解析几何计算处理技巧

解析几何计算处理技巧

中学解析几何是将几何图形置于直角坐标系中，用方程的观点来研究曲线，体现了用代数的方法解决几何问题的优越性，但有时运算量过大，或需繁杂的讨论，这些都会影响解题的速度，甚至会中止解题的过程，达到“望题兴叹”的地步．特别是高考过程中，在规定的时间内，保质保量完成解题的任务，计算能力是一个重要的方面．为此，从以下几个方面探索减轻运算量的方法和技巧，合理简化解题过程，优化思维过程．

考点一 回归定义，以逸待劳

回归定义的实质是重新审视概念，并用相应的概念解决问题，是一种朴素而又重要的策略和思想方法．圆锥曲线的定义既是有关圆锥曲线问题的出发点，又是新知识、新思维的生长点．对于相关的圆锥曲线中的数学问题，若能根据已知条件，巧妙灵活应用定义，往往能达到化难为易、化繁为简、事半功倍的效果．

[典例] 如图，F 1，F 2是椭圆C 1：x 24＋y 2

＝1与双曲线C 2的公共焦点，A ，B 分别是C 1，C 2在第二、四象

限的公共点．若四边形AF 1BF 2为矩形，则C 2的离心率是( )

A.2

B.3

C.32

D.6

2

[解题观摩] 由已知，得F 1(－3，0)，F 2(3，0)，设双曲线C 2的实半轴长为a ， 由椭圆及双曲线的定义和已知，可得⎩⎪⎨⎪

⎧

|AF 1|＋|AF 2|＝4，|AF 2|－|AF 1|＝2a ，

|AF 1|2＋|AF 2|2＝12，解得a 2＝2，故a ＝ 2.

所以双曲线C 2的离心率e ＝32＝6

2

. [答案] D [关键点拨]

本题巧妙运用椭圆和双曲线的定义建立|AF 1|，|AF 2|的等量关系，从而快速求出双曲线实半轴长a 的值，进而求出双曲线的离心率，大大降低了运算量．

[对点训练]

1.如图，设抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，不经过焦点的直线上有三个不同的点A ，B ，C ，其中点A ，B 在抛物线上，点C 在y 轴上，则△BCF 与△ACF 的面积之比是( )

A.|BF |－1|AF |－1

B.|BF |2－1|AF |2－1

C.|BF |＋1|AF |＋1

D.|BF |2＋1

|AF |2＋1

解析：选A 由题意可得S △BCF S △ACF ＝|BC ||AC |＝x B

x A

＝|BF |－

p

2|AF |－

p 2

＝|BF |－1|AF |－1.

2．抛物线y 2＝4mx (m ＞0)的焦点为F ，点P 为该抛物线上的动点，若点A (－m,0)，则|PF |

|P A |

的最小值为________．

解析：设点P 的坐标为(x P ，y P )，由抛物线的定义，知|PF |＝x P ＋m ，又|P A |2＝(x P ＋m )2＋y 2P ＝(x P ＋m )2

＋4mx P ，

则2

)||||(

PA PF ＝(x P ＋m )2(x P ＋m )2＋4mx P

＝11＋4mx P (x P ＋m )2≥11＋4mx P (2x P ·m )2

＝12(当且仅当x P ＝m 时取等号)，所以|PF ||P A |≥2

2，所以|PF ||P A |的最小值为2

2

.

答案：

2

2

考点二 设而不求，金蝉脱壳

设而不求是解析几何解题的基本手段，是比较特殊的一种思想方法，其实质是整体结构意义上的变式和整体思想的应用．设而不求的灵魂是通过科学的手段使运算量最大限度地减少，通过设出相应的参数，利用题设条件加以巧妙转化，以参数为过渡，设而不求．

[典例] 已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F (3，0)，过点F 的直线交E 于A ，B 两点．若AB 的

中点坐标为(1，－1)，则E 的标准方程为( )

A.x 245＋y 236＝1

B.x 236＋y 227＝1

C.x 227＋y 218＝1

D.x 218＋y 2

9＝1 [解题观摩] 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝－2，

⎩⎨⎧

x 21a 2

＋y 21

b

2＝1，x 22a 2

＋y

22b 2

＝1，

①

②

①－②得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)a 2＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)

b 2

＝0， 所以k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2(x 1＋x 2)a 2(y 1＋y 2)＝b 2a 2.又k AB ＝0＋13－1＝12，所以b 2a 2＝1

2.又9＝c 2＝a 2－b 2，

解得

b 2＝9，a 2＝18，所以椭圆

E 的方程为x 218＋y 2

9

＝1.

[答案] D [关键点拨]

(1)本题设出A ，B 两点的坐标，却不求出A ，B 两点的坐标，巧妙地表达出直线AB 的斜率，通过将直线AB 的斜率“算两次”建立几何量之间的关系，从而快速解决问题．

(2)在运用圆锥曲线问题中的设而不求方法技巧时，需要做到：①凡是不必直接计算就能更简洁地解决问题的，都尽可能实施“设而不求”；②“设而不求”不可避免地要设参、消参，而设参的原则是宜少不宜多．

[对点训练]

1．已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点，A ，B 分别为C 的左、右顶点．P 为C

上一点，且PF ⊥x 轴．过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E ，若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为( )

A.13

B.12

C.23

D.34 解析：选A 设OE 的中点为G ，由题意设直线l 的方程为y ＝k (x ＋a )，

分别令x ＝－c 与x ＝0得|FM |＝k (a －c )，|OE |＝ka ，由△OBG ∽△FBM ，得|OG ||FM |＝|OB ||FB |

，