求点到平面距离的基本方法

求点到平面距离的基本方法

北京农大附中闫小川

求点到平面的距离是立体几何中的一个基本问题，是高考的一个热点，也 是同学学习中的一个难点.本文通过对一道典型例题的多种解法的探讨，概括出 求点到平面的距离的几种基本方法•

例 (2005年福建高考题)如图1,直二面角D AB E 中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，AE EB ，F 为CE 上的点，且BF 平面ACE .

(I )求证：AE 平面BCE ; (II)求二面角B AC E 的大小； (川)求点D 到平面ACE 的距离.

(I )、( I)解略，(川)解如下： 一、直接法

利用两个平面垂直，直接作出点到平面的距离•如图 l , AM l ,则AM . AM 为点A 到平面 的距

2, A

D

B

图2

解：如图3,过点A 作AG _ EC ，连结DG,CG ，则平面ADG //平面BCE , •••平面BCE 平面ACE , •••平面ADG 平面ACE ,

作DH AG,垂足为H ，则DH 平面ACE. ••• DH 是点D 到平面ACE 的距离.

、平行线法

点A 到平面的距离转化为平行于平面 的直线I 到平面的距离，再转化为直

线I 上任意一点B 到平面 的距离.

点D 到平面ACE 的距离转化为直线 DM 到平面ACE 的距离，再转化为点

M 到平面ACE 的距离.

作MN CE,垂足为N ，

在 Rt ADG 中，DH

AD DG 2 2 2一

3

y[6

如图 4, A 1,1 //

B 为l 上任意一点，AM ,BN ,贝U AM BN .

C

B

解：如图5,

//平面ACE ，

•••平面CEM 平面ACE , ••• MN 平面 ACE ,

••• MN 是点M 到平面ACE 的距离.

三、斜线法

利用平面的斜线及三角形相似，转化为求斜线上的点到平面的距离 .如图 AC

& 7, l C ，代 B l , AM , BN ,若 t,则 AM t BN .点 A 到 BC 平面 的距离转化为求直线I 上的点B 到平面 的距离•

解：如图8，BD 与AC 的交点为Q ，即BD 平面ACE Q , •/ DQ BQ ，

•••点D 到平面ACE 的距离与点B 到平面ACE 的距离相等• •••平面BCE 平面ACE ，BF 平面ACE ， • BF 是点B 到平面ACE 的距离.

在 Rt CEM 中，MN

EM CM 2 2 2 3 CE

,6

3

在 Rt BCE 中，BF 竺旦 2

2

22. CE 届 3

四、线面角法

如图9, OP 为平面 的一条斜线，A OP , OA l , OP 与 所成的角为, A 到平面 的距离为d ，则由斜线和平面所成的角的定义可知，有 d Isin .

经过OP 与 垂直的平面与 相交，交线与0P 所成的锐角就是0P 与 所成 的角，这里并不强求要作出A 在 上的射影B ，连结OB 得.

解：如图10，v BF 平面ACE ， •••平面BDF 平面ACE ，

BQF 为DQ 与平面ACE 所成的角为,则点D 到平面ACE 的距离

d DQ sin

由（n ）知二面角B AC E 的正弦值为丄6

，得sin

3 ••• D 到平面ACE 的距离d

图9

设二面角D AC E 的大小为，则点D 到平面ACE 的距离d DQsin

由（II ）知二面角B AC E 的正弦值为

••• D 到平面ACE 的距离d 2

3

3

面角法 如图11, 点A 到平面的距离AO

图10

所成二面角的大小为 ，A ，AB l ，AB a ， d ，则有d as in .也就是二面角的大小，而不强

求作出经过AB 的二面角的平面角.

B

解：如图12,

，DQ AC ，

图

13

图12

六、体积法

解：如图13,过点E 作EO AB 交AB 于点O, 0E 1. •••二面角D AB E 为直二面角， ••• E0 丄平面 ABCD.

设D 到平面ACE 的距离为h ， V D ACE V E ACD ，

1

1

二；

S

ACE

h

— S ACD

E0.

3 3

AE 平面BCE , ••• AE EC.

1

1 ...h

2 AD

DC EO

? 2 2

1

沁

-AE EC

-

42 46

3

2

2

Q

F

B

E

七、向量法

解：如图14,以线段AB的中点为原点O, 0E所在直线为x轴，AB所在直线为y 轴，过0点平行于AD的直线为z轴，建立空间直角坐标系O xyz，

AE 平面BCE，BE 平面BCE ,

••• AE BE，

在Rt AEB中,AB 2,0为AB的中点，

••• 0E 1,

••• A(0, 1,0),E(1,0,0),C(0,1,2).

AE (1,1,0), AC (0,2,2).

设平面ACE的一个法向量为n (x, y,z)，

则AE n°,即x y°, AC n 0,2y 2z 0.

解得y X,

z x.

令x 1,得n (1, 1,1)是平面ACE的一个法向量.

ADz AD 2 AD (0,0,2) ACE d |AD||cos AD,n

练习：

如图15,已知ABCD是边长为4的正方形，E、F分别是AB、AD的中点,

图14

| |AD n|

|n|