厦门理工学院 线性代数第三节向量与空间参考答案

（B）α1 ,α 2 ,,α s 中任何 j ( j ≤ s) 个向量线性相关
（C）设 A = (α1 ,α 2 ,,α s ) ，非齐次线性方程组 AX = B 有唯一解
（D）设 A
=
(α1
,
α
2
,
,α
s
)
，A
的行秩
＜
s.
2．若向量组α , β ,γ 线性无关，向量组α , β ,δ 线性相关，则
4． 设向量组a1 = (a,0, c) ,a 2 = (b, c,0) ,a3 = (0, a,b) 线性无关，则 a,b, c 满足关系式 abc ≠ 0
三. 计算题：
1. 设向量α=1 (k +1,1,1)T ，α 2 = (1, k + 1,1)T ，α3 = (1,1, k + 1)T ， β = (1, k, k 2 )T ，试问当 k 为何值时 （1） β
当λ
=−2时
1
−2
1
−2
→
1
−2
1
−2 ，方程组无解。
1 1 −2 4 0 0 0 3
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一．选择题
第二节 向量组及其线性组合 第三节 向量组的线性相关性（一）
1．n
维向量
α
1
,α
2
,
,
α
s
(α1
≠
0)
线性相关的充分必要条Baidu Nhomakorabea是
[ D]
（A）对于任何一组不全为零的数组都有 k1α1 + k2α 2 + + ksα s = 0
1
1+ λ
1
λ
，
1
1 1+ λ λ 2
1+ λ 1 1 0
1 1 λ +1
λ2
r→
→
0
λ
−λ
λ −λ2
，
0 0 −λ(λ + 3) λ(1− 2λ − λ 2 )
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(1) λ ≠ 0且λ ≠ −3时, R(α1= ,α2 ,α3, β ) R= (α1,α2 ,α3 ) 3 ， β 可由α1,α2 ,α3线性表示,且表达式唯一; (2) λ = 0时, R(α1,α2 ,α3, β )= R(α1,α2 ,α3 )= 1 < 3 ，
β 可由α1,α2 ,α3线性表示, 但表达式不唯一 。 (3) 当λ = −3时, R(α1,α2 ,α3, β ) = 3 ≠ R(α1,α2 ,α3) = 2 ， β 不能由α1,α2 ,α3线性表示 。
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一．选择题：
第三节 向量间的线性关系（二）
1．已知向量组α1 ,α 2 ,α 3 ,α 4 线性无关，则下列向量组中线性无关的是
0
1
−1
0
2 1 −1 −1 1
0 0 0 −2 0
0 0 0 −2 0
2x + y
z
−
w
= = 10 ∴xy ==
1− 2
c
c
.
−
2w
= 0
z
=
0
w = 0
2． λ
取何值时，非齐次线性方程组 λx1x1++λxx22
+ +
x3 x3
=1 =λ
⑴ 有唯一解 ⑵ 无解 ⑶ 有无穷多解
= −1
三．计算题：
2x + y − z + w =1
1． 求解非齐次线性方程组 4x + 2 y − z + w = 2
2x + y − z − w =1
2 1 −1 1 1
2 1 −1 1 1
2 1 0 0 1
4
2
−1
1
2
r2 −2r1
r3 −r1→
0
0
1
−1
0
r+r2→
0
可由α1 ,α 2 ,α 3 线性表示，且表示式是唯一？（2） β 可由α1 ,α 2 ,α 3 线性表示，且表示式不唯一？（3） β 不能由
α1 ,α 2 ,α 3 线性表示？
1+ λ 1 1 0
1 1 1+λ λ2
解：因为 (α1,α= 2 ,α3, β )
1
1+ λ
1
λ
r1↔r3 →
[ C]
（A）α1 + α 2 ,α 2 + α 3 ,α 3 + α 4 ,α 4 + α1
（B）α1 − α 2 ,α 2 − α 3 ,α 3 − α 4 ,α 4 − α1
（C）α1 + α 2 ,α 2 + α 3 ,α 3 + α 4 ,α 4 − α1
（A）小于 m 二．填空题：
（B）小于 n
（C）等于 m
1 2 1
1
x1
设 A = 2 3 a + 2，b = 3， x = x2
1
a
−2
0
x3
（D）等于 n
（1）齐次线性方程组 Ax = 0 只有零解，则
a ≠ 3 或 a ≠ −1
（2）非齐次线性方程组 Ax = b 无解，则 a =
3α1 + 2α 2 − α3 = (0,1, 2)T
2． 设 3(α1 − α ) + 2(α 2 + α ) = 5(α3 + α ) ，其中α1 = (2,5,1,3)T ，α 2 = (10,1,5,10)T
α3 = (4,1,−1,1)T ，则α = (1, 2, 3,4)T
3． 已知α1 = (1,1,2,1)T , α 2 = (1,0,0,2)T , α3 = (−1,−4,−8, k )T 线性相关，则 k = 2
2．设 A 是 m × n 矩阵，如果 m < n ，则 （A） Ax = b 必有无穷多解 （C） Ax = 0 必有非零解
（B） Ax = b 必有唯一解 （D） Ax = 0 必有唯一解
3．设 A 是 m × n 矩阵，齐次线性方程组 Ax = 0 仅有零解的充要条件是 R( A)
[ C] [ D]
线性代数练习题
一．选择题：
1．设 A 是 m × n 矩阵， Ax = b 有解，则
第三章 线性方程组
[ C]
（A）当 Ax = b 有唯一解时， m = n
（B）当 Ax = b 有无穷多解时， R( A) < m
（C）当 Ax = b 有唯一解时， R( A) = n （D）当 Ax = b 有无穷多解时， Ax = 0 只有零解
[ C]
（A）α 必可由 β ,γ ,δ 线性表示
（B） β 必不可由α ,γ ,δ 线性表示
（C）δ 必可由α , β ,γ 线性表示
（D）δ 比不可由α , β ,γ 线性表示
二．填空题：
1． 设α1 = (1,1,0)T , α 2 = (0,1,1)T , α 3 = (3,4,0)T
则α1 − α 2 = (1,0, −1)T
x1 + x2 + λx3 = λ2
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λ11 1 λ 1 = λ 3 − 3λ + 2 = (λ −1)2 (λ + 2)
1 1λ
当λ ≠ 1,−2时，方程有唯一解
1 1 1 1 1 1 1 1
当λ =1时1
1
1
1
→
0
0
0
0 ，有无穷多解；
1 1 1 1 0 0 0 0
−2 1 1 1 2 1 1 1