工程力学扭转

第6章 扭转
6.2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图
4.78
6.37
15.9
4.78
第6章 扭转
6.3 纯 剪 切
§6-3 纯剪切 ——薄壁圆筒的扭转
薄壁圆筒：壁厚
1 t r0（r0—圆筒的平均半径） 10
一、应力分析
1.实验前 1）画纵向线，圆周线； 2）施加一对外力偶. 2.实验后（变形规律） Me ① 圆筒表面的各圆周线的形状、大小和间 距均未改变，只是绕轴线转动了不同的角度； ② 各纵向线均倾斜了同一微小角度 ； ③ 所有矩形网格均歪斜成同样大小的平行四边形.
关系
E G 2(1 )
第6章 扭转 思考题：指出下面图形的切应变
6.3 纯 剪 切

切应变为
2
切应变为
0
第6章 扭转
6.4 圆轴扭转时横截面上的应力
§6-4 圆轴扭转时的应力
观察变形 提出假设
表面 变形
推断
几 何 方 面 物 理 方 面 静 力 学 方 面
横截面 的变形 情况
横截面
应力-应变
截面相对于a-a 截面象刚性
平面一样绕杆的轴线转动的 一个角度.
ρ
a
D G T d O2 G' D' b
经过半径 O2D 上任一点G的纵向线EG 也倾斜了一个角度
ρ，它也就是横截面半径上任一点E处的切应变
G G dx d
d dx
第6章 扭转 二、 物理关系 a A T ρ
6.2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图
3、扭矩图（表示各截面的扭矩沿轴线变化的图形） 用平行于杆轴线的坐标 x 表示横
截面的位置；用垂直于杆轴线的
坐标 T 表示横截面上的扭矩，正 的扭矩画在 x 轴上方，负的扭矩画在 x 轴下方. T 扭矩图的做法：同轴力图 + _ x
第6章 扭转
6.2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图
（1）画轴的扭矩图
BC段 T1+M2=0 A l
2
M1
1
M2
T1 = -4kN· m （ -） AB段 T2+M2-M1=0 （+）
B l T1
C M2
T2 =2kN· m
最大扭矩发生在BC段 Tmax=4kN· m 2kN· m +
T2 M1
_ 4kN· m
C M2
B
C
第6章 扭转 （2）求轴的最大切应力， 并指出其位置
Me
n
Me • x
n Me T • x Me • •
x
Mx 0
T Me
取右侧为研究对象
Mx 0
T Me
T
圆轴受扭时其横截面上的内力偶矩称为扭矩。 扭矩（单位：N· m 或 KN· m），用T 来表示。
第6章 扭转 2、扭矩符号的规定 采用右手螺旋法则,把扭矩表示为矢 量，指向背离截面时扭矩为正，反之 为负.
6.4 圆轴扭转时横截面上的应力
M1
M2
max
Tmax Wt
Tmax πD 4 (1 ) 16
3
A l
B l T
C
34.5MPa
max
最大切应力发生在截面的周边上 ，且垂直于半径.
max
第6章 扭转
6.4 圆轴扭转时横截面上的应力
四、强度条件
max
Tmax [ ] Wt
第6章 扭转
6.1 扭转的概念和实例 6.2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图 6.3 纯剪切 6.4 圆轴扭转时横截面上的应力 6.5 圆轴扭转时的变形与刚度条件
本章主要内容
（1）扭矩和扭矩图； （2） 切应力互等定理与剪切胡克定律； （3） 圆轴扭转横截面上的应力； （4） 圆轴扭转破坏与强度条件； （5） 圆轴扭转变形与刚度条件
Me

r l
式中， r 为薄壁圆筒的外半经. 纯剪切试验结果表明，当切应力不超过材料的剪 切比例极限时，切应变与切应力成正比。
l
G
该式称为材料的剪切胡克律.
G –剪切弹性模量
第6章 扭转
6.3 纯 剪 切
T 2 2 πr t
r l
弹性模量E，剪切弹性模量G与泊松比μ的
计实心圆轴与α =0.9的空心圆轴。 解：1. 确定实心圆轴直径
6.3 纯 剪 切
2、 要满足平衡方程
M z 0 Fx 0
在单元体的上、下两平面上必有大小 dy 相等，指向相反的一对内力元素 它们组成力偶，其矩为
y

τ
dx

τ
x
( dxdz )dy
此力偶矩与前一力偶矩 ( dy dz) dx 数量相等而转向相反，从而可得
z

第6章 扭转 3、切应力互等定理 y
6.3 纯 剪 切

力同时存在，且大小相等，方向共
同指相（或背离）该两平面的交线.

dy
在相互垂直的两个平面上的切应
τ
dx

τ
x
z
单元体在其两对互相垂直的平面上只有切应力而无正 应力的状态称为纯剪切应力状态.
第6章 扭转
三、切应变 剪切胡克定律
由图所示的几何关系得到
Me

6.3 纯 剪 切
第6章 扭转
6.3 纯 剪 切
二、切应力互等定理
1、在单元体左、右面（杆的横截面）上 只有切应力，其方向于 y 轴平行.
y

dy
由平衡方程
τ

dx
τ
x
Fy 0
可知，两侧面的内力元素 dy dz 大小相等，方向相反，将组成 一个力偶。 其矩为( dy dz) dx z
第6章 扭转
d D
第6章 扭转
6.4 圆轴扭转时横截面上的应力
例题6-2 图示空心圆轴外径D=100mm，内径d=80mm， M1=6kN· m，M2=4kN· m，材料的剪切弹性模量 G=80GPa.
(1) 画轴的扭矩图；
(2) 求轴的最大切应力，并指出其位置.
M1
M2
A l
B l
C
第6章 扭转
6.4 圆轴扭转时横截面上的应力
第6章 扭转
6.1 扭转的概念与实例
6.1 扭转的概念与实例
一、扭转的实例
F
M e Fd
Me
第6章 扭转
6.1 扭转的概念与实例
第6章 扭转 二、扭转的概念 受力特征： Me
6.1 扭转的概念与实例


Me 在杆件的两端作用的两个力偶大小相等、方向相反、而且力
偶的作用平面垂直于杆件的轴线.
式中：T — 横截面上的扭矩
— 求应力的点到圆心的距离
IP —为横截面对圆心的 极惯性矩
第6章 扭转
6.4 圆轴扭转时横截面上的应力
max 的计算 2、
max
T max T T Ip Ip Wt
dA T O ρ dA
max Ip Wt max
max
ρ ρ
r mm3 或 m3.
注意：若假设扭矩为正值，则
扭矩的实际符号与计算符号相同.
作出扭矩图 从图可见，最大扭矩 在 CA段内. _
4780 N· m
9560 N· m 6370 N· m
+
Tmax 9560 N m
第6章 扭转
6.2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图
思考：如果将从动轮D与C的位置对调，试作该传动轴的扭 矩图。这样的布置是否合理？
d
ρ
O
dρ
πd I p d A 2 π d A 32 4 3 Ip πd / 32 πd Wt max d /2 16
3
d 2 0
dρ D
ρ
d O
（2）空心圆截面
πD 4 (1 4 ) Ip 32 其中 3 πD Wt (1 4 ) 16
1、公式的建立
d G G dx
dA T O ρ dA
A dA T dφ A ρ G ρ dx dA T
d 2 G dA T dx A d T 结论 dx GI p
ρ ρ
r
ρ
A
ρ 2d A I p
T 代入物理关系中得到 IP
变截面圆轴： 等截面圆轴：
T max W t
max
Tmax max Wt
强度条件的应用
强度校核
Tmax [ ] Wt
Tmax Wt [ ]
设计截面
确定许可核载荷
Tmax Wt [ ]
第6章 扭转
6.4 圆轴扭转时横截面上的应力
例题6-3 已知 T =1.5 KN ·m , [τ]=50 MPa ,试根据强度条件设
小、间距不变，半径仍为直线.
3、定性分析横截面上的应力 因为同一 圆周线上的切应变 相同，所以同一圆周上切应力大 小相等，并且方向垂直于其半径 方向 ；
第6章 扭转
6.4 圆轴扭转时横截面上的应力
3、几何关系
倾角 是横截面圆周上任一 点A 处的切应变, d 是 b-b a A T
E
ρ
b

O1 dx
一、外力偶矩的计算
n 2 M e P 1000 60
P M e 9549 (N m) n
Me—作用在轴上的力偶矩( N ·m ) P—轴传递的功率(kW) n—轴的转速( r/min )
第6章 扭转
6.2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图
二、内力的计算
1、求内力 截面法 在n – n 截面处假想将轴截开 取左侧为研究对象
B Me2
T1 M e 2 4780 N m
T1
x
第6章 扭转 同理，在 BC 段内
6.2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图
Me2 1 Me3
B 1 C Me2 T1
Me1 3 Me4 A T3 3 D Me4
T1 M e 2 4780 N m
在 AD 段内
T3 M e 4 6370 N m
上应变
的变化 规律
关系
(问题的物 理方面)
应变的分布规律
情况
(问题的几何方面)
横截面
应力的分布规律
上应力 变化规 律
内力与应力的关系 (问题的静力学方面)
横截面上应力 的计算公式
建立公式
第6章 扭转
6.4 圆轴扭转时横截面上的应力
一、变形几何关系
1、变形现象
1) 圆周线大小、形状、间距不发生改变 ； 2) 纵向线倾斜了一定的角度，矩形网格 错动成了平行四边形网格； 2、平面假设 变形前为平面的横截面 ，变形后仍保持为平面，且形状、大
Wt 称作抗扭截面系数，单位为 整个圆轴上 - 等直杆：
max
Tmax Wt
公式的使用条件：1）适用于等值的圆轴 2）弹性范围内工作
第6章 扭转 3、极惯性矩和抗扭截面系数的计算
6.4 圆轴扭转时横截面上的应力
I p dA
2 A
Wt
（1）实心圆截面
2
max
4
IP
d A 2 π ( d )
6.2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图
Me1
n Me4
B 解:计算外力偶矩
C
A
D
P M e 9549 n M e1 15900 N m
M e 2 M e 3 4780 N m M e 4 6379 N m
第6章 扭转 计算 CA 段内任横一截面 2-2 截
6.2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图
例题6-1 一传动轴如图所示，其转速 n = 300 r/min ，主动轮A输 入的功率为P1 = 500 kW . 若不计轴承摩擦所耗的功率，三个从
动轮输出的功率分别为P2 = 150 kW 、P3 = 150 kW 及 P4 = 200
kW. 试做扭矩图. Me1 Me2
Me3
n
Me4
B
C
A
D
第6章 扭转 Me2 Me3
变形特征：杆件的任意两个横截面都发生了绕着轴线的相对转动，
这种变形称为扭转变形。 以横截面绕轴线作相对旋转为主要特征的变形形式，称为扭
转。凡是以扭转为主要变形的直杆称为轴，工程中常见的轴为圆 截面轴，它们或为实心或为空心。
第6章 扭转
6.2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图
§6-2
外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图
dx x Me
第6章 扭转
6.3 纯 剪 切
3、定性分析横截面上的应力
Me
Me
第6章 扭转 4、推导公式
6.3 纯 剪 切
dA r r dA r ( 2 π r t ) T A A
T 2 πr 2 t
此式为薄壁筒扭转时横截面上切应力的计算公式. 薄壁筒扭转时横截面上的切应力均匀分布，与半径垂直， 指向与扭矩的转向一致.
6.4 圆轴扭转时横截面上的应力
ρ
b
由剪切胡克定律

O1
G
d G G dx
同一圆周上各点剪应力
D G T d O2 G' D dx
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a
b
均相同 ，且其值与
成正比， 与半径垂直. 实心圆轴 空心圆轴
第6章 扭转
6.4 圆轴扭转时横截面上的应力
三、静力关系
面上的扭矩 .假设 T 2为正值.
由平衡方程
Me2 B Me2
Me3 2 C 2 Me3 T 2 C
Me1
Me4 D
Mx 0
M e 2 M e 3 T2 0
A x
T2 M e 2 M e 3 9560 N m
结果为负号，说明T 2 应是负值扭矩 同理，在 BC 段内