1-2 事件的关系与运算

3. 事件的交 (积)
"二 事 件 , B同 时 发 生 也 是 一 个 事 件称 为 A " , 事 件A 与 事 件B 的积 事 件 记 作A B， 显 然 , A B { | A且 B}.
积事件也可记作
A B 或 AB.
实例 某种产品的合格与否是由该产品的长度 与直径是否合格所决定,因此“产品合格”是 “长度合格”与“直径合格”的交或积事件. 图示事件A与B 的积事件.
A ( 3,1), ( 3,2), ( 3,4), (4,1), (4,2), (4,3). B (1,3), (1,4), ( 2,3), ( 2,4), ( 3,4), (4,3).
AB ( 3,4), (4,3). A B ( 3,1), ( 3,2), (4,1), (4,2).
A ( B C ) ( A B ) ( A C ) AB AC , A ( B C ) AB AC
( A B ) C ( A C ) ( B C ) ( A C )( B C ).
(4)对偶律 : A B A B, A B A B.
(1) A 发生 , B, C 不发生;
ABC 或 A B C 或 A ( B C );
(2) A, B都发生, C 不发生;
ABC 或 AB C;
(3) 三个事件都发生;
ABC;
(4) 三个事件至少有一个发生;
A B C;
(5) 三个事件都不发生;
A B C;
(6) 不多于一个事件发生;
Ω
A B 事件A与事件B的和 A集合与B集合的并集
AB
事件A与B的积事件 A集合与B集合的交集
A B 事件A与事件B的差 A与B两集合的差集
A与B 两集合中没有 AB 事件A与B互不相容 相同的元素
本 节 结 束 ！
备用题
例2-1 设A, B, C 表示三个随机事件, 试将下列 事件用A, B, C 表示出来.
证
(1) A AB A AB
( A B AB )
A( A B )
AA AB AB
AB A B.
( 2) A BA A BA ( A B)( A A )
( A B) A B .
AB A B AB
A( B B ) A B A BA
ABC ABC ABC ABC;
(7) 三个事件至少有两个发生;
ABC ABC ABC ABC;
(8) 不多于两个事件发生;
ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC ,
或 ABC;
(9) A, B 至少有一个发生, C 不发生;
( A B) C;
, 推广 称 Ak 为 n 个 事 件 A1 , A2 , , An 的 和 事 件即
k 1
n
A1 , A2 , , An至 少 发 生 一 个 ;
称 Ak 为 可 列 个 事 件1 , A2 , 的 和 事 件即 A ,
k 1
A1 , A2 , 至 少 发 生 一 个 .
(10) A, B, C 中恰好有两个发生.
ABC ABC ABC .
例 2-2 从一只黑箱中依次取2只球, 箱中装有2只白
球(标号1, 2), 2只黑球(标号3, 4), 若以事件 A表示 第一次取黑球, 以事件B表示第二次取黑球, 试表示
A, B, AB, A B, A.
解 可能的结果是: (1 , 2) , (1 , 3) , (1 , 4) , (2 , 1) , (2 , 3) , (2 , 4) (1 , 2) , (1 , 3) , (1 , 4) , (2 , 1) , (2 , 3) , (2 , 4)
实例 抛掷一枚骰子, 观察出现的点数 .
“骰子出现1点” 互斥
“骰子出现2点”
图示 A与B互斥
A B

说明 当AB= 时,可将AB记为“直和”形式 A+B. 任意事件A与不可能事件为互斥.
5. 事件的差 事件 “A 发生而 B 不发生”，称为事件 A 与
B 的差. 记作 A- B.
实例 “长度合格但直径不合格”是“长度合格”
(2)在什么条件下, ABC=C成立?
( 3)什么时候关系C B成立 ?
解 (1) ABC 的含义是“选出的学生是三年 级 的男生，但他不是运动员”.
(2) ABC C ,
ABC C的充要条件是：
C ABC .
又 ABC AB, ABC C的充要条件是： C AB.
A AB
B

推广 称 Ak 为 n 个事件 A1 , A2 , , An 的积事件 ,
k 1
n
即A1 , A2 ,, An同时发生 ;
称 Ak 为 可 列 个 事 件 1 , A2 , 的 积 事 件 A ,
k 1
即A1 , A2 ,同 时 发 生 .
和事件与积事件的运算性质
实例 “长度不合格” 必然导致 “产品不合 格” 所以“产品不合格” 包含“长度不合格”. 图示 B 包含 A.
A
B

若事件A包含事件B,而且事件B包含事件A, 则称事 件A与事件B相等,记作 A=B. 2. 事件的和(并) “ 二 事件A, B至 少发 生 一 个” 也 是一 事件 个 ,
称 为事 件A 与 事件 的和 事件记 作A B， 显 然 B . A B { | A或 B}. 实例 某种产品的合格与否是由该产品的长度与 直径是否合格所决定,因此 “产品不合格”是“长度 不合格”与“直径不合格”的并. A B 图示事件 A 与 B 的并.
(3) 三个事件同时都发生;
ABC;
(4) A，B，C中恰有一个发生.
可表示为： ABC ABC ABC;
(5) A，B，C中恰有两个发生.
可表示为：
ABC ABC ABC ,
或 AB BC AC ABC;
(6) 三个事件至少有一个发生;
A B C.
例2 运用事件运算关系证明 等式 AB ( A B) A
图示 A 与 B 的对立.

对立事件与互斥事件的区别
A、B 互斥
A、B 对立
A
B

A
B A
AB ,
互 斥
A B 且 AB .
对
立
II.事件间的运算规律 设 A, B, C 为事件, 则有
(1) 交换律
A B B A, AB BA.
( 2) 结合律 ( A B ) C A ( B C ), ( AB )C A( BC ). (3) 分 配 律
A A A, A A A,
A ,
A A,
A A,
A .
4. 事件的互不相容 (互斥) 若事件 A 、B 满足
A B AB .
则称事件 A与B互不相容.
实例 抛掷一枚硬币, “出现花面” 与 “出现字面” 是互不相容的两个事件.
C AB 即“计算系学生中的运动员都是
三年级的男生”.
( 3) 什么时候关系 B成立？ C
解 当运动员都是三年级的学生时，C是B
的子事件，即 C B成 立.
A (1,2), (1,3)(1,4), (2,1), (2,3), (2,4).
例 3-1
运用事件运算公式证明等式
AB ( A B) A Ω.
证明 于是
A B AB,
AB ( A B) A
AB AB A A A
Ω.
例 3-2 下列命题是否正确？
(1) AB AB
A，B至少 有一个不发 生

A，B均不发生
(2) A ( B A) B

A ∪B B -A
解 不正确.
一般地，A ( B A) A B B.
特别地，
若 A B，则 A B B,
从而
A ( B A) A B B.
(3) B( A C ) BA BC .
与“直径合格”的差.
图示 A 与 B 的差
B A
A B B
B A

A B A B
6. 事件的互逆（对立）
A B 且 AB . 则称 A 与B 为互逆(或对立)事件. A 的逆记作 A.
若事件 A 、B 满足 对立 实例 “骰子出现1点” “骰子不出现1点” B A A
解 正确. BA BC BABC
BA( B C )
√
BAB BAC = BAC
BAC B( A C ).
例 3-3 在计算机系学生中任选一名学生，设事件 A=“选出的学生是男生”； B=“选出的学生是三年级学生”； C=“选出的学生是运动员”.
(1)叙述事件ABC的含义.
A A ,
i i i 1 i 1
n
n
A A
i i 1 i 1
n
n
i
例1 设A,B,C为三个事件，试用这三个事 件的运算关系表示下列事件：
(1) A发生，而 ，C都不发生 B .
可表示为： ABC , 或 AB C; (2) A, B都发生, C 不发生;
ABC , 或 AB C;
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A BA A B.
二、小结
1.随机事件间的关系（六种）
2.事件间的运算规律（四种） 3.概率论与集合论之间术语的对应关系 （见下表）
概率论与集合论之间的对应关系
记号
概率论
集合论
空间(全集) 空集 元素 子集 A的补集 A是B的子集 A集合与B集合相等
样本空间,必然事件 不可能事件 w 基本事件 随机事件 A A的对立事件 A A B A发生必然导致B发生 A B 事件A与事件B相等
第1.2节
事件的关系和运算
一、随机事件间的关系及运算 二、小结
一、随机事件间的关系及运算
I.随机事件间的关系 设试验E 的样本空间为 , A, B, Ak
(k 1,2,) 是 的子集 . 1. 包含关系 若事件 A 发生, 必然导致 B发生,
则称事件 B 包含事件 A,记作 B A 或 A B.
证明 由于A B AB , 则
AB ( A B) A AB ( AB ) A
A( B B ) A A A
逆分配律
例3 设 A，B为随机事件，证明： (1) A-B=A-AB,
( 2) A B A B A AB AB AB.