耦合电感和理想变压器

iC
C 1F
I
U
+
-
u
-
L2 25mH
j ( L1 M ) jM R j ( L2 M ) I
IC
1 j C
I
C
去耦等效电路
j ( L M ) I U [ R j ( L1 M ) j ( L2 M )]I 2 C 1 )]I C 0 j ( L2 M ) I [ j ( L2 M ) j(M C 0, I 70.7145 A I C
L顺 L1 L2 2M
在正弦电路中

M i L1 L2 u1 u2
u

j( X X ) I j(L M ) I U 1 L1 M 1 j( X X ) I j(L M ) I U
2 L2 M 2
二、把互感电压作为受控源的计算方法 在正弦稳态分析时，可以把各互感电压作为受 控源看待，并在正确标定其极性后，用正弦稳态分 析方法进行分析。
I 1
R1 + U S
－
M jL1

R2
jL2
I 2
Βιβλιοθήκη BaiduI 1
I I 1 2
R3
R R1 jMI 2 2 + R3 I 2 U S I1 I I
M X M ----互感抗
六、互感线圈的串并联
1．串联
1) 顺接 u L di M di ， u L di M di 1 1 2 2

M i L1 L2 u1 u2
u

dt
dt
dt
dt
di di u u1 u2 ( L1 L2 2 M ) L顺 dt dt
L1 La Lb La L1 M Lb M M Lb L L L L L M b c 2 2 c
i1 M i 2 L2 u u1 L1 2
公共点为同名端
i1
i1 u1 L1
M
La Lb
i2
通过电磁场理论可以证明： M12 M 21 M 0
③互感电压的产生
线圈1通以变化电流 i1 ，线圈2产生互感磁链 Ψ 21 ， 从而产生感应电压，称为互感电压，记作： u21
d 21 di1 u21 M 21 dt dt
符合右手螺旋法则
同理，线圈2通电流 i 2 ，线圈1产生互感磁链 Ψ 12 ， 从而产生感应电压，称为互感电压，记作： u12
21
②若线圈2中通以变化电流 i 2
Φ22 ：自感磁通 Φ12 ：互感磁通（耦合磁通）
Φ22 Φ12
当 Φ22 Φ12 ，全耦合。
L1
L2
22 N 2Φ22 L2 自感磁链：
22
i2
----自感量 ----互感量
互感磁链： 12 N1Φ12 M12
12
合程度，称为耦合系数 k 。
Φ21 Φ12 k Φ11 Φ22
M L1 L2
Φ21 Φ12 k Φ11 Φ22
M L1 L2
Ψ11 L1i1 ，Ψ 21 Mi1 ；Ψ 22 L2i2 ，Ψ12 Mi2
k
M 1 L1 L2
全耦合：k=1
无耦合：k=0
四、互感电压
u1 L 1
i1 M
(c)
2 2
L2 u2
i2
2
同名端的判定：
方法一：“直流法” 当S合上瞬间，电压表V： 1) 上正下负(正偏转)
2) 上负下正(反偏转)
1 M 2 1.5V L2 L1 V 2 1
1与2为同名端, 1与 2为同名端
S i1
方法二：“交流法”
U U U 3 1 2 U3 U1 U2
di1 di 2 u21 M 21 ， u12 M12 dt dt
由于互感磁通与自感磁通有彼此加强或削弱两 种情况，因此在同一线圈上的互感电压与自感电压 可能彼此相加，也可能彼此相减。这与两个线圈的 相对绕向、位置和电流参考方向有关。
u1 u11 u12 两施感电流同时作用： u 2 u 22 u 21
二、互感
①若线圈1中通以变化电流 i1
L1
Φ11 ：自感磁通 Φ21 ：互感磁通（耦合磁通）
Φ11 Φ21
当 Φ11 Φ21 ，全耦合。
L2
自感磁链： 11 N1Φ11 L1
11
i1 i1
----自感量 ----互感量
互感磁链： 21 N 2Φ21 M 21
1. ii 与 Φij “关联方向”
di1 di 2 di2 di1 u1 L1 M ， u2 L2 M dt dt dt dt
2. ii 与 Φij “非关联方向”
di1 u21 M dt di2 u12 M dt
di1 di2 u1 L1 M dt dt u M di1 L di2 2 dt dt 2
jL1
I M 2
jL2
Z
U L1L2 M 2 Z j I L1 L2 2M
L1L2 M 等效电感 ： L L1 L2 2M
2
2) 异侧(异名端相联)
jL I jMI U 1 1 2 jMI U jL2 I 2 1 I I1 I 2
第八章 含耦合电感和理想变压器 的电路分析
1.耦合电感元件 2.理想变压器元件
§8-1 耦合电感的伏安关系
一、磁链和电感量 单匝线圈中通以电流i 后，→磁通Φ 若磁通与线圈的N匝都交链，→ Ψ NΦ
Φ 定义自电感： L N i i
关联条件下，电感两端的电压：

dΦ dΨ di u N L dt dt dt
例：求图a电路的输入阻抗。
M
L1 R1

M

L2
L1 M L2 M
R2
R1
R2
(a)
(b)去耦等效电路
[ R1 j ( L1 M )] [ R2 j ( L2 M )] Z i jM R1 R2 j ( L1 L2 2M )
分析含耦合电感元件电路时，必须考虑互感电 压，故使用网孔电流法比较方便。 对于有公共端钮的耦合电感常用去耦等效电路， 把有互感的电路转化为一般无互感的电路来分析。
引入“同名端”的概念。
五、互感线圈的同名端
图(a)
Φ1 Φ11 Φ12 Φ2 Φ21 Φ22 Φ1 Φ11 Φ12 Φ2 Φ21 Φ22

1 i1
u1
i2 2 M
L2
(a)

L1
u2
图(c)
1 1
将1与2或 1 与 2称为同名端, 1 用 “※”、“·”、“★”或“△”表 示； 而将1与 2 或 1与2 称为异名端。
I U

I 1
jL1
jL2
M
I 2

Z
U L1L2 M 2 Z j I L1 L2 2M
L1L2 M 等效电感 ： L L1 L2 2M
2
作业：P 217 8-1
§8-2 含耦合电感元件电路的计算方法
一、含耦合电感电路的基本计算方法 M 、I I 图示电路，求：I 1 1 2 jL1 jL2 U M1 jMI 2 R1 R2 R + jMI I I U
i2 L2 u 2
+ u1
－
i1 i2
Lc i 2
+ u2
－
公共端为异名端
La L1 M Lb M L L M 2 c
例： u 5000 2 cos104 t V ,求各支路电流。
50 + RM 25mH
i
L1 20mH
1与2为同名端,
U3 U1 U 2
1与 2为同名端
▲ 耦合电感(互感)的电路符号
1 1
M 2
L1
L2
2 1
M

L1
1
2

L2
2
▲ 互感电压前的“＋”、“－”号的问题
如果，电流的参考方向由线圈1的同名 端指向另一端，那么由该电流在线圈2内产 生的互感电压参考方向也应由线圈2的同名 端指向另一端。反之亦然。
di1 di 2 u1 L1 M dt dt u M di1 L di2 2 2 dt dt


i1 La
+ u1
－
Lb
i1 i2
Lc i 2
+ u2
－
di1 d (i1 i2 ) di1 di2 u1 La Lb ( La Lb ) Lb dt dt dt dt u L di1 ( L L ) di2 2 b b c dt dt

di di u u1 u2 ( L1 L2 2 M ) L反 dt dt
L反 L1 L2 2M
2. 并联
1) 同侧(同名端相联)
I U

I 1
jL I jMI U 1 1 2 jMI U jL2 I 2 1 I I1 I 2
U U j ( L L 2 M ) I U 1 2 1 2 j( X L1 X L 2 2 X M ) I
2) 反接
di di u1 L1 M ， dt dt di di u2 L2 M dt dt

i L1 u1
M
u
L2 u2
1 i1 L1

M
u1
1
2 2 i 2 L2 u2

2 di1 di 2 di 2 di1 u1 L1 M ， u2 L2 M dt dt dt dt
，i I 若i1、i2均为正弦量，i1 I 1 2 2
jL I jMI u1 U 1 1 1 2 则： jL I jMI u U 2 2 2 1 2
－
jL1+ -
jL2
+
jMI 1
-
I 2
1
2
( R1 R2 j L1 ) I1 R2 I 2 U S j MI 2 R2 I1 ( R2 R3 j L2 ) I 2 j MI1
三、耦合电感的去耦等效电路(互感消去法) 当两耦合电感有一对公共端时， i1 M i 2 L2 u 可以用三个无耦合的电感组成 u1 L1 2 的T形网络来做等效替换，

1 i1
u1
i2 2 M
L2

M
L1
u2
1 i1 L1

1
2
u1
1 2 i 2 L2

u2
2
di1 di 2 di 2 di1 u1 L1 M ， u2 L2 M dt dt dt dt

1 i1
i2 2
u2
M u1 L L2 1 1
M2 1
I 2
KVL方程：
－
U S
1
I I 1 2
2
3
jL I jMI R (I I ) U R1 I 1 1 1 2 2 1 2 S I ) jL I jMI R I 0 R ( I 2 2 1 3 2 2 2 1 ( R R j L ) I ( R j M ) I U 1 2 1 1 2 2 S ( R R jL ) I 0 ( R j M ) I 2 1 2 3 2 2
d 12 di 2 u12 M 12 dt dt
注意：1) u12、u21的实际方向与两线圈的绕向有关； 2) 若感应线圈两端接上负载，将有电流流过 。 三、耦合系数 由于互感磁通只是总磁通的一部分，互感磁通与
自感磁通的比值<1。两线圈靠得越近，该比值就越接
Φ21 Φ12 近于1。一般用 和 的几何平均值表征这一耦 Φ11 Φ22