第六章 多元函数的微积分

偏导函数,简称偏导数,记作 记作
∂z , ∂x
∂f ( x , y ) , ∂x
z ′x ,
z ′y ,
f x′ ( x, y ),
f y′( x, y),
∂z , ∂y
∂f ( x , y ) , ∂y
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根据偏导数的定义可知,求多元函数关于某个自变量的偏导数, 并不需要新的方法,只需将其他自变量看作常数,仅对一个自变量求 导,因此,一元函数的求导法则和求导公式,对求多元函数的偏导数仍 然适用.
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偏导数的概念
设函数z = f ( x, y )在点（x0 , y0 )的某一邻域内有定义，当y固定
在y0 , 而x在x0处有增量∆x时, 相应的函数有增量
∆ x z = f ( x0 + ∆x, y0 ) − f ( x0 , y0 )
如果极限
f ( x0 + ∆x, y0 ) − f ( x0 , y0 ) lim ∆x →0 ∆x
存在, 则称此极限为函数z = f ( x, y )在点( x0 , y0 )处对x的偏
导数, 记作
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∂z ∂x
∂f x = x0 , ∂x y = y0
x = x0 y = y0
, z′ = x
x = x0 y = y0
, 或f x′( x0 , y0 )
f ( x0 , y0 + ∆y ) − f ( x0 , y0 ) lim ∆y →0 ∆y 存在，则称此极限为函数z = f ( x, y )在（x0 , y0 )处关于y的偏
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如下图所示
x0
y0 ( x0 , y0 )
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偏导数与连续的关系
我们知道，一元函数y = f ( x)在x0可导，则它在该点必连续.
但对于二元函数z = f ( x, y ),即使在点( x0 , y0 )的两个偏导数都存在,
函数f ( x, y )在点（x0 , y0 )不一定连续。
它取得一个大于零的函数值和一个小于零的函数值, 则至少 有一点(ξ ,η ) ∈ D, 使得f (ξ ,η ) = 0.
性质４ 有界性定理） 性质４ （有界性定理）
它必在D上有界.
若函数f ( x, y )在有界闭区域D上连续, 则
例４ 设 解
3 sin πx + y 2 f ( x, y ) = , 求 lim f ( x, y ) xy e + xy x →1
二元函数的定义 定义1 设有三个变量x, y和z, 如果当变量x, y在某一给定 定义
的二元有序实数对D内任取一对值( x, y )时，变量z按照一定
的规律, 总有唯一确实的数值和它们对应，则变量z叫做变量x, y
的二元函数，记作z = f ( x, y )
其中x, y为自变量，z为因变量， , y )变化的范围D称为函 (x
该点又在此函数的定义区域内, 则极限值就是函数在该点的
函数值, 即
p → p0
lim f ( P ) = f ( p0 )
思考题: 思考题: 一元函数连续和二元函数连续的区别与联系。 一元函数连续和二元函数连续的区别与联系。
§6.2 多元函数的偏导数和全微分
偏导数的概念 偏导数的几何意义 偏导数与连续的关系 高阶偏导数 全微分的概念和应用（未做） 全微分的概念和应用（未做） 小结 思考与练习
为函数f ( x, y )当x → x0 , y → y0时的极限，记作
x → x0
y → y0
lim f ( x, y ) = A或f ( x, y ) → A( p → 0), 这里p = pp0
小结：
（１）( x, y )趋于（x0 y0 )是指点p ( x, y )与点p0 ( x0 , y0 )的距离
第 6章
多元函数微积分
第1节 多元函数的概念 第2节 多元函数的偏导数和全微分 第3节 多元复合函数、隐函数的求导法则 多元复合函数、 第4节 多元函数微分法的应用 第5节 二重积分的概念 第6节 二重积分的计算 第7节 二重积分的应用
§6.1 多元函数的概念
二元函数的定义 二元函数的几何意义 二元函数的极限 二元函数的连续性 小结 思考与练习
2 2
1 x + y ⋅ sin 2 〈ε成立 2 x +y 所以， lim f ( x, y ) = 0
2 2
x →0 y →0
由于平面上由一点到另一点有无数条路线，因此二元函数
中当（x, y )趋于( x0 y0 )时, 要比一元函数中x趋于x0复杂的多,
例如, 可以沿任何直线, 也可以沿任何曲线, 如果( x, y )沿
二元函数的几何意义
一般地讲，二元函数的几何意义表示空间直角坐标系中的 一个曲面。 设二元函数z = f ( x, y ) ( x, y ) ∈ D 在定义域D内每取一点
p( x, y ), 根据函数的关系式就可得到相应的z值，空间中的
M（x, y, f ( x, y ))的坐标满足关系式 z = f ( x, y ),当点p ( x, y )跑遍
在选定空间直角坐标系 后，房间内每一点( x, y, z )处都有
唯一的温度 u与之对应，这时温度u是x, y, z的一个三元
函数，故可表为u = u ( x, y, z )
若考虑房间不同时刻t的温度分布，则温度u就是x, y, z, t
的一个四元函数u = u ( x, y, z , t )
类似的例子还可举出很多,今后我们主要研究二元函数。
例1 解
求z = x 2 sin 2 y的偏导数。
为求 ∂z , 视y看作常数，对x求导，得 ∂x
∂z = 2 x sin 2 y ∂x
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∂z 为求 , 视x看作常数，对y求导，得 ∂y
∂z = 2 x 2 cos 2 y ∂y
例2 解
设f ( x, y ) = x + y − x 2 + y 2 , 求f x′(3,4), f y′ (0,5)
数的定义域。设点( x0 , y0 ) ∈ D, 则，z = f ( x, y )称为对应于( x0 , y0 )
的函数值，函数值的总体称为函数的值域。 类似地，可定义三元函数及其他多元函数。
例１ 正圆锥体体积v和它的底半径r , 高h之间具有关系
1 2 v = πr h 3
这里，v随着r , h的变化而变化，当r , h在一定范围
（x − x0 ) 2 + ( y − y0 ) 2 趋于零。这一点与一元函数相类似。
（２） 当（x, y )趋于（x0 , y0 )时，函数f ( x, y )以A为极限，是指
p( x, y )以任何方式趋于p0 ( x0 , y0 )时，函数都无限接近于A。
例３ 求证 证明
1 设f ( x, y ) = ( x + y ) sin 2 2 x +y
二元函数的极限 设函数 f ( x, y )在开区域（或闭区域） D内有定义，
p0 ( x0 , y0 )是D的内点或边界点，如果对于任意给定的正数
ε，总存在正数δ，使得对于适合不等式
0 < pp0 = ( x − x0 ) 2 + ( y − y0 ) 2 < δ
的一切点p( x, y ) ∈ D, 都有 f ( x, y ) − A < ε成立，则称常数A
2 2
( x 2 + y 2 ≠ 0)
lim f ( x, y ) = 0
x →0 y →0
1 1 2 2 ( x + y ) sin 2 − 0 = x + y sin 2 ≤ x2 + y2 x + y2 x + y2
2 2
可见，对任何ε > 0, 取δ = ε ，则当
0 < ( x − x0 ) + ( y − y ) < ε时，总有
x2 + y 2 例如 f ( x, y ) = 1
xy = 0 xy ≠ 0
f (0 + ∆x,0) − f (0,0) (∆x) 2 f x′(0,0) = lim = lim =0 ∆x →0 ∆x →0 ∆x ∆x
f (0,0 + ∆y ) − f (0,0) (∆y ) 2 f y′ (0,0) = lim = lim =0 ∆x →0 ∆y →0 ∆y ∆y
不同的路线趋于( x0 , y0 )时, 所得的极限值不同, 那么二重
极限也就不存在
二元函数的连续性
设函数f ( x, y )在开区域(或闭区域) D内有定义, p0 ( x0 , y0 )是D的
内点或边界点, 且p0 ∈ D, 如果
lim f ( x, y ) = f ( x0 , y0 )
x →1 y →2
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可见，函数f ( x, y )在点（0， 0）的两个偏导数都存在, 而当
同理,如果极限 导数,记作
∂z ∂y
∂f x = x0 , ∂y y = y0
x = x0 y = y0
, z ′y =
x = x0 y = y0
, 或f y′ ( x0 , y0 )
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如果函数z = f ( x, y )在平面区域D内每一点( x, y )处对于x
（或y )的偏导数都存在，则称函数f ( x, y )在D内有对x(或y )
(r > 0, h > 0)内取定一队值时，v的值就随之确定，即当取定 二元有序数组(r , h)时，v便有确定的值与之对应，这时底半
径r和高h是相互独立的，它们之间不存在依赖关系，这时
体积v是半径r和高h的二元函数。
例2
一个有火炉的房间内,在同一时刻的温度分布 一个有火炉的房间内 在同一时刻的温度分布
因为f x′( x, y ) = 1 − f y′ ( x, y ) = 1 − 2x 2 x2 + y2 2y 2 x +y
2 2
= 1− = 1−
x x2 + y2 y x2 + y2
所以 f ′(3,4) = 1 − 3 = 2
5
5
f y′ (0,5) = 1 − 1 = 0
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y →2
由于f ( x, y )是初等函数, 且点(1,2)在其定义域内
故f ( x, y )在点(1,2)处连续,
因此
3 sin π + 2 2 3 2 f ( x, y ) = f (1,2) = = 2 lim e2 + 2 e +2 x →1
y →2
小结： 小结：
一切多元初等函数在其定义区域内是连续的．所谓定义区域， 是指包含在定义域内的区域或闭区域． 由多元初等函数的连续性，如果要求它在点 p0处的极限, 而
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例3 解
∂z ∂z 求z = x 的偏导数 , ∂x ∂y
y
∂z = yx y −1 ∂x
∂z = x y ln x ∂y
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偏导数的几何意义
二元函数z = f ( x, y )在点（x0 , y0 )的偏导数有简单的几何
意义.
设M（x0 , y0 , f ( x0 , y0 ))为曲面z = f ( x, y )上的一点，过M 0 0
定义域D时，相应的点M（x, y, f ( x, y ))就在空间描绘出一个曲
面，这个曲面就是二元函数z = f ( x, y )的图形。
（2） 二元函数 z=f (x,y) 的图形 ） ——空间点集 ——空间点集 {(x,y,f (x,y))| (x,y)∈D}. ——通常是一张曲面（函数曲面）. 通常是一张曲面（函数曲面） 通常是一张曲面
连续, 则它在D上一定至少取得最小值和最大值各一次.
性质２ 介值定理） 性质２ （介值定理） 若函数f ( x, y )在有界闭区域D上连续
且它在D上取得两个不同的函数 值, 则它在D上取得介于这两个
值之间的任何值至少一次.
性质３ 零点定理） 性质３ （零点定理） 若函数f ( x, y )在有界闭区域D上连续, 且
则称函数f ( x, y )在点p0 ( x0 , y0 )连续; 否则称函数f ( x, y )在点
( x0 y0 )间断.如果函数fBiblioteka Baidu( x, y )在区域D上每一点都连续, 则称它在区
域D上连续, 和一元函数类似, 二元连续函数有下列性质.
性质１ 最大值和最小值定理） 性质１ （最大值和最小值定理） 若函数f ( x, y )有界闭区域D上
作平面y = y0 , 截曲面得一曲线，其方程为z = f ( x, y0 ), 则导数
对x轴的斜率；同样，偏导数f y′ ( x0 , y0 )是曲面被平面x = x0
d f ( x, y0 ) x = x0 , 即偏导数f x′( x0 , y0 )就是曲线在点M 0的切线M 0Tx dx
所截成的曲线在点M 0的切线M 0Ty 对y轴的斜率。