中考数学分式及其计算专题培优复习讲义(含答案)

考点典例
三、分式的加减法
【例 4】计算： 3m 3 = ． m1 m1
【答案】3.
【解析】
试题分析：利用同分母分式的加法法则计算即可，即原式= 3m 3 3(m 1) =3. m1 m1
考点：分式的加减法． 【举一反三】
1.计算： x 1 = ． x 1 x 1
【答案】1.
．
a 1
【答案】a≠1．
【解析】
试题分析：分式 2a 3 有意义，则 a1≠0，则 a 的取值范围是：a≠1．故答案为：a≠1． a 1
考点：分式有意义的条件．
6. 计算： xy2 =
．
xy
【答案】y． 【解析】
试题分析： xy2 =y，故答案为：y． xy
考点：约 分． 7. 计 算 （ 1 1 ）（ x+1） 的 结 果 是 ．
号，先算括号里面的．灵活运用运算律，运算结果必须是最简分式或整式． 7．解分式方程，其思路是去分母转化为整式方程，要特别注意验根．使分母为 0 的未知数的值是增根， 需舍去．
中考典例精选 考点典例 一、分式的概念，求字母的取 值范围
【例 1】函数 y=
的自变量 x 的取值范围是（ ）
A．x≥2
B．x≥2 且 x≠0 C．x≠0 D．x＞0 且 x≠2
考点：分式的值为零的条件． 【点睛】(1)分式有意义就是使分母不为 0，解不等式即可求出，有时还要考虑二次根式有意义；(2)首先求 出使分子为 0 的字母的值，再检验这个字母的值是否使分母的值为 0，当它使分母的值不为 0 时，这就是 所要求的字母的值． 【举一反三】
函数 y= x 1 中，自变量 x 的取值范围是（ ） x2
【答案】B．
【解析】
试题分析：根据被开方数大于等于 0，分母不等于 0 可得 x+2≥0 且 x≠0，解得 x≥2 且 x≠0，故答案选 B．
考点：函数自变量的范围.
【例 2】若分式 x2 1 的值为零，则 x 的值为（ ） x 1
A．0 B．1 【答案】C. 【解析】
C．-1 D．±1
②当 x=-1 时，x-1=-2≠0， ∴x=-1 时分式的值为 0． 故选：C．
考 点：解分式方程.
4.将分式方程 1 2 去分母后得到的整式方程，正确的是（ ） x x2
A． x2=2x
B． x22x=2x
C． x2=x
D． x=2x4
【答案】A.
【解析】
试题分析：去分母得：x2=2x，
故选 A
考点：解分式方程．
二、填空题
5. 若分式 2a 3 有意义，则 a 的取值范围是
5．分式的约分、通分 把分式中分子与分母的公因式约去，这种变形叫做约分，约分的根据是分式的基本性质． 把几个异分母分式化为与原分式的值相等的同分母分式，这种变形叫做分式的通分，通分的根据是分
式的基本性质．通分的关键是确定几个分式的最简公分母．
6．分式的混合运算 在分式的混合运算中，应先算乘方，再将除法化为乘法，进行约分化简，最后进行加减运算．若有括
B
B
B
2、★★分式的性质
（1）分式的基本性质：
分式的分子和分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变。
用式子表示为：A＝A
×
M，A＝A
÷
M (M
是不等于零的整式)
B B×M B B÷M
（2）分式的变号法则：
分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变。
3、★★★分式的运算法则
。
x2 x
【答案】-2. 【解析】
考点：解分式方程.
【点睛】(1)按照基本步骤解分式方程，其关键是确定各分式的最简公分母．若分母为多项式时，应首先进
行分解因式．将分式方程转化为整式方程，乘最简公分母时，应乘原分式方程的每一项，不要漏乘常数
项；(2)检验是否产生增根：分式方程的增根是分式方程去分母后整式方程的某个根，但因为它使分式方程
.
x
3
【解析】
考点：分式化简求值.
14. 先化简，再求值：（ x+1）÷
，其中 x= 2．
【答案】原式=
，当 x= 2 时，原式=2
．
【解析】
考点：分式的化简求值．
15. 先化简，再求值：（
）
1
1
【答案】原式= x 1 ，当 x=2 时，原式= 3 .
，其中 x=2．
【解析】 考点：分式的化简求值.
中考数学分式及其计算专题培优复习讲义
中考考点梳理
1、分式的概念
一般地，用 A、B 表示两个整式，A÷B 就可以表示成 A 的形式，如果 B 中含有字母，式子 A 就叫做
B
B
分式。其中，A 叫做分式的分子，B 叫做分式的分母。分式和整式通称为有理式。
当 B≠0 时，分式 A 有意义，当 B=0 时，分式 A 无意义；当 A=0 且 B≠0，分式 A 的值等于 0.
【解析】 试题分析：先把括号内通分化简后把乘除化为乘法，再进行约分，化为最简分式后代入计算即可．
试题解析：原式= ÷[
]
=÷
=•
=（a2）2， ∵a= ， ∴原式=（ 2）2=64 考点：分式的化简求值． 【点睛】准确、灵活、简便地运用法则进行化简 【举一反三】
a2 3a a 3 a 1 1. （本小题满分 7 分）先化简，再求值： a2 a a2 1 a 1 ，其中 a 2016 【答案】原式= a 1 =2016+1=2017
的某些分母为零，故应是原方程的增根，须舍去.
【举一反三】
解分式方程： 3 4 ． x 1 x
【答案】x=3．
【解析】
试题分析：先去分母，再解一元一次方程即可．
试题解析：去分母得，3（1+x）=4x，去括号得，3+3x=4x，移项、合并得，x=3，检验：把 x=3 代入 x
（x+1）=3×4=12≠0，∴x=3 是原方程的解．
分解因式，然后再约分，约分应彻底；(3)巧用分式的性质，可以解决某些较复杂的计算题，可应用逆向思
维，把要求的算式和已知条件由两头向中间凑的方式来求代数式的值.
【举一反三】
1.分式 2 可变形为【 】 2x
2 A.
2 x
B. 2 2 x
【答案】D．
2 C.
x2
D. 2 x2
【解析】
考点：分式的基本性质．
a c ac ; a c a d ad ; （1） b d bd b d b c bc
( a )n a n (n为整数);
（2） b
bn
a b ab; （3） c c c
a c ad bc （4） b d bd
4．最简分式 如果一个分式的分子与分母没有公因式，那么这个分式叫做最简分式．
【解析】
试题分析：根据同分母的分式相加减的法则可得，原式= x 1 1. x 1
考点：分 式 的 加 减 法 ．
2.化简
x
1
3
6 x2
9
的结果是
【答案】 1 . x3
【解析】
考点：分式的加减法． 考点典例 四、分式的四则混合运算
【例 5】先化简，再求值： ÷（
），其中 a= ．
【答案】原式=（a2）2，当 a= 2 ，原式=（ 2 2）2=64 2
考点：解分式方程．
课后能力提升自测小练习
一、选择题
1. 若代数式在 1 实数范围内有意义，则实数 x 的取值范围是（ x3
A．x＜3
B．x＞3
C．x≠3
） D．x＝3
【答案】C.
【解析】
试题分析：要使 1 有意义，则 x－3≠0，即 x≠3，故答案选 C. x3
考点：分式有意义的条件. 2. 下列运算结果为 x-1 的是（ ）
x＋ 1 【答案】x.
【解析】 试题分析：原式-x＋x 1（x+1）=x. 考点：分式的混合运算.
8. 计算
的结果是 ．
【答案】12a．
【解析】
考点：分式的化简.
9. 方程 5 3 0 的解为
．
x2 x
【答案】x=3．
【解析】
试题分析：去分母，得：5x3（x2）=0，整理，得：2x+6=0，解得：x=3，经检验：x=3 是原分式方
x2 x2 2 = (x 2) x(x 2)
x(x 2) x 2 2x(x 2) = x(x 2) x(x 2) x(x 2)
x2 2x x 2 2x2 4x
=
x(x 2)
3x2 3x - 2 = x(x 2)
考点：分式的化简. 考点典例
五、分式方程的解法
【例 6】分式方程 x x 1 的解为 x
1 1 A． x
x2 1 x
x1 1
x2 2x 1
B． x x 1 C． x x 1 D． x 1
【答案】B.
【解析】
考点：分式的计算. 3. 解分式方程 1 +1=0，正确的结果是（ ）
x－1 A．x=0 B．x=1 C．x=2 D．无解
【答案】A.
【解析】
试题分析： 1 +1=0，1+x-1=0，x=0，经检验：x=0 是原方程的根，故选 A. x－1
x 1 x 2
x 1
x2
2 224 2.
考点：分式化简求值.
11．解方程： x 3 1． x 1 x
【答案】x=-1.5 【解析】
考点：解分式方程．
12.解方程：
x
x 1
1 x2 1
1．
【答案】x=2．
【解析】
试题分析：观察可得最简公分母是（x+1）（x1），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方
∴ 1 1 -（1-x）（1-y） xy
= x y -（1-x-y+xy） xy
x y
=
-1+x+y-xy
wenku.baidu.comxy
=1-1+0 =0
考点：分式的化简求值．
【点睛】(1)分式的基本性质是分式变形的理论依据，所有分式变形都不得与此相违背，否则分式的值改
变；(2)将分式化简，即约分，要先找出分子、分母的公因式，如果 分子、分母是多项式，要先将它们分别
程的解，故答案为：x=3． 考点：解分式方程． 三、解答题
10.先化简再求值：
x
1
x
3
1
x x
1 2
,其中
x
2
2．
【答案】x+2， 4 2 .
【解析】 试题分析：根据分式运算法则化简，再代入求值即可.
试题解析：原式= x2 1 3 x 1 x 2x 2 x 1 x 2 .当 x 2 2 时，原式=
【解析】
考点：分式的化简求值.
2. 化简：
．
3x2 3x - 2 【答案】原式= x(x 2) .
【解析】
试题分析：先把第一个分式的分子、分母分解因式后约分，再通分，然后根据分式的加减法法则分母不
变，分子相加即可．
（x 2）2 x 2 2 试题解析：原式= (x 2)(x 2) x(x 2)
程求解．
试题解析：方程的两边同乘（x+1）（x1），得
x（x+1）+1=x21，
解得 x=2．
检验：把 x=2 代入（x+1）（x1）=3≠0．
∴原方程的解为：x=2． 考点：解分式方程．
13.
先化简，再求值：
x 2 2x 1 x2 x
1
x
2
1 ，
其
中
x=
3．
【答案】x－1， 3
3
A．x≥1 B．x＞1 C．x≥1 且 x≠2 D．x≠2 【答案】C. 【解析】
考点：函数自变量的取值范围． 考点典例 二、分式的性质
【例 3】已知 x+y=xy，求代数式 1 1 -（1-x）（1-y）的值． xy
【答案】0. 【解析】 试题分析：首先将所求代数式展开化简，然后整体代入即可求值． 试题解析：∵x+y=xy，