唯一性定理+镜像法课件
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的位置和大小分别为 根据球面镜像原理，镜像电荷 q2 2 a2 a2 q2 q2 b2 d2 d2
球壳外区域任一点电位为 a2 q 1 外 2 2 2 2 1/ 2 2 4 1/ 2 4π 0 (r 2d2 r cos d2 ) (d2 r 2d2 ra2 cos a2 )
球壳中： 球壳中为导体区域，导体为等位体，球壳中的电位为零。 球壳内：边界为r = a1的导体球面， 边界条件为 (a , , ) 0 1 q1 a1 q1 根据球面镜像原理，镜像电 荷 q1 的位置和大小分别为 d1 b1 2 a1 a1 q1 q1 b1 d1 d1 1 球壳内区域任一点电位为 q
a
d
q
a q
d
q
设想在待求场域之外有一镜像电荷q′，位置如图所示。根据镜像法原理， q 和 q′在球面上的电位为零。
点 电 荷 与 接 地 导 体 球 周 围 的 电 场
a
a
(r , )
c
N
在球面上任取一点c，则
a
r2 q
b
r1
M
q
1 q q c ( )0 4π 0 r1 r2 r2 q q r1
Z
l
h
l
Z
r1
r2
P( x, y, z )
h
x
o
h
l
x
将无限长的线电荷看作无数个点电荷的集合。根据点电荷对无 限大接地导体平面的镜像原理，可得到线电荷对应的镜像电荷 l 仍为平行于导体表面的线电荷，其电荷密度为
x 2 ( z h) 2 l ln 待求场域 ( z 0) 中的电位 2π x 2 ( z h) 2
当n=3时：
q
π 3
q
q
π 3
q
q
q
q
角域外有5个镜像电荷， 大小和位置如图所示。 所有镜像电荷都正、负 交替地分布在同一个圆 周上，该圆的圆心位于 角域的顶点，半径为点 电荷到顶点的距离。
角域夹角为π/n，n为整数时，有(2n－1)个镜像电荷，它们与水平边界 的夹角分别为
d
q ab q d a
q a b q d a
空间任意点( r , ) 的电位：
a q q d
a2 b d
q 4π 0
1 a (r 2 2dr cos d 2 )1/ 2 (d 2 r 2 2dra 2 cos a 4 )1/ 2
上半空间的电场强度：
E
q x x Ex 4π x 2 y 2 ( z d )2 3/2 x 2 y 2 ( z d )2 3/2
q y y Ey 4π x 2 y 2 ( z d )2 3/2 x 2 y 2 ( z d )2 3/2
导体表面上感应电荷总量
qS
Βιβλιοθήκη Baidu
S dxdy
qd 2π( x2 y 2 d 2 )3/ 2 dxdy q
导体表面上感应电荷对点电荷的作用力
q2 q2 F a = a 2 z 2 z 4π （2d） 16π d
2. 线电荷对无限大接地导体平面的镜像
3.点电荷对半无限大接地导体角域的镜像
由两个半无限大接地导体平面形成角形边界，当其夹角
为整数时，该角域中的点电荷将有 (2n-1)个镜像电荷，该角 域中的场可以用镜像法求解: 当n=2时：
π ,n n
该角域外有3个镜像电荷q1、 q2和q3 ，位置如图所示。其中
q1 q, q2 q, q3 q
a
导体球不接地：
a
—
a q q d
a2 b d
a q q q d
导体球不接地：根据电荷守恒定律，导体球上感应电荷代数和应为
零，就必须在原有的镜像电荷之外再附加另一镜像电荷
q″=－q′
为了保证球面为等位面的条件，镜 像电荷q″应位于球心处 。
( r , , )
q zd zd Ez 2 2 4π x y ( z d )2 3/2 x 2 y 2 ( z d )2 3/2
导体表面感应电荷（导体与介质的边界条件）
qd S Dn Ez 2π( x 2 y 2 d 2 )3/2
q
导体平面
0
在空间的电位为点电荷q 和镜像电荷 -q 所 产生的电位叠加，即
q 4 π
导体平面边界上：
1 1 r1 r2
0
z
q
r1
r2
p
d 导体平面 o
q
d
r1 r2
x
电位满足边界条件
电位：
q 1 1 2 1/2 1/2 2 2 2 2 2 4π x y ( z d ) x y (z d )
π (2m ), m 1, 2, n 及(2π )
, (n 1)
n不为整数时，镜像电荷将有无数个，镜像法就不再适用了；当角域 夹角为钝角时，镜像法亦不适用。
4. 点电荷对导体球面的镜像
设一点电荷q位于半径 a 为的接地导体球附近，与球心的距离为d，如图所示。 待求场域为r >a区域，边界条件为导体球面上电位为零。
用反证法可以证明。
惟一性定理为某些复杂电磁问题求解方法的建立提供了理论 根据。镜像法就是惟一性定理的直接应用。
3.5、镜像法
镜像法概念：在一定条件下，可以用一个或多个位于 待求场域边界以外虚设的等效电荷来代替导体表面上
感应电荷的作用，且保持原有边界上边界条件不变，
则根据惟一性定理，空间电场可由原来的电荷和所有 等效电荷产生的电场叠加得到。这些等效电荷称为镜 像电荷，这种求解方法称为镜像法。 理论依据：惟一性定理是镜像法的理论依据。
r
p
a
q
r2
r1
q
b
q
d
球外任一点电位：
q 1 a a 2 2 2 2 1/ 2 2 4 1/ 2 4π 0 (r 2dr cos d ) (d r 2dra cos a ) dr
q q 球面上任一点电位： 4π 0 a 4π 0 d
3.4 惟一性定理
边值问题的分类
狄里赫利问题：给定整个场域边界上的位函数值
f ( s)
f ( s) 纽曼问题：给定待求位函数在边界上的法向导数值 n
混合边值问题：给定边界上的位函数及其法向导数的线性组合
f1 ( s ) f 2 ( s) n
惟一性定理：在给定边界条件下，泊松方程或拉普拉斯方程的解 是惟一的。
例3： 有一接地导体球壳，内外半径分别为a1和a2，在球壳内外各 有一点电荷q1和q2 ，与球心距离分别为d1和d2 ，如图所示。 求：球壳外、球壳中和球壳内的电位分布。
解：
a1 q1
a2
( r , , )
q2
d2
a2
o
r
q2
b2
r2
r1
q2
d1
d2
球壳外：边界为r = a2的导体球面，边界条件为 (a2 , , ) 0
内
4π 0 (r 2 2d1r cos d12 )1/ 2 a1 2 2 (d1 r 2d1ra12 cos a14 )1/ 2
用镜像法解题时，一定要注意待求区域及其边界条件，对边界 以外的情况不予考虑。
应注意的问题：
① 镜像电荷位于待求场域边界之外。 ② 将有边界的不均匀空间处理为无限大均匀空间，该均匀 空间中媒质特性与待求场域中一致。 ③ 实际电荷(或电流)和镜像电荷(或电流)共同作用保持原 边界处的边界条件不变。
1. 点电荷对无限大接地导体平面的镜像
待求场域：上半空间
边界： 无限大导体平面 边界条件：
球壳外区域任一点电位为 a2 q 1 外 2 2 2 2 1/ 2 2 4 1/ 2 4π 0 (r 2d2 r cos d2 ) (d2 r 2d2 ra2 cos a2 )
球壳中： 球壳中为导体区域，导体为等位体，球壳中的电位为零。 球壳内：边界为r = a1的导体球面， 边界条件为 (a , , ) 0 1 q1 a1 q1 根据球面镜像原理，镜像电 荷 q1 的位置和大小分别为 d1 b1 2 a1 a1 q1 q1 b1 d1 d1 1 球壳内区域任一点电位为 q
a
d
q
a q
d
q
设想在待求场域之外有一镜像电荷q′，位置如图所示。根据镜像法原理， q 和 q′在球面上的电位为零。
点 电 荷 与 接 地 导 体 球 周 围 的 电 场
a
a
(r , )
c
N
在球面上任取一点c，则
a
r2 q
b
r1
M
q
1 q q c ( )0 4π 0 r1 r2 r2 q q r1
Z
l
h
l
Z
r1
r2
P( x, y, z )
h
x
o
h
l
x
将无限长的线电荷看作无数个点电荷的集合。根据点电荷对无 限大接地导体平面的镜像原理，可得到线电荷对应的镜像电荷 l 仍为平行于导体表面的线电荷，其电荷密度为
x 2 ( z h) 2 l ln 待求场域 ( z 0) 中的电位 2π x 2 ( z h) 2
当n=3时：
q
π 3
q
q
π 3
q
q
q
q
角域外有5个镜像电荷， 大小和位置如图所示。 所有镜像电荷都正、负 交替地分布在同一个圆 周上，该圆的圆心位于 角域的顶点，半径为点 电荷到顶点的距离。
角域夹角为π/n，n为整数时，有(2n－1)个镜像电荷，它们与水平边界 的夹角分别为
d
q ab q d a
q a b q d a
空间任意点( r , ) 的电位：
a q q d
a2 b d
q 4π 0
1 a (r 2 2dr cos d 2 )1/ 2 (d 2 r 2 2dra 2 cos a 4 )1/ 2
上半空间的电场强度：
E
q x x Ex 4π x 2 y 2 ( z d )2 3/2 x 2 y 2 ( z d )2 3/2
q y y Ey 4π x 2 y 2 ( z d )2 3/2 x 2 y 2 ( z d )2 3/2
导体表面上感应电荷总量
qS
Βιβλιοθήκη Baidu
S dxdy
qd 2π( x2 y 2 d 2 )3/ 2 dxdy q
导体表面上感应电荷对点电荷的作用力
q2 q2 F a = a 2 z 2 z 4π （2d） 16π d
2. 线电荷对无限大接地导体平面的镜像
3.点电荷对半无限大接地导体角域的镜像
由两个半无限大接地导体平面形成角形边界，当其夹角
为整数时，该角域中的点电荷将有 (2n-1)个镜像电荷，该角 域中的场可以用镜像法求解: 当n=2时：
π ,n n
该角域外有3个镜像电荷q1、 q2和q3 ，位置如图所示。其中
q1 q, q2 q, q3 q
a
导体球不接地：
a
—
a q q d
a2 b d
a q q q d
导体球不接地：根据电荷守恒定律，导体球上感应电荷代数和应为
零，就必须在原有的镜像电荷之外再附加另一镜像电荷
q″=－q′
为了保证球面为等位面的条件，镜 像电荷q″应位于球心处 。
( r , , )
q zd zd Ez 2 2 4π x y ( z d )2 3/2 x 2 y 2 ( z d )2 3/2
导体表面感应电荷（导体与介质的边界条件）
qd S Dn Ez 2π( x 2 y 2 d 2 )3/2
q
导体平面
0
在空间的电位为点电荷q 和镜像电荷 -q 所 产生的电位叠加，即
q 4 π
导体平面边界上：
1 1 r1 r2
0
z
q
r1
r2
p
d 导体平面 o
q
d
r1 r2
x
电位满足边界条件
电位：
q 1 1 2 1/2 1/2 2 2 2 2 2 4π x y ( z d ) x y (z d )
π (2m ), m 1, 2, n 及(2π )
, (n 1)
n不为整数时，镜像电荷将有无数个，镜像法就不再适用了；当角域 夹角为钝角时，镜像法亦不适用。
4. 点电荷对导体球面的镜像
设一点电荷q位于半径 a 为的接地导体球附近，与球心的距离为d，如图所示。 待求场域为r >a区域，边界条件为导体球面上电位为零。
用反证法可以证明。
惟一性定理为某些复杂电磁问题求解方法的建立提供了理论 根据。镜像法就是惟一性定理的直接应用。
3.5、镜像法
镜像法概念：在一定条件下，可以用一个或多个位于 待求场域边界以外虚设的等效电荷来代替导体表面上
感应电荷的作用，且保持原有边界上边界条件不变，
则根据惟一性定理，空间电场可由原来的电荷和所有 等效电荷产生的电场叠加得到。这些等效电荷称为镜 像电荷，这种求解方法称为镜像法。 理论依据：惟一性定理是镜像法的理论依据。
r
p
a
q
r2
r1
q
b
q
d
球外任一点电位：
q 1 a a 2 2 2 2 1/ 2 2 4 1/ 2 4π 0 (r 2dr cos d ) (d r 2dra cos a ) dr
q q 球面上任一点电位： 4π 0 a 4π 0 d
3.4 惟一性定理
边值问题的分类
狄里赫利问题：给定整个场域边界上的位函数值
f ( s)
f ( s) 纽曼问题：给定待求位函数在边界上的法向导数值 n
混合边值问题：给定边界上的位函数及其法向导数的线性组合
f1 ( s ) f 2 ( s) n
惟一性定理：在给定边界条件下，泊松方程或拉普拉斯方程的解 是惟一的。
例3： 有一接地导体球壳，内外半径分别为a1和a2，在球壳内外各 有一点电荷q1和q2 ，与球心距离分别为d1和d2 ，如图所示。 求：球壳外、球壳中和球壳内的电位分布。
解：
a1 q1
a2
( r , , )
q2
d2
a2
o
r
q2
b2
r2
r1
q2
d1
d2
球壳外：边界为r = a2的导体球面，边界条件为 (a2 , , ) 0
内
4π 0 (r 2 2d1r cos d12 )1/ 2 a1 2 2 (d1 r 2d1ra12 cos a14 )1/ 2
用镜像法解题时，一定要注意待求区域及其边界条件，对边界 以外的情况不予考虑。
应注意的问题：
① 镜像电荷位于待求场域边界之外。 ② 将有边界的不均匀空间处理为无限大均匀空间，该均匀 空间中媒质特性与待求场域中一致。 ③ 实际电荷(或电流)和镜像电荷(或电流)共同作用保持原 边界处的边界条件不变。
1. 点电荷对无限大接地导体平面的镜像
待求场域：上半空间
边界： 无限大导体平面 边界条件：