点电荷对无限大接地导体平面的镜像边值问题

例3.1.2 设有电荷均匀分布在半径为a的介质球型区域中，电荷体密度
为 ，试用解微分方程的方法求球体内、外的电位及电场。
解:
图3.1.4 体电荷分布的球形域电场
采用球坐标系,分区域建立方程
2 1

1 r2
d dr
(r 2
d1 )
dr
0
22

1 r2
d dr
(r 2
d2 dr
证明： （反证法） 2. 唯一性定理的重要意义
• 唯一性定理为静电场问题的多种解法(镜像法、试探解、数值解、解析解等）提供 了思路及理论根据。
3.2 镜像法
3.2.1 点电荷对无限大接地导体平面的镜像
1.平面导体的镜像
边值问题：
2 0
0
（除 q 所在点外的区域） （导板及无穷远处）
s D dS q
第三章 静电场边值问题的解析解
边值问题的分类和解的唯一性定理 镜像法 复变函数法 分离变量法 点电荷密度的delta函数表示 格林函数法
3.1 边值问题的分类和解的唯一性定理
3.1.1 静电场的边值问题
边值问题
微分方程
边界条件
2
2 0
第一类 边界条件
已知场域边界 上各点电位值
d1和d2，求平面上的感应电荷作用在电荷q上的力。
解： 利用镜像法得
q1 q
d1
q
q2 q
d2
q3 q
y
F F1 F 2F3
q2
d1
d1
q

q2
F1 y 4 0 (2d2 )2
d2 d2
q3
o d1
d1
d2 d2
q1
x
F2



x
4
q2 0 (2d1)2
F3
er
0ra ar
对于一维场（场量仅仅是一个坐标变量的函数），只要对二阶常系数微分
方程积分两次，得到通解；然后利用边界条件求得积分常数，得到电位的解；
再由 E 得到电场强度E的分布。
3.1.2 静电场中解的唯一性定理 1. 唯一性定理
在静电场中, 满足给定边界条件的电位微分方程(泊松方程或拉普 拉斯方程)的解是唯一的,称之为静电场的唯一性定理( Uniquness Theorem )

4 0
q2 (2d1)2 (2d2 )2
3/ 2

2d1

x 2d2

y


3.2.2 点电荷对导体球面的镜像 设在点电荷附近有一接地导体球，求导体球外空间的电位及电场分布。
1) 边值问题：
2 0 （除q点外的导体球外空间) 0
r
导球面 0
2) 设镜像电荷 q位于球内,球面上任一点电位为
整个地面上感应电荷的总量为
图3.2.2 点电荷 q 在地面引起的感应电荷的分布
S pdS
0
qh 2(h2 x2
)3/ 2
2xdx


qh
(h2
1 x2 )1/ 2

0
q
例 两个相交成直角的半无限大导体平面间有一个点电荷q，与两平面的距离分
p

q
4 0r1
q'
4 0r2
0
r1 d 2 R2 2Rd cos r2 b2 R2 2Rbcos
图3.2.3 点电荷对接地导体球面的镜像 [q2 (b2 R2 ) q'2 (d 2 R2 )] 2R(q'2 d q2b) cos 0
个数、大小与位置使场的解答满足唯一性定理。
例3.2.1 求空气中一个点电荷 q 在地面引起的感应电荷分布情况。 解: 设点电荷q 离地面高度为h，则
Ep E E
（方向指向地面）
Ep

2
q 4 0r 2
cos

qh 2 0 (h2
x2 )3/ 2
p

0E p


qh 2(h2 x2 )3/ 2
2 2 2 0 （阴影区域）
x 2 y 2
U ( xb,0 yb及yb,0xb)
0
图3.1.3 缆心为正方形的同轴电缆横截面
0 ( x2 y 2 a2 , x0, y0 )

x
0 ( x0,b ya)

y
0 ( y 0,b xa )
一、二类边界
条件的线性组
合，即
(


)
n S

f3 (s)
布或边界是电力线的条 件是等价的？
图3.1.1 边值问题框图
边值问题 研究方法
计算法
实验法 作图法
解析法
数值法 实测法 模拟法 定性 定量
积分法 分离变量法 镜像法、电轴法 微分方程法 保角变换法
••••
有限差分法 有限元法 边界元法 矩量法 模拟电荷法
C3

a 2 2 0
,
C2

a3 3 0
电位：
1(r)

60
(3a2

r2)
2
(r)

a3 3 0 r
电场强度（球坐标梯度公式）：
0ra ar
E1 (r )

1


1
r
er

r 3 0
er
E2 (r )

2


2
r
er

a2 30r 2
S f1(s)
场域 边界条件
分界面 衔接条件
自然 边界条件Biblioteka Baidu
第二类 边界条
件
已知场域边界 上各点电位 的法向导数
n S f2 (s)
1 2
1
1
n
2
2
n

参考点电位
lim r 有限值 r
第三类 边界条件
为什么说第二类 边与界导条体件上给n定S电 荷f2 (分s)
)
0
(0 r a) (a r )
积分之，得通解
1( r
)

r 2 60
C1
1 r
C2
2(
r
)

C3 r

C4
边界条件
1 ra
2 ra
0
1
r
ra
0
2
r
ra
1 r0 有限值 2 r 0 参考点电位
解得 C1 0 C4 0
（S 为包围 q 的闭合面）
上半场域边值问题：
2 0
（除 q 所在点外的区 域）
q q 0 （导板及无穷远处） 4 0r 4 0r
图3.2.1 平面导体的镜像
s D dS q
（S 为包围q 的闭合面）
镜像法: 用虚设的电荷分布等效替代媒质分界面上复杂电荷分布,虚设电荷的
••••
数学模拟法 物理模拟法
•••• 图3.1.2 边值问题研究方法框图
例3.1.1 图示长直同轴电缆横截面。已知缆芯截面是一边长为2b的正方形，
铅皮半径为a，内外导体之间电介质的介电常数为 ，并且在两导体之间接有电源
U0，试写出该电缆中静电场的边值问题。
解：根据场分布对称性，确定场域。
场的边值问题