和自由项——单位荷载法 （4）解力法方程 ——求解基本未知量
a
B X1
B点的位移条件Δ1=0
变形协调条件
14
q
A
B A
变形协调条件
Δ1=Δ1P+Δ11=0
Δ1P：基本体系在荷载q单独
a q
A B Δ1P
Δ11 B X1
作用下沿X1方向产生的位移；
Δ11：基本体系在荷载X1单 独作用下沿X1方向产生的 位移；
15
A
1 1P 11 0
δ11 : 在X1＝1单独作用下，基本 结构沿X1方向产生的位移 根据叠加原理

2

2 Pa ( 2)( 2 P) (1 2) 2a EA EA
33
1
1
P
2P 0
P a
2 2
0 1
1
1
P a
NP
P
（5）叠加
N1
-0.5
2/2
0.5 0.5
34
2 / 2 -0.5
N(×P)
P X1 2

组合结构
（1）基本体系 —基本未知量 （2）位移协调条件 —写力法基本方程
X1 0 2P X2 22 X3 0
45
对称结构在反对称荷载下的受力特点
X3 X2 X3
X1 P
X1 P
X2
基本体系2
X1 0 2P X2 22 X3 0
P
X2
只考虑反对称末知力(对称未知力等于零)。
46
（1）奇数跨对称刚架 对称荷载
14.8 支座移动和温度改变时的计算
14.9 超静定结构的特性
2
14.1 超静定结构概述
超静定结构 几何不变且具有多余约束（外部或内部）
A
B
P
C
P 有一个多余约束 有二个多余约束
3
超静定次数
多余约束的个数。
去掉或切断一根链杆，相当于去掉一个约束。
→ X1 ↑
拆开一个单铰，相当于去掉两个约束。
iP
Ni N Pl EA
23
刚架
20kN/m C I2 A I1 D I2 B 6m
（1）基本体系 —基本未知量 （2）位移协调条件 —写力法基本方程 （3）求系数和自由项 —单位荷载法 （4）解力法方程 —求基本未知量
24
8m
20kN/m C I2 A 8m I1 D I2 B
42
对称结构在反对称荷载下的受力特点
P X1 P X3 X2 X3 X1 P Pa MP Pa 1 1 l/2 a a M1 P l/2
1
1
X2
M3
1 1 l/2
基本体系2
M2
43
1 0 2 0 0 3
1 P
1
P
l/2
M 1M P 1P ds 0 Pl EI
1 2 1 2 288 68 66 6 2 EI EI 2 3 EI
6
6
（4）解力法方程 —求基本未知量
X1 1P
11
8.89kN
M1
1
26
20kN/m C I1 I2 A D
（5）叠加
I2
6m
160
MP
8m
B
M M P M1 X1
53.33
53.33
MP Pl
1 1 l/2 l 1
M3
l/2 1
3 P 0
12 21 0
23 32 0
M1 l
M2
44
1P 0
3 P 0
12 21 0
23 32 0
1 0 2 0 0 3
11 X 1 12 X 2 13 X 3 1P 0 21 X 1 22 X 2 23 X 3 2 P 0 X X X 0 3P 31 1 32 2 33 3
p
↓
对称
↓
p
反对称荷载 p
↓
↑p
反对称
p
↓
p ↓
。
47
二次超静定
一次超静定
（2）偶数跨对称刚架
对称荷载 p
↓
对称
↓
p
反对称荷载 p
↓
I
↑p
p
↓
p
↓
I/2
三次超静定
三次超静定
48
扩展： 对称结构在对称荷载下的受力特点
X1 X3 X2 X3 X3 X1 X1
X2 P
基本体系2
P
X2 0
P
只考虑反对称末知力(反对称未知力等于零)。
已知：EI=9EA 10kN/m 3m
X1
6m
6m
1P 11 X1 0
35
10kN/m 3m
3
1 1.12 1.12
6m
180 6m
MP
M1
N1
(3)求系数 1P 1 2 180 6 5 3 2 0 2700 EI 3 8 EI
M
71.1+45
142.1
M M P M1 X1
N
N N P N1 X1
-12.62 14.11 14.11
37
力法作刚架的弯矩图
B EI D EI P l
P
P
基本体系1
P
EI A
l
X1 X3 X3 X2 X3 X2 X2 X1
C
X1 P
解三元一次方程 简便方法
P
基本体系2
思考
38
几何意义？
6
M1(m)
224 11＝ 3EI
1P
1640 EI
29
（3）求系数和常数项
224 11＝ 3EI 1P 1640 EI
360 40
M P (kN m)
（4）解力法方程求多余未知力
1
1
X 1＝
1P
11
22.0(kN)
6
2
（5）叠加原理作M图
M1(m)
M A 360 6 ( 22) 228 M C 6 ( 22) 132
11
q
A
B
a
q
A B
X1
a
X1 ?
X1
思考
12
B点的位移条件Δ1=0
q
A B A
q
B Δ1P Δ11 B X1
13
a
Δ1P：荷载q单独作用下沿X1方向产生的位移； Δ11：荷载X1单独作用下沿X1方向产生的位移；
q
A
a
B X1
A
2 力法的基本概念
力法的基本体系
q
A B A
q a
力法的基本未知量
B EI D EI C l/2 l
对称结构
EI A l/2
(1) 结构的几何形式和支承情况对某轴对称； (2) 杆件截面和材料性质也对此轴对称。
41
14.5.1 对称结构的基本概念
对称结构
反对称荷载
P B EI A l/2 EI D EI C l/2 P l
荷载绕对称轴对折后，左右两部分的荷载正好相反 作用点相对应、数值相等、方向相反
X1
← ↑ X1 →→
X2
4
（3） 在刚结处作一切口，或去掉一个固定端，相当于去掉 三个约束。 X
X1
←→
X2
（4）将刚结改为单铰联结，相当于去掉一个约束。
X1 X1
← →
3
5
例1: 确定图示结构的超静定次数。
2
1 3
n=6
6
例2: 确定图示结构的超静定次数。 对于具有较多框格的结构， 可按框格的数目确定，因为一
个封闭框格，其超静定次数等
于3。 当结构的框格数目为 f ,则 n=3×7=21 n=3f 。
7

超静定结构的类型
（1）超静定梁; （2）超静定桁架； （3）超静定拱；
（4）超静定刚架； （5）超静定组合结构。
8

超静定结构的解法
综合考虑二个方面的条件: （1）平衡条件； （2）几何条件； 具体求解时，有两种基本(经典)方法— 力法和位移法。
第十四章
学习要求：
用力法计算超静定结构
了解超静定次数的判断； 掌握力法计算超静定结构在荷载下的内力， 对称性的应用； 理解力法的基本原理。
1
第十四章
主要内容：
用力法计算超静定结构
14.1 超静定结构概述
14.2~4、7 力法的基本原理及其应用
14.5 对称性的利用
14.6 超静定结构的位移计算
.......... 0
n1X1 n 2 X 2 .... nn X n nP
M M 1 X1 M 2 X 2 .... M n X n M P
N N 1 X1 N 2 X 2 .... N n X n NP
R R1 X1 R2 X 2 .... Rn X n RP
1 1 2 1 5 23.77 3 5 2 12 3 11 3 6 3 2 EI 2 3 EA 2 EA
2
(4)解方程
X1
1P
11
12.62kN
36
10kN/m
3
1
MP
180
M1 N1
1.12
1
（5）叠加原理求内力
106.67
M M1
8.89
27
排架
EA
例：
20kN/m
C
D
I
2I
I
6m
2I
求作弯矩图。
A
l
B
28
4m
（E为常数）
（1）确定基本体系 X1 X1
20kN/m
I
2I
基本 体系
2m
40
M P (kN m)
4m
360
1 （2）写力法基本方程
2
1
1P 11 X1 0
（3）求系数
9
14.2~4、7 力法的基本原理及其应用
教学要求：


理解力法的基本概念；
掌握力法的基本解题过程，能够利用力法求解 简单的超静定结构。
10
1 引例 q
A
q
B
A B
a
a
解超静定问题时，我们不是孤立地研究超静定问题， 而是利用静定结构与超静定结构之间的约束，从中找到由
静定问题过渡到超静定问题的途径。
2P 0
P a
2 2
0
1 1 1
P a
NP
(3)求系数
N1
2
11


1 a 4a (1 2 ) N i l 2( 2) 2 2a 4 EA EA EA EA
2
1P
(4)解方程
N i N j l 1 Pa EA
EA P X 1 1P 11 2
90
ຫໍສະໝຸດ Baidu
228
132
30
桁架
P
a
（1）基本体系 —基本未知量 （2）位移协调条件 —写力法基本方程 （3）求系数和自由项 —单位荷载法
a
（4）解力法方程 —求基本未知量
31
X1
X1
P
（1）基本体系 —基本未知量 （2）位移协调条件 —写力法基本方程
a
1P 11 X1 0
a
32
1
1
P
20
P
P X1
B
C
B
C
X2
A
A
11 x1 12 x2 1P 0
21 x1 22 x2 2 P 0
21
n 次超静定结构力法基本方程：
11X1 12 X 2 .... 1n X n 1 P 0 21X1 22 X 2 .... 2n X n 2 P 0
（4）求出系数和自由项 —单位荷载法
0.5qa2
A
1P 11 X1 0
B MP
qa 4 1P 8EI
X1 1P
a3 11 3EI
3 qa 8
A a M1 1
B
11
（5）解力法方程 —求解基本未知量
X1为正值，说明基本未知量的方向 与假设方向相同；如为负值，则方 向相反。
A
δ11 B X1=1
11 11 X1
1P 11 X1 0
力法的基本方程
16
3 力法解题的基本步骤 q
A B
a q
（1）确定基本体系 —确定基本未知量
（2）根据位移协调条件 —写出力法基本方程
A
a
B X1
1P 11 X1 0
17
（3）作出基本结构的 荷载弯矩图，单位弯矩图