数学期望和方差

第四章
数学期望和方差
例5
解:
设随机变量X 服从 二项分布B(n , p), Y = eaX, 求 E(Y).
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例6
设X ~ U[0,], Y =sinX, 求 E(Y). 解: X 的概率密度为
所以
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例7
五个独立元件,寿命分别为 X 1 , X 2 ,, X 5 ,



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例3
设离散型随机向量X的概率分布如下表 所示，求Z=X2的期望. X 0
1 2
−1
1 4
1
1 4
P
解: E(Z)= g(0)0.5 + g(-1)0.25 + g(1)0.25
= 0.5
2 g ( x ) x . 注:这里的
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例4
5
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5e 5x , x 0, f N ( x) 其它， 0, 1 即 N ~ E( 5), E(N ) 5 (2) 设整机寿命为 M , M max { X k }
k 1, 2 ,, 5
(1 e ) , x 0, FM ( x) Fk ( x) k 1 0, 其它， x x 4 5e (1 e ) , x 0, f M ( x) 0, 其它，

x
| x| 发散. 但 | x | f ( x ) dx dx 2 (1 x )
它的数学期望不存在.
注：虽然f(x)是偶函数，但不能用定理1.1.
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§4.2 数学期望的性质
设已知随机变量X的分布，我们需要计算的不 是X的数学期望， 而是X的某个函数的数学期望， 比如说g(X)的数学期望. 那么应该如何计算呢？ 更一般的，已知随机向量(X1 , X2 …,Xn ) 的联合分布， Y= g(X1, X2 …,Xn ) 是 (X1 , X2 …,Xn ) 的函数, 需要计算Y 的数学期 望，应该如何计算呢？ 我们下面就来处理这个 问题.
E ( X ) xf ( x)dx


注意：随机变量的数学期望的本质就是加权 平均数，它是一个数，不再是随机变量。
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常见连续型分布的数学期望 (5)指数分布E()
随机变量X的密度为：
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定理1 设X的数学期望有限, 概率密度f (x) 关于
1 q q 2 q n1
1 q n 1 (1 p ) n 1 q p
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定义1.2
设 X 为连续型随机变量, 其密度函数为f(x) ， 若积分
xf ( x)dx
绝对收敛，则称此积分为随机变量 X 的数学 期望或均值，记作 E( X ).
设二维离散型随机向量(X,Y)的概率分 布如下表所示,求:Z=X2+Y的期望.
Y X 1 2
1
1/8 1/2
2
1/4 1/8
解: E(Z)= g(1,1)0.125 + g(1,2)0.25 + g(2,1)0.5 + g(2,2)0.125 =4.25 2 注:这里的 g ( x, y) x y.
8 8
9 10 11 12 7 15 10 10 50
则这 50 个零件的平均直径为
8 8 9 7 1015 1110 1210 50 10.14cm
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换个角度看,从这50个零件中任取一个,它 的尺寸为随机变量X , 则X 的概率分布为 X P 8
P ( X xk ) p k ,
若无穷级数
k 1,2,
xk p k
k 1

绝对收敛，则称其和为随机变量 X 的数学 期望或均值，记作 E( X ).
E ( X ) xk pk
k 1

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常见离散型随机变量的数学期望
(1)0－1分布
这时 P(X=1)=p, P(X=0)=1-p.
5
x 5
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E ( M ) xf M ( x)dx 0 5xe x (1 e x ) 4 dx
137 60
E ( M ) 137 60 11 1 E( N ) 5
可见，并联组成整机的平均寿命比串联 组成整机的平均寿命长11倍之多. 注： 128页的4.20与此例为同一模型。
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A. 随机向量函数的数学期望
设X=(X1 ,…, Xn)为离散型随机向量，概 率分布为
P( X ( x j1 ,, x jn )) p j1 jn , j1,, jn 1.
Z = g(X1 ,…, Xn), 若级数 g ( x j1 ,, x jn ) p j1 jn .
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本 章 内 容
随机变量的平均取值 —— 数学 期望 随机变量取值平均偏离平均值的 情况 —— 方差 描述两个随机变量之间的某种关 系的数 —— 协方差与相关系数
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§4.1 数学期望
引例:测量 50 个圆柱形零件直径(见下表)
尺寸（cm） 数量（个）
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若X ≥0，且EX 存在，则EX ≥0. 证明：设 X 为连续型，密度函数为f (x), 则 由X ≥0 得：
f ( x) 0,
x0,
所以 EX x f ( x)dx x f ( x)dx 0 .
0
推论: 若 X ≤Y，则 EX ≤EY.
证明：由已知 Y-X≥0，则 E(Y-X) ≥0. 而E(Y-X)=E(Y)-E(X), 所以，E(X) ≤E(Y).
故 E(X)=0×P(X=0)+1×P(X=1)= p.
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(2) 二项分布
X的取值为0,1,…,n. 且 P(X=k)= Cnk pk (1-p)n-k, k= 0, 1, …, n.
E ( X ) kCnk p k (1 p) nk
k 0 n
n
n! k nk k p (1 p ) k 1 k!( n k )! n (n 1)! np p k 1 (1 p ) ( n1)( k 1) k 1 ( k 1)!( n k )!
注:在第三个等号中利用了等式
这可以由等式
两边同时对x求导数得到.
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例1
对产品进行抽样，只要发现废品就认为 这批产品不合格，并结束抽样。若抽样到第 n 件仍未发现废品则认为这批产品合格. 假设产 品数量很大，抽查到废品的概率是p，试求平 均需抽查的件数.
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解：设X为停止检查时，抽样的件数，则X 的可能取值为1,2,…,n，且
8 50
12
9
7 50
10
15 50
12
11
10 50
12
10 50
则这 50 个零件的平均直径为
D k P( X k ) kpk 10.14
k 8 k 8
称之为这 5 个数字的加权平均,数学期望的 概念源于此.
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数学期望的定义
定义1.1 设离散型随机变量X 的概率分布为
k 1 q p, k 1,2,, n 1; P{X k} n 1 q , k n.
其中q 1 p，于是
E( X )

k 1
n 1
kq k 1 p nqn 1
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E( X )
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k 1 k 1 n 1





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推论
ab (1)若X ~ U (a , b ), 则E ( X ) . 2
( 2)若X ~ N ( , 2 ), 则E ( X ) .
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例2
设X 的概率密度为： 1 x, 1 x 0 f ( x ) 1 x, 0 x 1 0, 其他
j1 j n
绝对收敛，则 E ( Z ) E ( g ( X 1 , , X n ))

j1 jn
g( x
j1
, , x jn ) p j1 jn
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随机向量函数的数学期望（续）
设X=(X1 ,…, Xn)为连续型随机向量，联合 密度函数为 f ( x1 , , xn )
np Cnk1 p k (1 p) ( n1)k np
k 0
n1
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(3)泊松分布
X的可能取值为0,1,2,…，且
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(4)几何分布
X的可能取值为1,2,…, 且 P(X=k)= qk-1 p, k= 1,2,…. p+q=1.
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E (X Y ) = E (X )E (Y ) .
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注：性质 4 的逆命题不成立，即
若E (X Y) = E(X)E(Y)，X ,Y 不一定相互独立.
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源自文库
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反例
Y -1 pij X -1
18 18 18
0
18
1
18 18 18
p• j
38 28 38
0
1 pi•
0
都服从参数为 的指数分布，若将它们 (1)串联； (2)并联 成整机，求整机寿命的均值. 解：(1) 设整机寿命为 NN , min { X k }
k 1, 2 ,, 5
FN ( x) 1 (1 Fk ( x)),
k 1
5 x 1 e , x 0, 其它， 0,
18
38
28
38
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XY P
-1
0
1
28
48
28
E ( X ) E (Y ) 0; E ( XY ) E ( X ) E (Y )
但
E ( XY ) 0;
2 P( X 0) P(Y 0) 8
P( X 0, Y 0) 0
2
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证明 令g ( x ) x f ( x ).
g(x)是奇函数.
t f ( t )dt g ( t )dt .

( x ) f ( x )dx (令t x )


( x ) f ( x )dx f ( x )dx
Z = g(X1 ,…, Xn), 若积分



g ( x1 , , xn ) f ( x1 , , xn )dx1 d xn


绝对收敛，则
E( Z ) E( g( X 1 ,, X n ))
g ( x1 ,, xn ) f ( x1 ,, xn )dx1 d xn
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B. 数学期望的性质
E (C ) = C
E (aX ) = a E (X ) E (X + Y ) = E (X ) + E (Y )
E ai X i C ai E ( X i ) C i1 i1
n n
当X ,Y 相互独立时，
对称， f ( x ) f ( x ), 则E ( X ) .
g( x ) ( x ) f ( x ) x f ( x ) g( x ).
E ( X ) x f ( x )dx ( x ) f ( x )dx
求E(X).
解:
E ( X ) xf ( x)dx


x(1 x)dx x(1 x)dx
1 0
0
1
0
注:由于f(x)是偶函数，由定理1.1也知 E(X)=0.
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注意：不是所有的随机变量都有数学期望. 例如：Cauchy分布的密度函数为
1 f ( x) , 2 (1 x )
n 1
kq k 1 (1 q) nqn 1
kq k 1

k 1
n 1
kq k nqn 1
(1 2q 3q 2 (n 1)q n 2 ) ( q 2q 2 (n 2)q n 2 (n 1)q n 1 ) nqn 1