因式分解十字相乘法
因式分解十字相乘法
十字分解法的方法简单来讲就是：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数。其实就是运用乘法公式
(x+a)(x+b)=x²+(a+b)x+ab的逆运算来进行因式分解。
十字分解法能把一些二次三项式分解因式。对于形如ax²+bx+c=(a₁x+c₁)(a₂x+c₂)的整式来说，方法的关键是把二次项系数a分解成两个因数a₁,a₂的积a₁·a₂，把常数项c分解成两个因数c₁,c₂的积c₁·c₂，并使a₁c₂+a₂c₁正好等于一次项的系数b，那么可以直接写成结果:ax²+bx+c=(a₁x+c₁)(a₂x+c₂)。在运用这种方法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会，它的实质是二项式乘法的逆过程。当首项系数不是1时，往往需要多次试验，务必注意各项系数的符号。基本式子：x²+(p+q）
x+pq=(x+p）(x+q)。
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定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个多项式因式分解,也叫作分解因式.
解析：十字相乘法的精髓，在于分解常数项。对于初学者来说，可以根据常数项的具体数值，尝试着分解成两个因数相乘的形式，并且使这两个因式的值相加等于一次项系数。上面的例题，很好的说明了十字相乘法因式分解的具体应用。
例题二：
例题三：
例题四
例题五：
练一练
一、前言
在北师版数学教材上，并没有十字相乘法这一章，在中考中十字相乘法也不作为考点考察。但是，在初中阶段，一些一元二次方程的题目使用十字相乘法可以更快的解出答案；在高中阶段，十字相乘法可以说是随时可能用到；更重要的是，十字相乘法可以很好的培养数感。因此，熟练掌握十字相乘法是非常必要的
二、知己知彼
想要熟练的掌握十字相乘法，就一定要了解它的原理，我们先看这样几个式子：
观察这几个式子，相信大家能很快的说出下面这个式子的结果
为了更加清晰的说明十字相乘的原理：我们做如下的说眀：
小学我们都学过竖式乘法
其实刚才列举的式子也可以用竖式进行计算
从所列竖式中，我们不难发现，2×3=6,2+3=5（2x+3x=5x）
搞清楚了这个原理，十字相乘法就很容易了，其实就是把上面的过程反过来，下面以一道题目为例进行具体的说明
例1：因式分解
我们心里清楚，最后的结果一定是下面这种形式
问题的关键就是求出a和b
而通过刚才的例子，我们知道14=ab，9=a+b，那么我们该从哪里入手呢？
这里做两个说明：（1）分解的结果中a、b都是整数（不会出分数、无理数什么的）
（2）要分解14，而不是去拆解9、因式分解题目结果中的系数，都是整数，那么14的分解情况就很少了，而和为9的情况太多了，由此可见去分解14是最简单的做法
于是，我们得到了分解这类二次三项式的方法：
先把常数14分解成两个因数的积（整数），再看一看这两个因数的和是不是等于一次项的系数。如果等于，分解结束；如果不等于继续尝试。
总结为一句口诀：分两头、中间凑
当然，如果我们能将刚刚提到的列竖式的方法加入，就有了更简单的写法
最后再将每一横行写到一个括号里得出最后的结果
这里也有一句比较常用的口诀：竖拆、叉乘、横写（竖拆常数二次项、叉乘求和凑中项，横写括号得结果）
例题2：因式分解
熟练掌握后，也可直接写系数
在分解6时，同号得正，且中间项系数为负，那就只需考虑-1×（-6）或-2×（-3）
因-1+（-6）=-7，所以结果为
例题3：因式分解
在分解﹣6时，异号得负，且中间项系数为-1，那就只能分解成-3和2
故结果为
三、更进一步
前面研究了二次项系数为1的二次三项式，一般的二次三项式也可利用十字相乘来分解
例题4：因式分解
采取类似的方法：把6分解成2×3，写在第一列；把2分解成-1×（-2），写在第二列，然后交叉相乘进行验证，如果不行，继续尝试。
结果为
例题5：因式分解
这道题稍微有些复杂，可能需要一定的尝试
四、特殊情况的特殊做法
二次三项式系数和为0 ，有特殊解法，说明如下：
掌握了这个方法，下面的题目可以直接得出答案
五、写在最后的话
十字相乘法是二次三项式进行因式分解的重要方法，分解的要领是“头尾分解，交叉相乘，求和凑中，试验筛选”，十字相乘法只适用于二次三项式的因式分解，但是对于形如ax^2十bxy十cy^2十dx+ey十f的多项式就显得有点力不从心了，此时运用十字相乘法分解显然是无法一步到位的，需要两次运用到十字相乘法。
双十字相乘法的具体方法：
①将a分解成mn的乘积作为一组；
②将c分解成pq的乘积作为第二组；
③将f分解成jk的乘积作为第三组；
④使mq+np=b，pk十qj=e，mk十nj=d成立
双十字相乘法分解因式模式
则多项式ax^2十bxy十cy^2十dx+ey十f可分解为：（mx+py+j）（nx+qy+k）的形式。
例1、分解因式：4X^2-4XY-3Y^2-4X+10Y-3
分析：通过细致观察之后，我们发现前三项可以运用十字相乘法分解成（2X-3Y）（2X十Y），然后再把（2X-3Y），（2X十Y）作为一个一次因式，再次运用十字相乘法分解，如下图所示：
因式分解图解
4X^2-4XY-3Y^2-4X+10Y-3
=（2X-3Y）（2X+Y）-4X+10Y-3
=（2X-3Y+1）（2X+Y-3）。
自然，我们也可以把这个二次六项式式转化为关于X（Y）的二次三项式后再运用十字相乘法进行因式分解。
解法2：
4X^2-4XY-3Y^2-4X+10Y-3
=4X^2-4X（Y+1）-（3Y^2-10Y+3）
=4X^2-4X（Y+1）-（3Y-1）（Y-3）
=（2X-3Y+1）（2X+Y-3）。
例2、分解因式：mn十n^2十m一n一2
分析：有的同学会说，二次六项式可以用双十字分解法来进行分解，但现在这个多项式明明是个二次五项式，那也能用双十字分解法来进行分解因式么？
我们知道，0乘以任何数都等于0，所以我们可以把缺少的那一项当作系数为0好了。
mn十n^2十m一n一2
=0m^2十mn十n^2十m一n一2
=（0m十n十1）（m十n一2）
=（n十1）（m十n一2）。
例3、分解因式：6a^2-7ab-3b^2-ac+7bc-2c^2
分析：本题可将该多项式看成关于a，b（b，c或a，c）的二次三项式，运用双十字相乘法进行分解。
6a^2-7ab-3b^2-ac+7bc-2c^2
=（2a-3b）（3a+b）-ac+7bc-2c^2
=（2a-3b+c）（3a+b-2c）。
或者
6a^2-7ab-3b^2-ac+7bc-2c^2
=6a^2-ac-2c^2-7ab+7bc-3b^2
=（2a+c）（3a-2c）-7ab+7bc-3b^2
=（2a+c-3b）（3a-2c+b）。
十字相乘法的运算方法
十字相乘法的方法简单点来讲就是：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数。 十字相乘法能把某些二次三项式分解因式。这种方法的关键是把二次项系数a分解成两 十字相乘法 个因数a1,a2的积a1.a2，把常数项c分解成两个因数c1,c2的积c1乘c2，并使a1c2+a2c1正好是一次项b，那么可以直接写成结果:ax2+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2),在运用这种方法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会它实质是二项式乘法的逆过程。当首项系数不是1时，往往需要多次试验，务必注意各项系数的符号。基本式子：x^2+（p+q)x+pq=(x+p)(x+q)所谓十字相乘法,就是运用乘法公式(x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab的逆运算来进行因式分解.比如说:把x*2+7x+12进行因式分解. 上式的常数12可以分解为3×4,而3+4又恰好等于一次项的系数7,所以 上式可以分解为:x^2+7x+12=(x+3)(x+4) 又如:分解因式:a^2+2a-15,上式的常数-15可以分解为5*(-3).而5+(-3)又恰好等于一次项系数2,所以a^2+2a-15=(a+5)(a-3). 讲解： x^2-3x+2=如下： x 1 ╳ x 2 左边x乘x=x^2 右边-1乘-2=2 中间-1乘x+-2乘x（对角）=-3x 上边的【x+（-1）】*下边的【x+（-2）】 就等于（x-1）*（x-2） x^2-3x+2=（x-1）*（x-2）例题 例1 把2x^2-7x+3分解因式. 分析：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数. 分解二次项系数(只取正因数)： 2＝1×2＝2×1； 分解常数项： 3=1×3=3×1=(-3)×(-1)=(-1)×(-3). 用画十字交叉线方法表示下列四种情况： 1 1 ╳ 2 3 1×3+2×1 =5 1 3 ╳ 2 1 1×1+2×3
帮你学好因式分解（七）——十字相乘法
帮你学好因式分解（七）——十字相乘法 十字相乘法是运用完全平方公式不能因式分解时需要优先考虑的又一种基本方法，其依据是根据由乘法恒等式—— (x a)(x b)=x^2(a b)x ab 演变过来的公式—— x^2(a b)x ab=(x a)(x b)． 从某种意义上来说，十字相乘法也是运用公式法，它是针对二次项系数为1的二次三项式x^2 px q进行分解的第三种基本方法．运用这种方法的思路是寻找两个数a，b，使得它们的积ab等于常数项q，和等于一次项系数p．一旦找到了这样的两个数，那么就可以把多项式x^2 px q分解为(x a)(x b)． 例如，分解x^210x 16因式时，由于它是二次三项式，所以我们首先想到的是能否运用完全平方公式？经过验证可知这种方法是不能
的，因此考虑十字相乘法，寻找两个数，使得它们的积等于16，且和等于10．要寻找这样的两个数，我们一般只需要先考虑正整数就可以．由于乘积等于16的两个正整数只有1和16，2和8，4和4这三组，所以接下来只需要验证哪一组的和等于10即可．显然，在这三组数中，只有28=10，所以2和8就是我们寻找的两个数． 因此，x^210x 16可分解为(x 2)(x 8)． 为什么把这种因式分解的方法叫做十字相乘法呢？这是因为在寻找这样两个数时，为了方便与直观，我们一般通过画如下简易的交叉“十字”图，把二次项x^2分解为x乘以x，把常数项16分解为所有可能两个整数的相乘，然后再寻找和等于一次项系数10的一组．由于这个“十字图”的缘故才把这种因式分解的方法叫做十字相乘法．例如，用十字相乘法分解x^27x-18因式时，通过画“十字图”可以较快地找到我们想找的两个数． 由于常数项是负数，所以分解为乘积的两个整数是一正、一负，验证一次项系数时要注意符号．经过几次尝试与验证，我们寻找的两个数是9和-2. 所以x^27x-18=(x 9)(x-2)． 再如，因式分解：x^2-18x 56． 见到常数项56，我们马上想到的是“七八五十六”，由于一次项
十字相乘法因式分解(经典全面)
十字相乘法分解因式 (1)对于二次项系数为1方法的特征是“拆常数项，凑一次项” 当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，因式的符号与一次项系数的符号相同； 当常数项为负数时，把它分解为两个异号因数的积，其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相 同． (2)对于二次项系数不是1的二次三项式 它的特征是“拆两头，凑中间” 当二次项系数为负数时，先提出负号，使二次项系数为正数，然后再看常数项； 常数项为正数时，应分解为两同号因数，它们的符号与一次项系数的符号相同； 常数项为负数时，应将它分解为两异号因数，使十字连线上两数之积绝对值较大的一组与一次项系数的符 号相同 注意：用十字相乘法分解因式，还要注意避免以下两种错误出现：一是没有认真地验证交叉相乘的两个积 的和是否等于一次项系数；二是由十字相乘写出的因式漏写字母． 例5、分解因式：652 ++x x 分析：将6分成两个数相乘，且这两个数的和要等于5。 由于6=2×3=(-2)×(-3)=1×6=(-1)×(-6)，从中可以发现只有2×3的分解适合，即2+3=5。 1 2 解：652++x x =32)32(2 ⨯+++x x 1 3 =)3)(2(++x x 1×2+1×3=5 用此方法进行分解的关键：将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的代数和要等于一次项的系数。 例1、分解因式：672+-x x 解：原式=)6)(1()]6()1[(2--+-+-+x x 1 -1 =)6)(1(--x x 1 -6 （-1）+（-6）= -7 练习1、分解因式 (1)24142++x x (2)36152+-a a (3)542 -+x x 练习2、分解因式 (1)22-+x x (2)1522--y y (3)24102--x x
(完整版)十字相乘法
十字相乘法分解因式 因式分解一般要遵循的步骤 多项式因式分解的一般步骤：先考虑能否提公因式，再考虑能否运用公式或十字相 乘法，最后考虑分组分解法．对于一个还能继续分解的多项式因式仍然用这一步骤反复 进行．以上步骤可用口诀概括如下：“首先提取公因式，然后考虑用公式、十字相乘试 一试，分组分解要合适，四种方法反复试，结果应是乘积式”． 1．二次三项式 （1）多项式c bx ax ++2，称为字母 的二次三项式，其中 称为二次项， 为一次项， 为常数项． 例如：322--x x 和652++x x 都是关于x 的二次三项式． （2）在多项式2286y xy x +-中，如果把 看作常数，就是关于 的二次三项式；如果把 看作常数，就是关于 的二次三项式． （3）在多项式3722 2+-ab b a 中，把 看作一个整体，即 ，就是关于 的二次三项式．同样，多项式12)(7)(2++++y x y x ，把 看作一个整体，就是关于 的二次三项式． 2．十字相乘法的依据和具体内容 (1)对于二次项系数为1的二次三项式))(()(2b x a x ab x b a x ++=+++ 方法的特征是“拆常数项，凑一次项” 当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，因式的符号与一次项系数的符号相同； 当常数项为负数时，把它分解为两个异号因数的积，其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相同． 例1、 因式分解。 分析：因为 7x + (-8x) =-x 解：原式=（x+7）（x-8）
例2、 因式分解。 分析：因为 -2x+（-8x ）=-10x 解：原式=（x-2）（x-8） (2)对于二次项系数不是1的二次三项式c bx ax ++2))(()(2211211221221c x a c x a c c x c a c a x a a ++=+++= 它的特征是“拆两头，凑中间” 当二次项系数为负数时，先提出负号，使二次项系数为正数，然后再看常数项； 常数项为正数时，应分解为两同号因数，它们的符号与一次项系数的符号相同； 常数项为负数时，应将它分解为两异号因数，使十字连线上两数之积绝对值较大的一组与一次项系数的符号相同 注意：用十字相乘法分解因式，还要注意避免以下两种错误出现：一是没有认真地验证交叉 相乘的两个积的和是否等于一次项系数；二是由十字相乘写出的因式漏写字母． 例3、 因式分解。 分析：该题虽然二次项系数不为1，但也可以用十字相乘法进行因式分解。 因为 9y + 10y=19y 解：原式=（2y+3）（3y+5） 例4、 因式分解。 分析：因为 21x + (-18x)=3x 解：原式=（2x+3）（7x-9） 例5、 因式分解。 分析：该题可以将（x+2）看作一个整体来进行因式分解。 因为 -25（x+2）+[-4(x+2)]= -29（x+2） 解：原式=[2（x+2）-5][5（x+2）-2] =（2x-1）（5x+8）
因式分解之十字相乘法几大类型
因式分解之十字相乘法几大类型 一. 基本十字相乘法 1、分解因式：2421x x --. 2、分解因式：2712x x -+. 3、分解因式：21118x x ++. 4、分解因式：2421a a --+. 5、分解因式：2522+-x x . 6、分解因式：2321a a --. 7、分解因式：23145b b +-. 8、分解因式： 2592a a -+. 二. 两个字母的十字相乘法. 9、分解因式：xy y x 2514422-+. 10、 分解因式：22152y ay a --. 11、 分解因式：2210116y xy x ++-. 12、 分解因式：()()2 20x y x y +++-. 13、 分解因式：2278a x ax +-. 14、 分解因式：222256x y x y x -+. 15、 分解因式：3)()(22-+++n m n m . 16、 分解因式：3)()(22----b a b a . . 三. 双十字相乘法 17、 分解因式：233222+++-+y x y xy x . 18、 分解因式：2023265622-++--y x y xy x . 19、 分解因式：y x y xy x 422322++++.
作业 1. 分解因式：20122-+-x x . 2. 分解因式：276x x -+. 3. 分解因式：2328b b --. 4. 分解因式：3522--x x 5. 分解因式：2257x x +-. 6. 分解因式：61362+-x x 7. 分解因式：226420x y xy ++- 8. 分解因式：2232x xy y -+ 9. 分解因式：3168)2(42++--y x y x . 10. 分解因式：)122()1)(1(22+++++y y x x y y . 11. 分解因式：)()()(b a ab a c ca c b bc +--++. 12. k 为何值时，k y x y x +-+-7322可以分解成两个一次因式的乘积？ 13. 分解因式：1)1()2+-+ab b a （. 14. 已知a 、b 、c 为三角形的三条边，且027334222=+--++b bc ab c ac a ，求证： c a b +=2.
十字相乘因式解法
十字相乘因式解法 十字相乘因式解法 随着数学课程的深入，大家都会遇到因式分解这个概念。在因式分解 的过程中，除了试除法、公因数法、分组分解法等常见方法，还有一 种既简单又实用的解法，那就是十字相乘因式解法。 一、十字相乘因式解法的概念 十字相乘因式解法，是指通过“相减法”来得到一个方程的两个根，进 而求出该方程的因式。顾名思义，这种解法需要先将方程的系数分解 成两个十字相乘的形式，然后再将两个十字对应的积和差相加、相减，就能得到方程的两个根。 例如，对于方程x²+5x+6=0，我们可以使用十字相乘因式解法。将其系数分解成(x+2)和(x+3)两个十字相乘的形式，即x²+5x+6=(x+2)(x+3)。 然后，将(x+2)和(x+3)两个十字对应的积和差相加、相减，即2+3=5、 3-2=1，这两个数分别就是该方程的两个根。 二、十字相乘因式解法的步骤 了解了十字相乘因式解法的概念后，接下来就是详细的解题步骤了。 1.将方程的系数分解成两个十字相乘的形式。
例如，对于方程x²+5x+6=0，其系数分解为(x+2)(x+3)。 2.将两个十字对应的积和差相加、相减。 在该例子中，(x+2)(x+3)的积为x²+5x+6，两个十字的和为2+3=5，两个十字的差为3-2=1。则方程的两个根分别为-2和-3。 3.将方程的因式表示出来。 在该例子中，方程的因式为(x+2)(x+3)。 三、注意事项 使用十字相乘因式解法时，需要注意以下几点： 1.该解法只适用于一元二次方程的因式分解。 2.对于不易分解的方程，该解法可能不是最佳解决方法。 3.在分解系数时，要考虑到负号的影响，例如(x+2)(x-3)和(x-2)(x+3)是不同的。 4.在找出方程的两个根时，应使用相减法得到两个数的差，而不是使用相加法得到两个数的和。
十字相乘法分解因式
十字相乘法分解因式 十字相乘法是一种用于分解多项式因式的数学方法，也被称为乘法法则，是通过乘法运算将多项式分解为两个或多个乘积的过程。它可以用来解决数学术语中的多项式因式化，也就是将多项式分解为简单的乘积形式。例如，有一个多项式 (x + 2)(x + 3)它可以分解为 (x + 2) (x + 3) 。 十字相乘法分解因式（也称为十字相乘法）是一种以固定的乘法表格的形式，用于将一个多项式中的系数（即多项式的常数项）和未知数（即多项式的变量项）分开，分解多项式为两个或多个乘积的方法。它由四列组成，每列包括未知数和系数。这些四列组成了一个十字表格，由因式和被乘数组成，每一列可以在这些乘数和被乘数之间进行乘法运算，从而实现将多项式分解为两个或多个乘积的目的。 二、十字相乘法分解因式的步骤 1.先，将多项式中的未知数或变量项和系数项分别放在一列中（这些元素可能有一个或多个），并在十字表格的其余列中填写数字。 2.后，从每列中找出未知数，并从其他列中乘以对应的系数。 3.得到的乘积求和，检查该和是否恰好等于多项式的常数项，如果是，则多项式已被成功地分解为两个或多个因式的乘积。 4.果求得的乘积和不等于多项式的常数项，则表明十字相乘法分解因式未能成功进行，此时应重新检查步骤是否正确。 三、十字相乘法分解因式的应用 十字相乘法分解因式可以用来分解一维、二维和三维多项式，以
及高阶多项式。它可以被用来求解有关二次函数、三次函数和更高阶函数的问题。它还可以用于求解不等式，以及解决其他复杂的数学问题。 十字相乘法分解因式在很多数学领域的应用不言而喻，它可以用来分析空间问题，解决几何问题，以及分析计算机科学中的复杂问题。此外，它还可以用于推理推理问题，解决物理问题，以及解决金融学等统计问题。 四、十字相乘法分解因式的优缺点 十字相乘法分解因式有有许多优点。首先，它可以用于分解多项式中繁杂的系数和未知数。其次，它还可以查找多项式的根和根之和和积，以及计算出未知数的值。此外，它还能够有效地解决复杂的数学问题。 然而，十字相乘法分解因式也有一些缺点。它不能用于多项式中的非整数系数，也不能用于分解单一项式。此外，它的求解方法也比较繁琐，对于高阶多项式的分解，需要耗费大量的时间和精力。 五、结论 从上述内容可以看出，十字相乘法分解因式是一种可以有效地将多项式因式分解为两个或多个乘积的有效方法，它可以用来解决各种复杂的数学问题，但它也有一些缺点，不能应用于整数以外的系数，也对高阶多项式的分解比较耗时，但仍然是一种十分有用的工具，应该得到广泛的利用和应用。
因式分解之十字相乘法
十字相乘法 【知识要点】 1． 十字相乘法主要用于二次三项式。 2．十字相乘法：（1）二次项系数为1的二次三项式q px x ++2中，如果能把常数项q 分解成两个因式b a ,的积，并且b a +等于一次项系数中p ，那么它就可以分解成 ()()()b x a x ab x b a x q px x ++=+++=++22 （2）二次项系数不为1的二次三项式c bx ax ++2 中，如果能把二次项系数a 分解成两个因数21,a a 的积，把常数项c 分解成两个因数21,c c 的积，并且1221c a c a +等于一次项系数b ，那么它就可以分解成： ()=+++=++2112212212c c x c a c a x a a c bx ax ()()221c x a a x a ++。 【典型例题】 例1 分解因式 （1）232 ++x x （2）232 +-x x （3）22-+x x （4）22 --x x 例2 分解因式 （1）4822 --x x （2）2762 -+x x （3）202 -+x x （4）2142 -+x x
例3 分解因式 （1）3522 -+x x （2）12522 --x x （3）35122 -+x x （4）35922 --x x 例4 分解因式 （1）222y xy x -- （2）2 242y xy x -+ （3）2232y xy x -+ （4）22158y xy x ++ 例5 分解因式 （1）222y xy x -- （2）2 254y xy x -- （3）226y xy x -+ （4）2 26417y xy x -+ （5）2 2 352y xy x -- （6）122 2 52x xy y --
因式分解十字相乘法
因式分解十字相乘法 什么是因式分解十字相乘法？ 因式分解十字相乘法是一种数学方法，用于将多项式进行因式分解的过程。通过使用十字相乘的方法，可以将一个复杂的多项式分解为更简单的因式。这种方法常用于解决多项式的乘法和因式分解问题。 如何使用因式分解十字相乘法？ 以下是使用因式分解十字相乘法的步骤： 步骤 1：观察多项式的结构 首先，我们需要观察多项式的结构，特别是查看是否有公因式。如果存在公因式，我们可以先提取出来，以简化后续的计算。 步骤 2：找到多项式的两个因式 接下来，我们需要找到多项式的两个因式，这两个因式相乘后可以得到多项式。这两个因式应该满足以下两个条件：
1.相乘后得到的结果与原始多项式相同。 2.相乘后得到的结果可以进一步分解。 步骤 3：使用十字相乘法 一旦我们找到了两个因式，我们可以使用十字相乘法来展 开计算。十字相乘法的步骤如下： 1.将两个因式分别写在一个十字形结构的两侧。 2.首先，将两个因式的每个对应的项相乘，将结果写 在下方。 3.然后，将下方的结果进行合并，得到最终的分解式。步骤 4：进一步分解 如果在步骤 3 中的分解式仍然可以进一步分解，我们可以 重复步骤 2 和步骤 3 ，直到不再存在进一步分解的可能。 步骤 5：总结结果 最后，我们可以将所有得到的因式整理在一起，以得到最 终的因式分解结果。
一个示例：因式分解 x^2 + 5x + 6 让我们使用因式分解十字相乘法来解决一个简单的例子， 以便更好地理解这个方法。 我们要解决的多项式是 x^2 + 5x + 6 。 步骤 1：观察多项式的结构 这个多项式没有显式的公因式，所以我们可以继续下一步。步骤 2：找到多项式的两个因式 我们需要找到两个因式，它们相乘后可以得到 x^2 + 5x + 6 。一个直观的选择是 (x + 2) 和 (x + 3) 。我们可以验证一下它们 是否满足条件。 (x + 2) * (x + 3) = x^2 + 5x + 6 满足条件，我们可以继续下一步。 步骤 3：使用十字相乘法 现在，我们可以使用十字相乘法来展开计算：
因式分解之十字相乘法
因式分解之十字相乘法 一、 形成概念 1、 复习分解因式 分解因式：把一个多项式分解成几个整式的积的形式 一）填空：1）)4)(3(++x x = ； 2）)5)(4(++x x = 。 3）)3)(1(++y y = ； 4）))((q x p x ++= 。 二）能否对1272++x x 、2092 ++x x 、342++y y 、pq x q p x +++)(2进行因式分解？ 它们有什么特点？ 特点：1）二次项系数是1； 2）常数项是两个数之积； 3）一次项系数是常数项的两个因数之和。 2、 十字相乘法 步骤：（1）列出常数项分解成两个因数的积的各种可能情况； （2）尝试其中的哪两个因数的和恰好等于一次项系数； （3）将原多项式分解成))((q x p x ++的形式。 关键：乘积等于常数项的两个因数，它们的和是一次项的系数 二次项、常数项分解坚直写，符号决定常数式，交叉相乘验中项，横向写出两因式 3、 讲解例题 例1 分解因式：1）562++x x ； 2）21102+-a a ； 3）542-+t t ； 4）6322--x x 。 分析：关键之处在于把常数项分解成两数的积，再找它们的和等于一次项的系数的两个因数。 例2 分解因式：1）652++x x ； 2）652+-x x ； 3）652-+x x ； 4）652 --x x 。 分析：此例题中各式都有很大的相同之处。只有深刻理会十字相乘法，才可以正确地把四个多项式分解因式。
4、 运用十字相乘法解一元二次方程 例3 解方程： 1）0762=++x x ； 2）0822=-+x x ； 3）1272-=+x x ； 4）1032=+x x 。 分析：此例是运用十字相乘法因式分解，先把等号左边因式分解，然后再求解。 例4 解方程： 1）2)1(=+x x ； 2）15)3)(1(=++x x 。 分析：此例是运用十字相乘法因式分解，先把它变成一般形式，然后再求解。 ☆ 巩固练习：解方程：1）28)3(=+t t ； 2）5)1)(3(=-+x x ； 二、练习 1）0652=+-x x ； 2）030172=+-y y ； 3）16102-=x x ； 4）2406x x =-； 5）15)3)(1(=--p p ； 6）15)3)(1(=++y y ； 7）10)2)(1(=+-x x ； 8）04062=--x x 。
十字相乘因式分解法
十字相乘因式分解法 摘要： 1.十字相乘法概述 2.十字相乘法的步骤详解 3.十字相乘法的应用实例 4.注意事项与实用性总结 正文： 十字相乘因式分解法是一种常用的数学技巧，适用于解决二次方程的因式分解问题。通过这种方法，我们可以将复杂的乘法运算转化为简单的加减运算，从而更容易地求解问题。下面我们将详细介绍十字相乘法的步骤、应用实例以及注意事项。 一、十字相乘法概述 十字相乘法是一种基于矩阵运算的因式分解方法。它的基本思想是将二次方程的系数用矩阵形式表示，然后通过矩阵的乘法运算得到方程的解。这种方法在解决含有两个未知数的二次方程时非常有效，尤其是在未知数的系数不便于直接分解的情况下。 二、十字相乘法的步骤详解 1.准备一个二次方程，例如：ax + bx + c = 0。 2.将方程的系数表示为一个2x2的矩阵A，其中： A = | a b | | c 0 |
3.计算矩阵A的行列式（Det(A)），公式为： Det(A) = a * d - b * c 4.判断行列式Det(A)的值： - 如果Det(A) ≠ 0，说明方程有两个不同的实数解； - 如果Det(A) = 0，说明方程有两个相同的实数解或无实数解。 5.如果Det(A) ≠ 0，计算矩阵A的逆矩阵（A），公式为： A = (1/Det(A)) * (ad - bc) 6.将矩阵A和其逆矩阵A相乘，得到一个单位矩阵I，公式为： I = A * A 7.将单位矩阵I表示为方程的解，即： x = I，x = I 三、十字相乘法的应用实例 以二次方程x + 5x + 6 = 0为例，我们可以按照以下步骤进行求解： 1.确定方程的系数矩阵A： A = | 1 5 | | 6 0 | 2.计算行列式Det(A)： Det(A) = 1 * 6 - 5 * 6 = -24 3.计算矩阵A的逆矩阵A： A = (1/(-24)) * (1 * 6 - 5 * 0) = | 1/2 -1/2 | | -3/2 3/2 | 4.计算单位矩阵I：
因式分解十字相乘法
因式分解-十字相乘法 一、十字相乘法分解因式 十字相乘法：有些二次三项式，可以把第一项和第三项的系数分别分解为两个数之积，然后借助画十字交叉线的方法，把二次三项式进行因式分解，这种方法叫十字相乘法。 简单的说十字相乘法就是：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数。 注意：十字相乘法不是适合所有二次三项式，只有在一次项系数和二次项系数以及常数项存在一种特殊关系时才能用，这个特殊关系我们通过例题来说明： 1、首项系数是1的二次三项式的因式分解，我们学习了多项式的乘法，即 ()()()x a x b x a b x ab ++=+++2 将上式反过来，()()()x a b x ab x a x b 2+++=++ 得到了因式分解的一种方法——十字相乘法，用这种方法来分解因式的关键在于确定上 式中的a 和b ，例如，为了分解因式x px q 2 ++，就需要找到满足下列条件的a 、b ； a b p ab q +==⎧⎨ ⎩ 如把762 -+x x 分解因式，首先要把二次项系数2 x 分成x x ⨯，常数项-7分成)1(7-⨯， 写成十字相乘，左边两个数的积为二次项，右边两个数的积为常数项。交叉相乘的和为 x x x 67)1(=⨯+-⨯，正好是一次项。从而)1)(7(762-+=-+x x x x 。 2、二次项系数不为1的二次三项式的因式分解 二次三项式ax bx c 2 ++中，当a ≠1时，如何用十字相乘法分解呢？分解思路可归纳 为“分两头，凑中间”，例如，分解因式2762 x x -+，首先要把二次项系数2分成1×2， 常数项6分成()()-⨯-23，写成十字相乘，左边两个数的积为二次项系数。 右边两个数相乘为常数项，交叉相乘的和为()()13227⨯-+⨯-=-，正好是一次项系 x =-+762x ) 1)(7(-+x x x x ⇓ ⨯ ⇓ 7 1 -x x x 67=+-
因式分解 十字相乘法
因式分解十字相乘法 因式分解及十字相乘法是现代数学中一种经常使用的方法，用于求解复杂的算法问题，对于高等数学及科学研究非常重要。本文将探讨因式分解及其十字相乘法，阐释其基本原理及求解方法，以及它在实践中的实用价值。 一、因式分解及十字相乘法的原理 因式分解及十字相乘法是一种有效的将复杂的数学表达式简化 的方法，它的基本原理是将一个复杂的表达式拆分成多个简单的表达式，随后再将这些表达式结合起来，以实现对复杂式的计算及求解。十字相乘法是因式分解与计算结合而成的一种计算技术，利用十字形式的乘法表，可在较短的时间内快速求解复杂表达式的结果。因式分解及十字相乘法的原理可表示如下： 二、因式分解及十字相乘法的求解方法 因式分解及十字相乘法的求解方法有三种：首先，确定公式的表达结构，把它分解成多个简单的式子；其次，结合各定义量的项系数，逐项乘积，结合计算结果；最后，利用混合乘积法进行定义量之间的乘积计算。以下为具体求解方法： 1、确定公式的表达结构。如果公式比较复杂，那么可以根据定义量的类型，把表达式拆分成多个简单的式子，然后按照乘积的顺序，将多个式子连接起来，以达到分解的目的。 2、进行定义量之间的乘积计算。根据拆分后的表达式，按顺序结合定义量的项系数，进行逐项乘积，结合计算结果。
3、利用混合乘积法进行定义量之间的乘积计算。这是一种较复杂的求解方法，有时需要用到复数以及矩阵来进行计算，而且需要记录定义量之间的乘积关系，可以使用十字乘法表来减少繁琐的计算步骤，使计算更加高效、便捷。 三、因式分解及十字相乘法的实用价值 因式分解及十字相乘法在实践中具有重要的实用价值。 1、具有很强的混合计算能力。因式分解及十字相乘法能够为复杂的数学表达式提供有效的计算方法，可以有效地求解复杂的数学关系，并减少计算时间。 2、减少计算错误的机会。将复杂的公式拆分成多个简单的表达式，减少了计算错误的机会，从而更容易求解问题。 3、可以解决多种复杂的数学表达式。因式分解及十字相乘法既可以用于解决算术表达式，也可以用于解决代数、几何等数学表达式，所以可以广泛应用于数学和科学研究中。 本文对因式分解及十字相乘法进行了简要介绍，总结出它的基本原理，求解方法及实用价值。因式分解及十字相乘法是一种非常简单有效的数学计算方法，具有广泛的应用前景。