Ch4 固体中弹性波-10 Love波

k=
c2
< c2 (Love波波速的上限)
所以有 c
c22
> c2 (Love波波速的下限)
Love波的波函数表达式 r
r k
r kz 2 2 k = k x + kz2
kx
应用边界条件可得
Love波的频散方程
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A1e
jkph
− A2 e
− jkph
=0
A1 + A2 − A1 = 0
x<0:
Deformation propagates. Particle motion consists of alternating transverse motions. Particle motion is horizontal and perpendicular to the direction of propagation (transverse). To aid in seeing that the particle motion is purely horizontal, focus on the Y axis (red line) as the wave propagates through it. Amplitude decreases with depth. Material returns to its original shape after wave passes.
uy
2 0 -2 -4 0
3 4
2
Leabharlann Baidu
20 40 60 80 100 120 140 160 180
0
x ( m)
h
亦可计算半无限大固体中各阶 Love波的位移分布
3
中国石油大学(北京) 乔文孝
2007-12-11
Love波的性质－小结
• • • • • • Love波存在于半无限大固体介质的上覆疏松层； Love波 是一种 SH型 制导波 ; Love波的波函数既要满足波动方程、又要满足边界条件； Love波有无限多种波动模式 ; 每一种波动模式均对应一个简正频率 fn ，只有当声源的频 率满足 f > fn时 才存在 n阶简正波； f < fc 时，只存在零阶 (基阶 )Love波； 各种波动模式均是频散波 ; 各阶 Love波的波速介于两种固体的横波波速之间。
− e − jkph 1 − jµ p
0 −1 = 0 − µν
u y = A1e
j[k (z + px) −ω t ]
r r 2 c r kt = ± kpi + kk , p = 2 − 1 c2 k = ω 为Love波的波数，c为Love波的波速. c c2 < c < c2 (Love波的波速范围)
x=0
= Txy
x =0
⇒µ
∂u y ∂x
x=0
=µ
∂u y ∂x
x =0
于是可以分区间直接写出y分量位移的波函数
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1
中国石油大学(北京) 乔文孝
2007-12-11
Love波的波函数表达式 r
r k
r kz k 2 = k x2 + kz2
Love波的波函数表达式
kx
r kx
r k
在 x<0区域： SH波沿 z轴 方向r 传播 小； r ，但 其幅度随着 x绝对值的增加而减 r r j(k t g r −ωt ) kνx j(kz −ωt ) r , r = xi + zk y 1 1
70
80
fc
Frequency (Hz)
Love波的位移振幅分布
Love波的位移振幅分布
Some modes for Love waves
Love波的位移振幅分布
h=190m的 薄层内各阶 Love波的位移分布
6
Love波对地震勘探是干扰波
0
4
depth h 0
1
c = 3300m / s c2 = 2000m / s
2
+ A2e
j[k(z − px) −ω t ]
,
c 1− 2 µ c2 c2 tg kh 2 − 1 = ⋅ (Love波的频散方程 ) µ c2 c2 c2 < c < c2 − 1 c22 无限多 个解，表明 Love波有无限 多种波动模式.
2
Love波的简正模式
Dispersion
The typical dispersive behavior of Love waves solid – group velocities; dashed – phase velocities
3400 3200 3000
1
3400 3000
c2 = 3300 m / s c2 = 2000 m / s
r kz k = k + kz2
2 2 x
r ω r r 2 横波波 矢为 kt = ±kpi + kk , kt = c = k p + 1 2 ω
u y = A1e j[k(z + px) −ω t ] r + A 2 e j[k (z −px) −ω t ]
波的波数，c为Love波的波速. c 为Love 2 c − 1, p > 0 才有物理意义。 p2 =
中国石油大学(北京) 乔文孝
2007-12-11
洛夫波(Love波、勒夫、乐浦 )
在均匀半无限弹性体上覆盖着一个无限大平行层，且 平行层中的横波速度小于半无限介质中的横波速度， 这时在表面层中观测到的SH型的面波称之为Love波。
Love Wave (L-Wave) Animation
胡德绥,弹性波动力学,地质出版社,北京,1989.11, p.219~223.
1 0 2 3 4
Vl (m/S)
3200
2800 2600 2400 2200 2000 1800 0 10 20 30 40 50 60 70 80
Vl (m/S)
2800 2600 2400 2200 2000 1800 0 10 20 30 40
1 0
2 3
4
Frequency(Hz)
50
60
洛夫波(Love波)
设平行层介质厚度为h，层内横波波速为 c2，切变模量为 µ ； 半无限空间介质的横波波速为 c2 ，切变模量为 µ 。 各层介质中仅存在位移的 y方向偏振分量，其它分量为零，所有 量与 y无关。
洛夫波(Love波)
步骤(思路)
•声学边界条件 •写出波函数表达式 •将波函数代入边界条件 •求解频散方程 •分析位移分布 •结果讨论
r r r r ω = k 1 −ν 2 横波波 矢为 kt = − jkν i + kk , kt = c2 ω k = 为Love波的波数，c为Love波的波速. c c2 ν 2 = 1 − 2 ,ν > 0 才能保证： x → −∞ ⇒ u y → 0
所以有 c
u =Ae
=Ae e
在 0<x<h区域 : SH波在平行层上下两个界面上来回反射并沿 z轴 方向传播 .
两个界面的边界条件
Love波存在的特点
SH偏振
两个界面
Txy uy Txy
x= h
=µ = uy
∂u y ∂x
x= 0
=0
x= h
x =0
弹性波 传播特性分析： 1. 所有的量与 y无关，位移只有 y分量 (即仅存在 SH波型); 2. 在 x<0区域： SH波沿 z轴 方向传播，但 其幅度随着 x绝对值的增加而减小； 3. 0<x<h区域 : SH波在平行层上下两个界面上来回反射并沿 z轴 方向传播 .
2 µ 1− c 2 c2 1 −1 + n π , n = 0,1,2 ...... tg 2 2 c c 2 −1 µ c 2 −1 c2 2
Love波的简正频率和截止频率
c → c2时, kh → 0, ⇔ f → 0
频散
• •
4

1 1 fc = f1 = 1 2h c 2 − c 2 2 2
1 1 − 2 c22 c2
2
中国石油大学(北京) 乔文孝
2007-12-11
Love波的频散曲线
kh =
2 µ 1− c c2 2 −1 + nπ , n = 0,1, 2...... tg 2 2 c c −1 2 µ c 2 −1 c2 2
u y = A1e e
kνx
j(kz −ωt )
2 r r r , kt = − jkν i + kk , ν 2 = 1 − c 2
j µ p ( A1 − A2 ) − µν A1 = 0 µν µp
0<x<h:
c2
A1 , A2 , A1 不全为零的条件为：
tg ( kph ) = 即：
e jkph 1 jµ p
kh =
对于基阶振型(n=0), c → c2时, kh → ∞ ⇔ f → ∞ 对于 n阶振型， c → c2时, kh → ∞ ⇔ f → ∞ nc2 n 1 = c → c2时, kh → ⋅ nπ , f → 2 2 1 1 c2 c2 2h 2 − 1 2h 2 − 2 −1 c2 c2 c2 c22 于是， n阶 振型 Love波的简正频率 为 f = n 2h n
µ c2 tg kh 2 − 1 = ⋅ µ c2 c2 −1 c 22 由上式 可得， 2 µ 1− c 2 c 1 −1 2 + kh = tg n π , n = 0,1,2...... 2 c2 c 1 1 − − µ 2 c22 c2 表示对应于一个 h，存在无 穷多种模式的 Love波 ; 与 n=0相对应的模式波称为基阶振型 Love波， 与 n对应的模式波称之为 n阶 振型 Love波 . c2 1− 2 c2