第二届数学行者—— 直角三角形的存在性问题

中考数学压轴题解题策略12讲 / 马学斌主讲

专题训练三 直角三角形的存在性问题

例1 如图，已知在平面直角坐标系中，点A 的坐标为（-2，0），点B 是点A 关于原

点的对称点，P 是函数)0(2

>=

x x

y 图像上的一点，

且△ABP 是直角三角形，求点P 的坐标．

例2 如图，已知A 、B 是线段MN 上的两点，4=MN ，1=MA ，1>MB ．以A 为

中心顺时针旋转点M ，以B 为中心逆时针旋转点N ，使M 、N 两点重合成一点C ，构成△ABC ，设AB ＝x ，若△ABC 为直角三角形，求x 的值．

2 例

3 如图，抛物线23338

4

y x x =--+与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），

与y 轴交于点C ．

（1）求点A 、B 的坐标；

（2）若直线l 过点E (4, 0)，M 为直线l 上的动点，当以A 、B 、M 为顶点所作的直角三角形有且只有．．．．

三个时，求直线l 的解析式．

例4 如图，在平面直角坐标系中，抛物线21

234

y x x =-+与x 轴分别交于A 、B 两点

（点B 在点A 的右侧），与y 轴交于点C ．设抛物线上的点E 在第一象限，△BCE 是以BC 为一条直角边的直角三角形，求点E 的坐标．

3

例5 如图1，在菱形ABCD 中，AB ＝5，联结BD ，sin ∠ABD

P 是射线BC 上的一个动点（点P 不与点B 重合），联结AP ，与对角线BD 相交于点E ，联结EC ．

（1）求证：AE ＝CE ；

（2）当点P 在线段BC 的延长线上时，若△PEC 是直

角三角形，求线段BP 的长．

例6 如图，在平面直角坐标系中，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图像经过点A (3,0)，B (－1,0)，

C (0,－3)，顶点为

D ．

（1）求这个二次函数的解析式及顶点坐标；

（2）在y 轴上找一点P （点P 与点C 不重合），使得∠APD ＝90°，求点P 的坐标； （3）在（2）的条件下，将△APD 沿直线AD 翻折，得到△AQD ，求点Q 的坐标．

例7 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A(－1, 0)、C(3, 0)两点，与y轴交于点B，点P为OB上一点，过点B作射线AP的垂线，垂足为点D，射线BD交x轴于点E．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）联结BC，当点P的坐标为

2

(0,)

3

时，求△EBC的面积；

（3）当点D落在抛物线的对称轴上时，求点P的坐标．

图1 备用图

例8 如图（原图只有一个坐标系），在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为(3, 1)，点B的坐标为(6, 5)，点C的坐标为(0, 5)，某二次函数的图像经过A、B、C三点．（1）求这个二次函数的解析式；

（2）如果点P在（1）中求出的二次函数的图像上，且tan∠PCA＝1

2

，求∠PCB的正

弦值．

4