向量在平面几何解题中的应用.

如图所示，已知⊙O，AB为直径，C 为⊙O上任意一点。求证∠ACB=90° A
分析：要证∠ACB=90°，只须证向 量AC CB，即 AC CB 0 。
B O
解：设 AO a,OC b
则 AC a b,CB a b ，
由此可得：AC CB a b a b
22
2
2
a b a b
向量有关知识复习:
（1）向量平行与直线平行的关系: 若向量平行，则它们所在的直线不一定平行
若向量所在直线平行，则向量平行
（2）向量共线的充要条件:
a 与 b共线 a b R,b 0
a (x1, y1),b (x2, y2 )a // b x1y2 x2 y1 0
（3）向量垂直的充要条件：
a b a b 0 a 0,b 0
a (x1, y1)b (x2, y2)a b x1x2 y1y2 0
（4）向量的模：
2
| a | a
若a (x, y)则| a | x2 y2
若A(x1, y1), B(x2, y2)则| AB | (x1 x2)2 ( y1 y2)2
一、应用向量知识证明三点共线
例1、如图已知△ABC两边AB、AC的中点分别为M、N，
在BN延长线上取点P，使NP=BN，在CM延长线上取点Q，
使MQ=CM。求证：P、A、Q三点共线
解：设 AB a, AC b
P
C
则 AN 1 b, AM 1 a
2
2
由此可得 BN NP 1 b a
2
CM MQ 1 a b
解：由角的平分线性质得
| |
AB AC
| |
| |
BD DC
| |
.
由AB =（ 4 ， 3 ），AC =（1，0）得 | AB| 5,| AC |1.
点D在线段BC上，
点D为BC 的内分点。
设点D分BC 的比为 (
0)
，则
| |
BD DC
| |
| |
AB AC
| |
5
yA C
再由定比分点坐标公式得
r2 r2 0
即 AC CB 0 ，∠ACB=90°
三、应用向量知识解决有关垂直的问题
练习：已知，如图，△ABC中,A（2，-1)、B(3，2)、 C（-3，-1）,BC边上的高为AD,求D点及向量 AD 的坐标。
分析：由已知得 AD BC ，D点在BC 上，即 BD // BC ，设出D点坐标可列 出方程组求解，然后求出 AD。
D点坐标为
(
7 6
,
7 2
).
xD
3 5 2 6
7 6
154 7
yD
6
2
B
由两点间的距离公式，求得|AD|=
10 6
∠A的平分线AD的长为
10 6
。
D
O
x
四、求解证明有关长度的问题
练习：证明平行四边形四边平方和等于两对角线平方和
已知：平行四边形ABCD。
D
求证：AB2 BC2 CD2 DA2 AC2 BD2
2
N
A来自百度文库
B M
PA AN NP,PA (b a) a b
AQ AM MQ, AQ (b a) a b
即 PA AQ故有 PA// AQ，且它们有 Q 公共点A，所以P、A、Q三点共线
一、应用向量知识证明三线共点
练习：在平行四边ABCD中，M是AB的中点，N是BD上一点，
BN 1 BD ， 求证：M、N、C三点共线 3
E
A
x
o
F
3
3
EC 2 AC, FC 2 BC
B
3
3
EF EC FC 2 AC 2 BC (8 , 2)
33
33
又 AB (4,1) 3 (8 , 2) 3 EF
23 3 2
AB // EF
EF // AB
三、应用向量知识解决有关垂直的问题
C 例3、证明直径所对的圆周角是直角
解：设 AD a, AB b
A
D
MN 1 b 1 BD 1 b 1 (a b)
MN
23 1 (2a b)
23
B
C
6
MC MB BC 1 b a 1 (2a b)
2
2
MC 3MN
MC// MN,又有公共点M
M、N、C三点共线
二、应用向量知识解决有关平行的问题
例2、证明顺次连结四边形各中点所得四边形为平行四边形。
2
a
2ab
2
b
2
a
2ab
2
b
2
a
2
2
b
2
a
2
b
2
∴ AB2 BC2 CD2 DA2 AC2 BD2
已知：如图，四边形ABCD，E、F、G、H分别是AB BC、CD、DA的中点。
求证：四边形EFGH是平行四边形 分析：要证平行四边形，只需证一组对边
平行且相等，即它们所对应的向量相等。
D
G
H
C
证明：连接AC
E、F分别是AB、BC的中点
∴ EFEBBF 1 AB1BC
A
F
E
22 1 (AB BC) 1 AC
分析：因为平行四边形对边平行且相
等，故设 AB a, AD b 其它线段对应向 A
量用它们表示。
C B
解：设 AB a, AD b ，则 BC b, DC a, AC a b; DB a b
2
2
AB2 BC2 CD2 DA2 2( a b )
AC2 BD2 a b 2 a b 2
y
B D
解：设D(x,y)，则 AD =（x-2,y+1)， 又 BC =（-6,-3)，由题意 AD BC ，
C
O
AD BC 0 ，即-6(x-2)-3(y+1)=0，
2x+y=3。
又 BD 与 BC 共线，而BD =（x-3,y-2), BC =(-6，-3)，
-3(x-3)-(-6)(y-2)=0，即x-2y=-1。
B
2
2
同理HG 1 AC
2
∴ EF HG.这说明EF // HG且EF HG.
∴ 四边形EFGH是平形四边形
二、应用向量知识解决有关平行的问题 y
练习：已知A（-1，0） B（3，-1） C（1，2）
且 AE 1 AC, BF 1 BC 求证：EF // AB
3
3
C
解： AB (4,1)AC (2,2)BC(2,3) AE 1 AC, BF 1 BC
x A
解①②组成的方程得 x=1 D(1,1), AD (1,2). y=1
四、求解证明有关长度的问题
例4、已知，如图，已知点A（1，4)、B( 3，1)、
C（2，4）,求△ABC中∠A的平分线AD的长。
分析：要求AD的长，首先求出点D的坐标。而求D点坐标，
只需求出D分BC 所成的比，利用角平分线的性质可解决。