有理数域实数域
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Euclidean除法
设b是正整数，则任意正整数a>b皆可唯一地表示成 a=qb+r 0<=r<b
Euclidean算法
对任意给定的正整数a, b,必存在整数A, B使(a, b)=Aa+Bb
性质：ab=(a, b) [a, b]
2
Euclidean 算法
例子:求[595, 493]
Proof (反证法）：假定QQ*存在同构映射f,并令f(0) = x∈Q*.再令f(x) = x‘≠0，于是
f(0+x)=f(0)×f(x)=x×x’ f(x)=x×x’ x’= x×x’ x=1 f(0) =1
但另一方面，设f(a)=-1 f(a+a)=(-1) ×(-1)=1，但 f(0) =1，所以a+a=0a=0，于是又有f(0)=-1，这与f 是 QQ*的双射矛盾。因此， Q与Q*不存在同构映射。 QED
f(x+y)=-1=(-1)×1=f(x)×f(y)
同理可证： x是偶数， y是奇数时， f(x+y)=f(x)×f(y)。
因此， f是ZA的同态映射。QED
8
同态与同构
设有理数集Q，代数运算为数的加法，Q*为非零 有理数集，代数运算为数的乘法，证明: (Q, +)与 (Q*, ×)不存在同构映射。
内容
Euclidean算法 同余和剩余类 同态与同构 群 环 域 子群，正规子群，与商群 子格与划分
1
Euclidean 算法
最大公约数
同时除尽a, b, …, l （不全为0）的最大正整数，记为( a, b, …, l )或GCD ( a, b, …, l)
最小公倍数
同时被a, b, …, l （不全为0）除尽的最小正整数，记为[a, b, …, l ]或LCM ( a, b, …, l)
3
同余和剩余类
同余
若整数a和b被同一正整数m除时，有相同的余数，则称
a、b关于模m同余，记为 a b(mod m)
若 a1 b1(mod m), a2 b2 (mod m), 则
a1 a2 b1 b2 (mod m), a1 a2 b1 b2 (mod m)
单射，双射
如果对集合A中不同的元素，在f之下在集合B中有不同的像，即 当满且射仅又当是单a1=射a，2时就，称f(为a1)双=f射(a或2)，一则一称映f射是。A到B的单射。如果f既是
变换
设f是集合A到A的映射，则称f是A中的变换。A到A的满射称为满 变换，单射称为单变换，一一映射称为一一变换或置换。如果变 换保持A中的任一元素不变，则称为恒等变换或恒等置换。
则称f是A到B的同态映射，集合A与B同态。如果同 态 映射f又是双射，则称为同构映射，集合A与B同构。 若f是A 到A自身的同构映射，则称为自同构。
6
同态与同构
例子：
(R,＋)和(R+,×),这里＋，×分别为数的加法和乘法。 规定映射f: RR+为f(x)=10x, 则f是RR+的同构映射。
剩余类
给定正整数m，将全体整数按余数相同进行分类，可获 得m个剩余类：
例子
0,1,, m 1 a b a b, a b a b
25 ≡ 4(mod 7); 12 ≡ 5(mod 7); 25×12=300 ≡ 6(mod 7) ≡ 4×5(mod 7)
m=3 0 , 3,0,3, ; 1 , ห้องสมุดไป่ตู้2,1, 4, ; 2 , 1, 2,5,
Proof：对于任何y ∈ R+,存在x=lgy使f(x)=y,所以f是 RR+的满射；对任意的x, y ∈R，如果10x =10y ，得 x=y，所以f为RR+的单射。因此f是RR+的双射。又 由于f(x＋y)=10x+y= 10x × 10y =f(x)×f(y)，所以f是R到 R+的同构映射。
595 ＝ 493＋102
493＝102×4+85
102=85+17
85=17×5
(595, 493)=17; [595, 493]=(595×493)/17=17255
例子: (595, 493)的Euclidean算法表示
(595, 493)=17 =102-85 =102-(493-4×102) =5×102-493 =5×(595-493)-493 =5×595＋(-6)×493
4
映射
单值映射
设A和B是两个集合，如果存在某个对应法则f，使得对任一a∈A， 都能唯一确定一个元素b∈B与之对应，则称f是A到B的一个单值 映射。称b是a在f下的像，a为原像。
满射
设f是集合A到集合B的单值映射，如果对任一b∈B，必然存在有 a∈A，使得b=f(a)，则称f是A到B的满射。
证明： f是ZA的同态映射
Proof: 对于任何x, y ∈Z (1) 如果x, y都是偶数，则f(x)=1, f(y)=1，于是
f(x+y)=1=1×1=f(x)×f(y) (2) 如果 x, y都是奇数，则f(x)=-1, f(y)=-1 ，于是
f(x+y)=1=(-1)×(-1)=f(x)×f(y) (3) 如果 x是奇数， y是偶数，则f(x)=-1, f(y)=1，于是
5
同态与同构
代数系统
满足一定规律或定律的系统称为代数系统。且有： 1. 有一群元素构成一个集合； 2. 在元素集合中有一个等价关系； 3. 在集合中定义了一个或数个运算，通过运算建立起元
素之间的关系； 4. 有一组假定。
同态与同构：
设f是代数系统(A, ·)到(B,*)的映射，如果它满足条件 f(a1 ·a2) =f(a1) *f(a2) a1 ,a2 ∈A, f(a1) ,f(a2) ∈B
整数集合与剩余类集合之间仅是同态映射（See Slide5）
7
同态与同构
设(Z, +)和(A, ×), 这里A={1, -1}, 规定映射f：ZA为对
任何x∈Z,
1, if x is even (include negative even number)
f (x)
1, if x is odd (include negative odd number)
设b是正整数，则任意正整数a>b皆可唯一地表示成 a=qb+r 0<=r<b
Euclidean算法
对任意给定的正整数a, b,必存在整数A, B使(a, b)=Aa+Bb
性质：ab=(a, b) [a, b]
2
Euclidean 算法
例子:求[595, 493]
Proof (反证法）：假定QQ*存在同构映射f,并令f(0) = x∈Q*.再令f(x) = x‘≠0，于是
f(0+x)=f(0)×f(x)=x×x’ f(x)=x×x’ x’= x×x’ x=1 f(0) =1
但另一方面，设f(a)=-1 f(a+a)=(-1) ×(-1)=1，但 f(0) =1，所以a+a=0a=0，于是又有f(0)=-1，这与f 是 QQ*的双射矛盾。因此， Q与Q*不存在同构映射。 QED
f(x+y)=-1=(-1)×1=f(x)×f(y)
同理可证： x是偶数， y是奇数时， f(x+y)=f(x)×f(y)。
因此， f是ZA的同态映射。QED
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同态与同构
设有理数集Q，代数运算为数的加法，Q*为非零 有理数集，代数运算为数的乘法，证明: (Q, +)与 (Q*, ×)不存在同构映射。
内容
Euclidean算法 同余和剩余类 同态与同构 群 环 域 子群，正规子群，与商群 子格与划分
1
Euclidean 算法
最大公约数
同时除尽a, b, …, l （不全为0）的最大正整数，记为( a, b, …, l )或GCD ( a, b, …, l)
最小公倍数
同时被a, b, …, l （不全为0）除尽的最小正整数，记为[a, b, …, l ]或LCM ( a, b, …, l)
3
同余和剩余类
同余
若整数a和b被同一正整数m除时，有相同的余数，则称
a、b关于模m同余，记为 a b(mod m)
若 a1 b1(mod m), a2 b2 (mod m), 则
a1 a2 b1 b2 (mod m), a1 a2 b1 b2 (mod m)
单射，双射
如果对集合A中不同的元素，在f之下在集合B中有不同的像，即 当满且射仅又当是单a1=射a，2时就，称f(为a1)双=f射(a或2)，一则一称映f射是。A到B的单射。如果f既是
变换
设f是集合A到A的映射，则称f是A中的变换。A到A的满射称为满 变换，单射称为单变换，一一映射称为一一变换或置换。如果变 换保持A中的任一元素不变，则称为恒等变换或恒等置换。
则称f是A到B的同态映射，集合A与B同态。如果同 态 映射f又是双射，则称为同构映射，集合A与B同构。 若f是A 到A自身的同构映射，则称为自同构。
6
同态与同构
例子：
(R,＋)和(R+,×),这里＋，×分别为数的加法和乘法。 规定映射f: RR+为f(x)=10x, 则f是RR+的同构映射。
剩余类
给定正整数m，将全体整数按余数相同进行分类，可获 得m个剩余类：
例子
0,1,, m 1 a b a b, a b a b
25 ≡ 4(mod 7); 12 ≡ 5(mod 7); 25×12=300 ≡ 6(mod 7) ≡ 4×5(mod 7)
m=3 0 , 3,0,3, ; 1 , ห้องสมุดไป่ตู้2,1, 4, ; 2 , 1, 2,5,
Proof：对于任何y ∈ R+,存在x=lgy使f(x)=y,所以f是 RR+的满射；对任意的x, y ∈R，如果10x =10y ，得 x=y，所以f为RR+的单射。因此f是RR+的双射。又 由于f(x＋y)=10x+y= 10x × 10y =f(x)×f(y)，所以f是R到 R+的同构映射。
595 ＝ 493＋102
493＝102×4+85
102=85+17
85=17×5
(595, 493)=17; [595, 493]=(595×493)/17=17255
例子: (595, 493)的Euclidean算法表示
(595, 493)=17 =102-85 =102-(493-4×102) =5×102-493 =5×(595-493)-493 =5×595＋(-6)×493
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映射
单值映射
设A和B是两个集合，如果存在某个对应法则f，使得对任一a∈A， 都能唯一确定一个元素b∈B与之对应，则称f是A到B的一个单值 映射。称b是a在f下的像，a为原像。
满射
设f是集合A到集合B的单值映射，如果对任一b∈B，必然存在有 a∈A，使得b=f(a)，则称f是A到B的满射。
证明： f是ZA的同态映射
Proof: 对于任何x, y ∈Z (1) 如果x, y都是偶数，则f(x)=1, f(y)=1，于是
f(x+y)=1=1×1=f(x)×f(y) (2) 如果 x, y都是奇数，则f(x)=-1, f(y)=-1 ，于是
f(x+y)=1=(-1)×(-1)=f(x)×f(y) (3) 如果 x是奇数， y是偶数，则f(x)=-1, f(y)=1，于是
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同态与同构
代数系统
满足一定规律或定律的系统称为代数系统。且有： 1. 有一群元素构成一个集合； 2. 在元素集合中有一个等价关系； 3. 在集合中定义了一个或数个运算，通过运算建立起元
素之间的关系； 4. 有一组假定。
同态与同构：
设f是代数系统(A, ·)到(B,*)的映射，如果它满足条件 f(a1 ·a2) =f(a1) *f(a2) a1 ,a2 ∈A, f(a1) ,f(a2) ∈B
整数集合与剩余类集合之间仅是同态映射（See Slide5）
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同态与同构
设(Z, +)和(A, ×), 这里A={1, -1}, 规定映射f：ZA为对
任何x∈Z,
1, if x is even (include negative even number)
f (x)
1, if x is odd (include negative odd number)