有理数简便运算与技巧

有理数简便运算与技巧

有理数是代数的入门，又是难点，是中学数学中一切运算的基础。进行有理数的运算时，若能根据题目的特征，注意采用运算技巧，不但能化繁为简，而且会妙趣横生，新颖别致。现举例介绍有理数运算中的几个常用技巧。

一、归类

将同类数（如正数或负数）归类计算。

例1 计算：()()()231324-+++-++-。

解：原式()()()()312234=+++-+-+-⎡⎤⎣⎦

()69=+-

3=-。

二、凑整

将和为整数的数结合计算。

例2 计算：36.54228263.46+-+。

解：原式()36.5463.462282=++-

1002282=+-

12282=-

40=。

三、对消

将相加得零的数结合计算。

例3 计算：()()()5464332+-++++-+-。

解：原式()()()4453263=-+++-+-++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦

009=++

9=。

四、组合

将分母相同或易于通分的数结合。

例4 计算：551155

21012249186---+。 解：原式5551112

5210624918⎛⎫⎛⎫=-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 5171386

=- 13524

=-。 五、分解

将一个数分解成两个或几个数之和的形式，或分解为它的因数相乘的形式。

例5 计算：111125434236

-+-+。 解：原式()111125434236⎛⎫=-+-++-

+-+ ⎪⎝⎭ 3642212121212⎛⎫=+-

+-+ ⎪⎝⎭ 11221212

=+=。 例6 计算：20082009200920092009200820082008⨯-⨯。

解：原式2008200910001000120092008100010001=⨯⨯-⨯⨯

0=。

六、转化

将小数与分数或乘法与除法相互转化。

例7 计算：()23420.2534⎛⎫⎛⎫⨯-+-÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

。 解：原式312844⎛⎫⎛⎫=-+-÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

()32844⎛⎫=-+-

⨯- ⎪⎝⎭ 283=-+

25=-。

七、变序

运用运算律改变运算顺序。

例8 计算：()()()412.5310.15⎛⎫-⨯+⨯-⨯- ⎪⎝⎭

解：原式412.50.1315⎛

⎫=-⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭

13131=-⨯=-。

例9 计算：38871159158⎛⎫⎛⎫--⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

。 解：原式8881559158⎛⎫=---⨯ ⎪⎝

⎭ 8158158155898158⎛⎫=-⨯-⨯-⨯ ⎪⎝⎭

5313⎛⎫=--

- ⎪⎝⎭ 13

=-。

八、约简 将互为倒数的数或有倍数关系的数约简。

例10 计算：()()6

1112.50.125 1.250.6215284⎛⎫-⨯⨯-⨯÷⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭

。 解：原式()()62.50.125 1.25521110.621284

-⨯⨯-⨯==⨯⨯⨯。 九、逆用

正难则反，逆用运算律改变次序。

例11 计算：2283210.2555214⎛⎫⎛⎫÷--⨯-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

。 解：原式258715122144

⎛⎫⎛⎫=⨯--⨯-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 2181134344=-⨯

+⨯- 1281433⎛⎫=⨯-+- ⎪⎝⎭

14

=。 十、观察

根据0、1、1-在运算中的特性，观察算式特征寻找运算结果为0、1或1-的部分优先计算。 例12 计算：()()

20091312009 3.753164⎛⎫⎛⎫-÷-⨯-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭。 解：33.75304

-=，()200911-=-。 ∴原式()011=+-=-。

妙用字母解题 在我们学习的过程中，常会遇到一些数据大、关系复杂的计算题，令人望而生畏，无从着手．这时，如果我们仔细观察数据特点，探究数据规律，巧妙利用字母代替数字，将会收到化繁为简，化难为易的效果． 例1 计算

11111111111111232004232003232004232003⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++++-+++++++ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 分析：本题显然不能用常规方法直接计算，观察式子的4个小部分，我们发现各部分的相同项很多，如果把相同部分用一个字母来代替，则可使运算大大简化．

解：设1111232003a ++++=，111232003

b +++=． 则原式1120042004b a a b ⎛

⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

12004200420042004a b a b -=-==． 评注：本题是分数计算题，若直接计算是很繁很难的，本题巧用整体思考，妙用字母代替数就简单多了，这充分说明了用字母表示数的作用．

例2 计算17.4837174.8 1.98.7488⨯+⨯+⨯．

分析：本题若直接进行计算也未尝不可，但通过观察发现：17.48，174.8，8.74之间有着特殊的关系，若设17.48a =，则174.810a =，8.742

a =，这样，原式可化为含字母a 的代数式，我们只需合并同类项，然后将a 的取值代入进行求值即可，计算量明显减小．

解：设17.48a =，则174.810a =，8.742

a =，则原式可化为()371944371944100a a a a a ++=++=，将17.48a =代入，得原式1748=．

评注：通过观察数字特点，运用字母代替数，使计算过程简化，收到了事半功倍的效果．