第2章2.3连续小波变换的性质2015修正2

3. 再生核和再生核方程 再生核又称重建核，它定量给出了小波 基的相关性和冗余性。从小波基函数的定 义可以猜想，如果 a , τ 参数连续变化，得 到的小波基将是冗余的。 尺度-位移连续变化的小波基函数 ψ a ,τ (t ) 形成了一组非正交的过度完全基。其中的 “过度”表示这一组基含有冗余性， “完全”表示这一组基可以完全覆盖 整个尺度-位移平面，这样，任意一 个信号都可以用这些基来分解表示。
2 2
−∞
dτ 2 =
式 ( ∗ ) 称为重建核方程（再生核方程）。
∫
+∞
0
da∫
−∞
a
2
dτ
(∗ )
对于重建核和重建核方程，需要注意一下3点： （1）小波变换系数在域内必须满足重建核方 程，因此，并不是任意的函数 F ( a,τ ) 都可以作 为小波变换系数 WT f ( a,τ ) 。 （2）重建核 Kψ ( a ,τ , a ,τ ) 刻画了小波基函数 ψ a ,τ ( t ) K 与ψ a ,τ ( t ) 的相关性。如果， ψ (a 1,τ1, a 2,τ2 ) =δ ( a 1 −a 2,τ1 −τ2 ) 那么平面内任意两点都不相关，任意两点都正 交，通过这种基对信号 f ( t ) 进行小波 变换得到的系数之间就没有冗余度。 （3）冗余度究竟是去大一些还是小一些， 这需要根据实际应用来确定。
1 * ^ ω 2 ψ
ψ
τ1
τ2
t
2.连续小波变换的性质 假设信号矢量 x(t ) 和 y(t ) 为能量有限信号， 即 x(t ), y(t ) ∈ L ( R) ，其连续小波变换（CWT）分别 k2 为任意常 表示为 WTx ( a,τ ) 和 WTy ( a,τ ) ，令 k1 ， 数。 （1）线性叠加性 若 z ( t ) = k1 x(t ) + k2 y(t ) ，则 z ( t ) 的连续小波变换 为 WTz ( a,τ ) = k1WTx ( a,τ ) + k2WTy ( a,τ ) 。 （2）时不变性 令原信号 x(t ) 的延时信号表示为 z ( t ) = x ( t − t ) 则其连续小波变换为 WTz ( a,τ ) = WTx ( a,τ − t0 )
t ψ a ,τ ( t ) dt
2
ψ a ,τ ( t ) dt
2
( t − t0 ) ψ a ,τ ( t ) −∞ ψ a ,τ ( t )
2
+∞
2
dt ]
1
2
（3）频窗中心：实质上是信号在频域的一阶 矩，即
ω0
∫ =
+∞
−∞
ω ψ a ,τ (ω ) d ω
2
ψ a ,τ (ω )
2
（4）频窗宽度：实质上是信号的频域标准 差，即
或 WTx ( a,τ ) ,WTy ( a,τ ) = Cψ x( t ) , y( t ) （5）能量关系 当内积定理中的信号 x ( t ) ≡ y ( t ) 时，就变为
∫
+∞
0
2 +∞ +∞ 2 1 da∫ WTx ( a,τ ) dτ = Cψ ∫ x( t ) dtWTx ( a,τ ) 2 −∞ −∞ a
（III）位移因子 从上式可以看出，平移因子 τ 只影响时窗 中心位置。从时域看，平移不会影响波形 大小。从频域看，函数在时域的平移只会 在频域引入附加的相位，不会影响函数的 幅频特性，也不会影响频窗中心和大小。 （IV）时频窗面积 从严格的数学角度来说，时频窗面 积遵循Heisenberg测不准原理，即 1 σ ωσ t ≥ 2
ω
a 0
连续小波变换：
–“恒Q性质”：
• 假设ψ(t)的中心为t0，有效宽度为Dt； Ψ(ω)的中心为 ω0，有效宽度为Dω；则ψa,b(t)提取的是f(t)在窗口[b+at0aDt/2, b+at0+aDt/2]|中的性质，相应地从频域上说Ψa,b(ω) 提取地是F(ω)在窗口[ω0/a-Dω/(2a), ω0/a+Dω/(2a)]中的 性质，因此对于小波来说时域窗口宽度和频域窗口宽度的 乘积始终为DtDω。
式中的系数为
Cψ =
∫
+∞
0
ψ (ω ) dω ω
2
而事实上，要完全准确恢复出 WTx ( a1 ,τ1 ) ，仅 仅依靠 WT ( a , τ ) 是不够的，通过 WTx ( a2 ,τ 2 )只能提 供部分恢复信息，如果将 WTx ( a2 ,τ 2 ) 的“部分贡 献”表示为 WTx ( a2 ,τ 2 ) Kψ ( a1 ,τ 1 , a2 ,τ 2 )
⎡ (ω − ω ) 2 ψ (ω ) d ω ⎤ a ,τ 0 ∫−∞ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ σω =
+∞ 2 1 2
ψ a ,τ (ω )
设母小波为ψ (t ) ，其傅里叶变换为ψ (ω ) ，根据 上公式计算出母小波 ψ (t ) 对应的波形参量 ′ , σ t′ , ω 0 ′ ,σ ω ′ 分别为 t 0 ，经过伸缩平移后的 小波基函数 ψ a ,τ (t ) 对应的波形参量分别为 t0,σt ,ω0,σω ，则存在以下的结论： （1）能量守恒 ：
在平面上任意两点 ( a , τ ) 和 ( a , τ ) ， 其对应的小波基函数之间究竟有多大的 相关性，这就需要用再生核来描述和刻 画。 再生核定义：
1 1
2
2
1 Kψ ( a1 ,τ 1 , a2 ,τ 2 ) = Cψ
∫
R
ψ a ,τ ( t ) ψ ⋅ ∗a ,τ ( t ) dt
1 1 2 2
（I）时频窗位置 上式可以看出，当 a 增大时，时窗中心位置 变大，频窗中心位置变小，时频窗往低频移 动，对应于低频分析；反之相反。 （II）时频窗大小 从上式可以看出，当 a 增大时，时窗宽度变 大且时域分析精度降低，频窗宽度 变小， 频带变窄且频域分析精度 提高， 落入频窗中的频率成分减 少， 小波变换 WT f ( a,τ ) 提取的是 窄带信息； 反之相反。
* * ⎛1 * Δψ 1 * Δψ ⎞ ⎛ ^ ^ − + , (t ψ + b ) + a , a ^ ^ ⎜ (t ψ + b ) − ⎟*⎜ Δψ aω ψ Δψ ⎜ aω ψ a a a a ⎝ ⎠ ⎝
⎞ ⎟ ⎟ ⎠
ω
a=2
2 ω*^
ψ
4Δ ^
ψ
a =1
ωψ
*
^
2Δ ^
Δ^
ψ
a = 1/ 2
1 1 2 2
1 1 2 2
4.连续小波变换的可逆性
1 x (t ) = Cψ
∫
+∞
0
+∞ 1 da ∫ WTx ( a,τ )ψ a ,τ ( t ) dτ 2 −∞ a
这里
cψ = ∫
+∞
−∞
ˆ (ω ) ψ dω < ∞ ω
2
2
0
（3）尺度变换 ⎛t⎞ x ( t ) z t = x ( ) 令原信号 的拉伸信号表示为 ⎜ ⎟ , λ > 0, ⎝λ⎠ a τ ⎞ 则其连续小波变换为 WT ( a ,τ ) = λ WT ⎛ ⎜ , ⎟ 。 ⎝λ λ ⎠ （4）内积定理（Moyal定理）
z x
∫
+∞
0
+∞ 1 ∗ , da WT a τ WT ( ) x y ( a,τ ) dτ = C ψ x( t ) , y ( t ) 2 ∫ −∞ a
x 2 2
2 a2
WT ( a ,τ )的完全准确恢复需要 a − τ 平面 那么， 上无数个类似于的点的共同贡献才能完成，即 把这种贡献的累积就归结为平面上的二维积分：
x 1 1
WTx ( aቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ,τ1 ) = ∫ da2 ∫
0
+∞
+∞
WTx ( a2 ,τ 2 ) Kψ ( a1,τ1, a2 ,τ 2 ) a +∞ WT x ( a,τ ) K ψ (a 1,τ1, a,τ )
§2.3 连续小波变换的性质
1.小波基的自适应时频窗及其度量 小波基的时窗、频窗的波形参量如下： （1）时窗中心：实质上信号在时域的一阶 矩，即
t0
∫ =
+∞
−∞
t ψ a ,τ ( t ) dt
2
ψ a ,τ ( t )
2
（2）时窗宽度：实质上是信号的时域标准 差，即
σt =
[∫
∫ = ∫
+∞
−∞ +∞ −∞
当选定一个母小波 ψ (t ) 之后，尺度a 会影响时窗宽度 σ t 和频窗宽度 σ ω ，但是窗口的面积 S w 却不变，始终保持一个 常量，这也验证时域的压缩（拉伸）会导致频域的拉伸（压 缩）。
（VI）品质因素恒定 在数字信号处理中，将滤波器的宽度与 中心频率的比值定义为品质因素。 σ ω Qa = ω 0 当尺度因子为 a 时的品质因素 σ′ Q = 与母小波的品质因素 是恒等的。 ω′ 这种品质因素恒定的特性（简称恒Q特性）
E = ∫ ψ ( t ) dt = ∫ ψ a ,τ ( t ) dt
2 2 R R
（2）窗中心位置：
′ +τ t0 = at0
ω0 =
′ ω0 a
（3）窗宽度（标准差）：
σ t = aσ t′
σω =
′ σω a
（4）面积不变：
′ σ t′ Sw = σ ωσ t = σ ω
下面具体分析尺度因子和平移因子对时频窗 的影响：