第二章 线性规划的图解法
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一般称≤不等式中引入的变量为松弛变量，称 ≥不等式中引入的变量为剩余变量。
C、变量符号限制的问题：
当某一个变量xj ≤0时，可以令
xj = -xj’
则xj’≥0
当某一个变量xj没有非负约束时，可以令
xj = xj’- xj”
其中 xj’≥0，xj”≥0
D、右端项有负值的问题： 如 bi<0，则把该等式约束两端同时乘以-1，
B、约束条件不是等式的问题：
若约束条件为
ai1 x1+ai2 x2+ … +ain xn ≤ bi 可以引进一个新的变量si ，使它等于约束右
边与左边之差
si=bi–(ai1 x1 + ai2 x2 + … + ain xn ) 显然，si 也具有非负约束，即si≥0， 这时新的约束条件成为
ai1 x1+ai2 x2+ … +ain xn+si = bi
松弛变量的值和意义
例1.5的线性规划模型化为标准型： 目标函数：max z= 50x1+100 x2
约束条件：x1+x2+s1＝300 2x1+x2+s2＝400 x2+s3＝250 x1,x2,s1,s2,s3≥0
引入的松弛变量常常表示未被充分利用的资 源条件。
松弛变量的值和意义
➢ 对最优解x1＝50，x2＝250来说，各松弛变量 的值如下表所示：
3、如何将一般LP问题化为标准形 式
A、极小化目标函数问题转化为极大化目标 函数问题：
若目标函数为：
Min f = c1x1 + c2x2 + … + cnxn
则可令z ＝ -f ，原目标等同于：
Max z = -c1x1 - c2x2 - … - cnxn
但须注意, f* ＝ – z*
数学模型：
Max s = 3x1＋5x2＋4x3
s.t. 2x1＋3x2＋0x3≤ 1500
0x1＋2x2＋4x3≤800
3x1＋2x2＋5x3≤2000
x1 ，x2 ，x3 ≥0
从前面两个例子中可以看出一般线性规划问题 的建模过程：
A、理解要解决的问题，明确在什么条件下， 要追求什么目标；
1、建立直角坐标系。 2、画出可行域。 3、作目标函数的等值线 4、找出最优解（切点即为最优解，找出切
点坐标，并代入目标函数求得最优值）。
可行域
线性规划中解的概念
X2
最优解：
400
x1＝50
x2＝250
300
200
100
非可行解： x1＝200 x2＝300
x2＝250
可行解： x1＝100 x2＝100
目标：每天的生产利润最大
目标函数为Max s ＝3x1＋5x2＋4x3 约束条件：每天原料的需求量不超过可用量
原料P1 ： 2x1＋3x2＋0x3≤ 1500 原料P2 ： 0x1＋2x2＋4x3≤800 原料P3 ： 3x1＋2x2＋5x3≤2000 隐含约束：产量为非负数x1 ，x2 ，x3 ≥0
第二章 线性规划 的图解法
一、线性规划的概念 二、线性规划问题的提出 三、线性规划的数学模型 四、线性规划的图解法 五、线性规划解的情况 六、LP图解法的灵敏度分析
一、线性规划的概念
线性规划Linear Programming 简称LP，是一 种解决在线性约束条件下追求最大或最小的 线性目标函数的方法。
a11x1 + a12x2 + L + a1n xn = b1(? 0)
s.t.
am1x1 + am2x2 + L + amnxn = bm (? 0)
x1 ≥0， x2 ≥0，…， xn ≥0
标准形式的特点：
A、目标函数为Max形式 B、约束全为＝式 C、所有决策变量xj ≥0，j＝ 1，2，3，… n D、所有bi≥0，i＝1，2，3，…… m
s. t. x1 - x2 + x3 ≤4
x1 +2 x3 ≥8
x1 + x2 + x3 ≥ 2
x1 ≥ 0, x2 ≤0
答案：标准型为
maxz = -x1 +2 x2’- 3 x3’+ 3 x3’ ’
s. t. x1 + x2’ + x3’－ x3’ ’ +s1=4
x1 +2 x3’－2 x3’ ’ –s2＝8
O
100 200 300
X1
2x1+x2＝400 x1+x2＝300
线性规划中几个的概念
1、解：决策变量的任意一组取值； 2、可行解：满足约束条件（包括非负条件）的一
组决策变量值，称可行解； 3、可行域：所有可行解的集合； 4、最优解：使目标函数值最优（即使最大化目标
函数值最大，使最小化目标函数最小）的可行解； 5、最优值：最优解对应的目标函数值。
B、定义决策变量；
C、用决策变量的线性函数形式写出所要追求 的目标，即目标函数,按问题的不同，要求目 标函数实现最大化和最小化；
D、用一组决策变量的等式或不等式来表示在 解决问题过程中所必须遵循的约束条件。
三、线性规划的数学模型
1、LP模型的一般形式 目标函数：
Max(Min)z = c1x1 + c2x2 + … + cnxn
x1 + x2 + x3 = 38
x1 , x2 , x3 ≥ 0
解：首先，将目标函数转换成极大化：
令 z= -f = -3.6 x1+5.2 x2-1.8 x3
其次考虑约束，有2个不等式约束，引进松弛变量 x4 ， x5≥0。
于是，我们可以得到以下标准形式的线性规划问 题：
Max z = - 3.6 x1 + 5.2 x2 - 1.8 x3
可以看出，一般LP模型的特点： A、决策变量x1，x2，x3，……xn表示要寻求
的方案，每一组值就是一个方案；
B、约束条件是用等式或不等式表述的限制 条件；
C、一定有一个追求目标，或希望最大或希 望最小；
D、所有函数都是线性的。
2、线性规划模型的标准型：
max z = c1x1 + c2x2 + L + cnxn
例1.5 某工厂在计划期内要安排Ⅰ，Ⅱ两种产品的 生产，生产单位产品所需的设备台时及A、B两种原 材料的消耗以及资源的限制如表所示：
产品
Ⅰ
Ⅱ
资源限制
设备
1
1
300台时
原料A
2
1
400kg
原料B
0
1
250kg
工厂每生产一单位产品Ⅰ可以获利50元，每生产一 单位产品Ⅱ可获利100元，问工厂应分别生产多少 单位产品Ⅰ和产品Ⅱ才能使获利最多？
线性规划的目标和约束条件都可以表示成线 性的式子。
二、线性规划问题的提出
例1.1、胜利家具厂生产桌子和椅子两种家具，桌子售价50 元/张，椅子售价30元/张。生产一张桌子需要木工4h，油漆 工2h，生产一张椅子需要木工3h，油漆工1h。该厂每月可用 木工工时120h，油漆工工时50h。问该厂每月生产多少张桌 子和椅子才能使每月的销售收入最大？
问题的线性规划模型：
目标函数：max z= 50x1+100 x2 约束条件：x1+x2≤300 2x1+x2≤400 x2≤250 x1 ≥0， x2 ≥0
➢ 第一步：确定可行域
X2
400
可行域
300 x2＝250
200
100
O
100 200 300
X1
2x1+x2＝400 x1+x2＝300
设备A台时占用 2x1 x2 ≤10
设备B台时占用
s.t.
x1 x2 ≤ 8
生产能力,不 允许超过
（subject to）
产量非负 x1, x2 ≥ 0
当目标函数与约束条件均为决策变 量的线性函数，且变量取连续值时，
称为线性规划LP；变量取整称为整
数线性规划ILP；变量取二进制为
源自文库
s.t. 4x1+3x2≤ 120
2x1+x2≤ 50
x1 ,x2 ≥0
承导入案例
产品甲 产品乙 生产能力
设备A
2
1
10
设备B
1
1
8
单位利润 3
2
决策变量
（decision variable）
设两种产品产量为x1,x2,则有: 总利润表三达要式素
最大化 max z 3x1 2x2
目标函数 （objective function） 约束条件
当约束条件为
≥ ai1 x1+ai2 x2+ … +ain xn bi时，类似地令
si= (ai1 x1 + ai2 x2 + … + ain xn ) –bi 显然，si也满足非负约束，即si≥0，这时新
的约束条件成为
ai1 x1+ai2 x2+ … +ain xn-s = bi
注意：
不同的约束不等式引入的变量也不同；
x1 - x2 ’ + x3’－ x3’ ’ –s3 ＝ 2
x1 ， x2’ ， x3’， x3’ ’ ， s1 ，s2 ，s3 ≥ 0
（注：其中z＝-f， x2 ’ =- x2 ， x3’－ x3’ ’ ＝ x3 ）
四、线性规划的图解法
对于只有两个决策变量的线性规划问题，可 以在二维直角坐标平面上作图表示线性规划 问题的有关概念，并求解。
X2
最优值
400
Z＝27500 300
➢ 第二步：作目标函数等值线， 确定使目标函数最优的点
最优解 等值线法线
(50,250)
200 Z＝10000
z＝0
100
等值线
O
100 200 300
X1
➢ 故原问题最优解为： x1＝50，x2＝250 ➢ 最优值为27500。
图解法求解线性规划问题的步骤：
•约束条件：
a11x1+a12x2+…+a1nxn≤( =, ≥ )b1 a21x1+a22x2+…+a2nxn≤( =, ≥ )b2
... am1x1+am2x2 +…+amnxn≤( =, ≥ )bm x1 ，x2 ，… ，xn ≥ ( ≤) 0 或无约束
xj为待定的决策变量； cj为目标函数系数，或价值系数、费用系数； aij为技术系数； bj为资源常数，简称右端项； 其中i＝1，2，…m； j＝1，2，…n
s.t. 2.3 x1 +5.2 x2 -6.1 x3 + x4 = 15.7
4.1 x1 +3.3 x3 – x5 = 8.9
x1 + x2 + x3 = 38
x1 , x2, x3 , x4 ,x5 ≥ 0
例1.4 将以下线性规划问题转化为标准形式
min f = x1 +2 x2 + 3 x3
➢
30
＝52500
3x2＝75
20
（15，10）
10
O
10
20
30
40
50 X1
3x1+2x2＝65
2x1+x2＝40
0-1规划BLP。
例1.2 某工厂用三种原料生产三种产品，已知的条件 如下表所示，试制订总利润最大的生产计划
单位产品所需原料数量 产品Q1 （公斤）
产品Q2
产品Q3
原料可用量 （公斤/日）
原料P1
2
3
0
1500
原料P2
0
2
4
800
原料P3
3
2
5
2000
单位产品的利润（千元） 3
5
4
决策变量：每天生产三种产品的数量，分别 设为x1，x2，x3；
约束条件 设备台时数
原料A 原料B
松弛变量的值 S1=0 S2=50 S3=0
➢ 松弛变量的值也可以从图
X2
解法中获得一些信息：
最优解： 400 x1＝50
x2＝250
300
➢ S1=0 ➢ S2>0
x2＝250
➢ S3=0
200
100
O
100 200 300
X1
2x1+x2＝400 x1+x2＝300
剩余变量的值和意义
请大家下去后阅读教材15－17页例2
课堂练习：图解法求解以下LP问题
目标函数 Max z = 2500x1 + 1500x2
约束条件 s.t. 3x1+2x2≤ 65 2x1+x2≤ 40 3x2≤ 75 x1 ,x2 ≥0
➢ 答案：
X2 ➢ 最优解为： x1 ＝15 ，x2＝10 40 ➢ 最优值为：z*＝2500×15+1500×10
得到：
-ai1 x1-ai2 x2- … -ain xn = -bi 。
例1.3：将以下线性规划问题转化为标准形式
Min f = 3.6 x1 - 5.2 x2 + 1.8 x3
s. t. 2.3 x1 + 5.2 x2 - 6.1 x3 ≤15.7
4.1 x1 + 3.3 x3 ≥8.9
解： 1、确定决策变量
x1、x2——每月生产桌子、椅子的数量；
2、确定目标函数——销售收入最大
Max s =50x1+30x2
3、确定约束条件 s.t. 4x1+3x2≤ 120
2x1+x2≤ 50
4、变量非负限制 x1 ,x2 ≥0
线性规划模型：
Max s =50x1+30x2
C、变量符号限制的问题：
当某一个变量xj ≤0时，可以令
xj = -xj’
则xj’≥0
当某一个变量xj没有非负约束时，可以令
xj = xj’- xj”
其中 xj’≥0，xj”≥0
D、右端项有负值的问题： 如 bi<0，则把该等式约束两端同时乘以-1，
B、约束条件不是等式的问题：
若约束条件为
ai1 x1+ai2 x2+ … +ain xn ≤ bi 可以引进一个新的变量si ，使它等于约束右
边与左边之差
si=bi–(ai1 x1 + ai2 x2 + … + ain xn ) 显然，si 也具有非负约束，即si≥0， 这时新的约束条件成为
ai1 x1+ai2 x2+ … +ain xn+si = bi
松弛变量的值和意义
例1.5的线性规划模型化为标准型： 目标函数：max z= 50x1+100 x2
约束条件：x1+x2+s1＝300 2x1+x2+s2＝400 x2+s3＝250 x1,x2,s1,s2,s3≥0
引入的松弛变量常常表示未被充分利用的资 源条件。
松弛变量的值和意义
➢ 对最优解x1＝50，x2＝250来说，各松弛变量 的值如下表所示：
3、如何将一般LP问题化为标准形 式
A、极小化目标函数问题转化为极大化目标 函数问题：
若目标函数为：
Min f = c1x1 + c2x2 + … + cnxn
则可令z ＝ -f ，原目标等同于：
Max z = -c1x1 - c2x2 - … - cnxn
但须注意, f* ＝ – z*
数学模型：
Max s = 3x1＋5x2＋4x3
s.t. 2x1＋3x2＋0x3≤ 1500
0x1＋2x2＋4x3≤800
3x1＋2x2＋5x3≤2000
x1 ，x2 ，x3 ≥0
从前面两个例子中可以看出一般线性规划问题 的建模过程：
A、理解要解决的问题，明确在什么条件下， 要追求什么目标；
1、建立直角坐标系。 2、画出可行域。 3、作目标函数的等值线 4、找出最优解（切点即为最优解，找出切
点坐标，并代入目标函数求得最优值）。
可行域
线性规划中解的概念
X2
最优解：
400
x1＝50
x2＝250
300
200
100
非可行解： x1＝200 x2＝300
x2＝250
可行解： x1＝100 x2＝100
目标：每天的生产利润最大
目标函数为Max s ＝3x1＋5x2＋4x3 约束条件：每天原料的需求量不超过可用量
原料P1 ： 2x1＋3x2＋0x3≤ 1500 原料P2 ： 0x1＋2x2＋4x3≤800 原料P3 ： 3x1＋2x2＋5x3≤2000 隐含约束：产量为非负数x1 ，x2 ，x3 ≥0
第二章 线性规划 的图解法
一、线性规划的概念 二、线性规划问题的提出 三、线性规划的数学模型 四、线性规划的图解法 五、线性规划解的情况 六、LP图解法的灵敏度分析
一、线性规划的概念
线性规划Linear Programming 简称LP，是一 种解决在线性约束条件下追求最大或最小的 线性目标函数的方法。
a11x1 + a12x2 + L + a1n xn = b1(? 0)
s.t.
am1x1 + am2x2 + L + amnxn = bm (? 0)
x1 ≥0， x2 ≥0，…， xn ≥0
标准形式的特点：
A、目标函数为Max形式 B、约束全为＝式 C、所有决策变量xj ≥0，j＝ 1，2，3，… n D、所有bi≥0，i＝1，2，3，…… m
s. t. x1 - x2 + x3 ≤4
x1 +2 x3 ≥8
x1 + x2 + x3 ≥ 2
x1 ≥ 0, x2 ≤0
答案：标准型为
maxz = -x1 +2 x2’- 3 x3’+ 3 x3’ ’
s. t. x1 + x2’ + x3’－ x3’ ’ +s1=4
x1 +2 x3’－2 x3’ ’ –s2＝8
O
100 200 300
X1
2x1+x2＝400 x1+x2＝300
线性规划中几个的概念
1、解：决策变量的任意一组取值； 2、可行解：满足约束条件（包括非负条件）的一
组决策变量值，称可行解； 3、可行域：所有可行解的集合； 4、最优解：使目标函数值最优（即使最大化目标
函数值最大，使最小化目标函数最小）的可行解； 5、最优值：最优解对应的目标函数值。
B、定义决策变量；
C、用决策变量的线性函数形式写出所要追求 的目标，即目标函数,按问题的不同，要求目 标函数实现最大化和最小化；
D、用一组决策变量的等式或不等式来表示在 解决问题过程中所必须遵循的约束条件。
三、线性规划的数学模型
1、LP模型的一般形式 目标函数：
Max(Min)z = c1x1 + c2x2 + … + cnxn
x1 + x2 + x3 = 38
x1 , x2 , x3 ≥ 0
解：首先，将目标函数转换成极大化：
令 z= -f = -3.6 x1+5.2 x2-1.8 x3
其次考虑约束，有2个不等式约束，引进松弛变量 x4 ， x5≥0。
于是，我们可以得到以下标准形式的线性规划问 题：
Max z = - 3.6 x1 + 5.2 x2 - 1.8 x3
可以看出，一般LP模型的特点： A、决策变量x1，x2，x3，……xn表示要寻求
的方案，每一组值就是一个方案；
B、约束条件是用等式或不等式表述的限制 条件；
C、一定有一个追求目标，或希望最大或希 望最小；
D、所有函数都是线性的。
2、线性规划模型的标准型：
max z = c1x1 + c2x2 + L + cnxn
例1.5 某工厂在计划期内要安排Ⅰ，Ⅱ两种产品的 生产，生产单位产品所需的设备台时及A、B两种原 材料的消耗以及资源的限制如表所示：
产品
Ⅰ
Ⅱ
资源限制
设备
1
1
300台时
原料A
2
1
400kg
原料B
0
1
250kg
工厂每生产一单位产品Ⅰ可以获利50元，每生产一 单位产品Ⅱ可获利100元，问工厂应分别生产多少 单位产品Ⅰ和产品Ⅱ才能使获利最多？
线性规划的目标和约束条件都可以表示成线 性的式子。
二、线性规划问题的提出
例1.1、胜利家具厂生产桌子和椅子两种家具，桌子售价50 元/张，椅子售价30元/张。生产一张桌子需要木工4h，油漆 工2h，生产一张椅子需要木工3h，油漆工1h。该厂每月可用 木工工时120h，油漆工工时50h。问该厂每月生产多少张桌 子和椅子才能使每月的销售收入最大？
问题的线性规划模型：
目标函数：max z= 50x1+100 x2 约束条件：x1+x2≤300 2x1+x2≤400 x2≤250 x1 ≥0， x2 ≥0
➢ 第一步：确定可行域
X2
400
可行域
300 x2＝250
200
100
O
100 200 300
X1
2x1+x2＝400 x1+x2＝300
设备A台时占用 2x1 x2 ≤10
设备B台时占用
s.t.
x1 x2 ≤ 8
生产能力,不 允许超过
（subject to）
产量非负 x1, x2 ≥ 0
当目标函数与约束条件均为决策变 量的线性函数，且变量取连续值时，
称为线性规划LP；变量取整称为整
数线性规划ILP；变量取二进制为
源自文库
s.t. 4x1+3x2≤ 120
2x1+x2≤ 50
x1 ,x2 ≥0
承导入案例
产品甲 产品乙 生产能力
设备A
2
1
10
设备B
1
1
8
单位利润 3
2
决策变量
（decision variable）
设两种产品产量为x1,x2,则有: 总利润表三达要式素
最大化 max z 3x1 2x2
目标函数 （objective function） 约束条件
当约束条件为
≥ ai1 x1+ai2 x2+ … +ain xn bi时，类似地令
si= (ai1 x1 + ai2 x2 + … + ain xn ) –bi 显然，si也满足非负约束，即si≥0，这时新
的约束条件成为
ai1 x1+ai2 x2+ … +ain xn-s = bi
注意：
不同的约束不等式引入的变量也不同；
x1 - x2 ’ + x3’－ x3’ ’ –s3 ＝ 2
x1 ， x2’ ， x3’， x3’ ’ ， s1 ，s2 ，s3 ≥ 0
（注：其中z＝-f， x2 ’ =- x2 ， x3’－ x3’ ’ ＝ x3 ）
四、线性规划的图解法
对于只有两个决策变量的线性规划问题，可 以在二维直角坐标平面上作图表示线性规划 问题的有关概念，并求解。
X2
最优值
400
Z＝27500 300
➢ 第二步：作目标函数等值线， 确定使目标函数最优的点
最优解 等值线法线
(50,250)
200 Z＝10000
z＝0
100
等值线
O
100 200 300
X1
➢ 故原问题最优解为： x1＝50，x2＝250 ➢ 最优值为27500。
图解法求解线性规划问题的步骤：
•约束条件：
a11x1+a12x2+…+a1nxn≤( =, ≥ )b1 a21x1+a22x2+…+a2nxn≤( =, ≥ )b2
... am1x1+am2x2 +…+amnxn≤( =, ≥ )bm x1 ，x2 ，… ，xn ≥ ( ≤) 0 或无约束
xj为待定的决策变量； cj为目标函数系数，或价值系数、费用系数； aij为技术系数； bj为资源常数，简称右端项； 其中i＝1，2，…m； j＝1，2，…n
s.t. 2.3 x1 +5.2 x2 -6.1 x3 + x4 = 15.7
4.1 x1 +3.3 x3 – x5 = 8.9
x1 + x2 + x3 = 38
x1 , x2, x3 , x4 ,x5 ≥ 0
例1.4 将以下线性规划问题转化为标准形式
min f = x1 +2 x2 + 3 x3
➢
30
＝52500
3x2＝75
20
（15，10）
10
O
10
20
30
40
50 X1
3x1+2x2＝65
2x1+x2＝40
0-1规划BLP。
例1.2 某工厂用三种原料生产三种产品，已知的条件 如下表所示，试制订总利润最大的生产计划
单位产品所需原料数量 产品Q1 （公斤）
产品Q2
产品Q3
原料可用量 （公斤/日）
原料P1
2
3
0
1500
原料P2
0
2
4
800
原料P3
3
2
5
2000
单位产品的利润（千元） 3
5
4
决策变量：每天生产三种产品的数量，分别 设为x1，x2，x3；
约束条件 设备台时数
原料A 原料B
松弛变量的值 S1=0 S2=50 S3=0
➢ 松弛变量的值也可以从图
X2
解法中获得一些信息：
最优解： 400 x1＝50
x2＝250
300
➢ S1=0 ➢ S2>0
x2＝250
➢ S3=0
200
100
O
100 200 300
X1
2x1+x2＝400 x1+x2＝300
剩余变量的值和意义
请大家下去后阅读教材15－17页例2
课堂练习：图解法求解以下LP问题
目标函数 Max z = 2500x1 + 1500x2
约束条件 s.t. 3x1+2x2≤ 65 2x1+x2≤ 40 3x2≤ 75 x1 ,x2 ≥0
➢ 答案：
X2 ➢ 最优解为： x1 ＝15 ，x2＝10 40 ➢ 最优值为：z*＝2500×15+1500×10
得到：
-ai1 x1-ai2 x2- … -ain xn = -bi 。
例1.3：将以下线性规划问题转化为标准形式
Min f = 3.6 x1 - 5.2 x2 + 1.8 x3
s. t. 2.3 x1 + 5.2 x2 - 6.1 x3 ≤15.7
4.1 x1 + 3.3 x3 ≥8.9
解： 1、确定决策变量
x1、x2——每月生产桌子、椅子的数量；
2、确定目标函数——销售收入最大
Max s =50x1+30x2
3、确定约束条件 s.t. 4x1+3x2≤ 120
2x1+x2≤ 50
4、变量非负限制 x1 ,x2 ≥0
线性规划模型：
Max s =50x1+30x2