教学设计：圆的对称性

圆的对称性（一）

汶上县白石镇中学邵华

一、学生知识状况分析

学生的知识技能基础：学生在七、八年级已经学习过轴对称图形以及中心对称图形的有关概念及性质，以及本节定理的证明要用到三角形全等的知识等。

学生的活动经验基础：在平时的学习中，学生逐步适应应用多种手段和方法探究图形的性质。同时，在平时的教学中，我们都鼓励学生独立探索和四人小组互相合作交流，使学生形成一些数学活动的经验基础，具备一定探求新知的能力。

二、教学任务分析

本节课的教学目标是：

知识与技能：

1．理解圆的轴对称性及其相关性质；2．利用圆的轴对称性研究垂径定理及其逆定理．

过程与方法：

1．经历探索圆的对称性及相关性质的过程，进一步体会和理解研究几何图形的各种方法。

情感态度与价值观：

1．培养学生独立探索，相互合作交流的精神。

2．通过学习垂径定理及其逆定理的证明，使学生领会数学的严谨性和探索精神，培养学生学习实事求是的科学态度和积极参与的主动精神。

教学重点：利用圆的轴对称性研究垂径定理及其逆定理．

教学难点：和圆有关的相关概念的辨析理解。

三、教学过程分析

第一环节课前准备

活动内容：每人制作两张圆纸片（最好用16K打印纸）预习课本P88~P92内容

活动目的：通过第1个活动，希望学生能利用身边的工具去画图，并制作图纸片，培养学生的动手能力；在第2个活动中，主要指导学生开展自学，培养良好的学习习惯。

第二环节创设问题情境，引入新课

活动内容：

教师提出问题：轴对称图形的定义是什么？我们是用什么方法研究了轴对称图形？

活动目的：通过教师与学生的互动，一方面使学生能较快进入新课的学习状态，另一方面也提高学生的学习的兴趣，让他们带着问题去学习，揭开了探究该节课内容的序幕。

第三环节讲授新课

活动内容：

（一）想一想圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？你能找到多少条对称轴？你是用什么方法解决上述问题的？

（二）认识弧、弦、直径这些与圆有关的概念。

（三）探索垂径定理。

做一做

1．在一张纸上任意画一个⊙O，沿圆周将圆剪下，把这个圆对折使圆的

两半部分重合．

2．得到一条折痕CD．

3．在⊙O上任取一点A，过点A作CD折痕的垂线，得到新的折痕，其中，点M是两条折痕的交点，即垂足．

4．将纸打开，新的折痕与圆交于另一点B，如右图

问题：（1）观察右图，它是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？

（2）你能发现图中有那些等量关系？说一说你的理由。

总结得出垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。

（四）讲解例题及完成随堂练习。

[例1]如右图所示，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中CD，点O是CD 的圆心)，其中CD=600m，E为CD上一点，且OE⊥CD，垂足为F，EF=90

m．求这段弯路的半径．

练习：完成课本P92随堂练习：1

（五）探索垂径定理逆定理并完成随堂练习。

想一想：

如下图示，AB是⊙O的弦(不是直径)，作一条平分AB的直径CD，

交AB于点M．

同学们利用圆纸片动手做一做，然后回答：（1）上图是轴对称图形吗?如果是，其对称轴是什么?（2）你能发现图中有那些等量关系？说一说你的理

由。

总结得出垂径定理逆定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并

且平分弦所对的弧。

练习：完成课本P92随堂练习：2

活动目的：内容（一）的主要目的就是通过学生动手实验，采用折叠的

方法认识圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线；内容（二）的主要目的就是让学生弄清和圆有关的这些概念，便于以后内容的学习研究；内容（三）的主要目的就是通过学生做一做，观察，猜想，验证等的过程得到新知，同时也培养学生合作交流的能力，以及再次体会研究图形的多种方法。内容（四）的主要目的让学生应用新知识构造直角三角形，并通过方程的方法去解决几何问题。内容（五）的主要目的与内容（三）相似。

实际教学效果：

对于活动（一），学生在探索圆是轴对称图形时，应该把机会留给学生，让他们相互交流，发表自己的想法；对于活动（二），要注意让学生借助图形去认识，并弄清他们之间的联系和区别，还应该注意补充一些概念，如半圆，劣弧，优弧等；对于活动（三），师生要按四个步骤共同操作，逐步引导学生通过观察，猜想到理论验证垂径定理，并帮助学生去理解和记忆垂径定理，如推理格式：

如图所示

CO⊥AB，CD为⊙O 的直径

AM=BM，AD=BD，AC=BC。

另外在证明垂径定理时，学生对如何证明平分弦所对的弧会较难表述。教

师要运用轴对称性启发引导。对于活动（四），教师要引导学生如何应用垂径

定理去更好衔接上，至于这一逆定理的探索过程与前面垂径定理的探索过程

类似，在完成随堂练习时，教师要提示学生，符合条件图形有三种情况：圆心在平行弦外，在其中一条弦上、在平行弦内，但说理的思路都是一样。O

A B

C

D

E

第四环节课堂小结

活动内容：师生互相交流总结：

1.本节课我们探索了圆的轴对称性；

2.利用圆的轴对称性研究了垂径定理及其逆定理；

3.垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半

径、弦心距等问题。

活动目的：通过回顾本节课经历的各个环节，鼓励学生畅谈自己的收获和感想，培养学生良好的学习习惯。

实际教学效果：学生在互相交流中，对于归纳出来的内容，会有各种表述，只要合理，教师都应该鼓励。

第五环节课后作业

1.课本习题3.2，1，2。试一试1

2.预习课本P94~97内容。