平行四边形中的折叠问题含答案

平行四边形中的折叠问题

一、新课导入

（一）学习目标

熟练掌握平行四边形的性质与判定，并能运用相关性质、判定解决平行四边形中的折叠问题．（二）预习导入

1．如图，将▱ABCD沿对角线BD折叠，点A落在点A′处，若∠A=55°，∠ABD=45°，则∠A′BC的大小为（）．

A．30°B．35°C．40°D．45°

2．如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在C'处，折痕为EF，若AB=1，BC=2，则△ABE和△BC'F的周长之和是________．

二、典型问题

知识点一：在折叠中求角度和边长

例1如图，矩形ABCD中，点M，N分别在AD、BC边上．将矩形ABCD沿MN翻折，点C恰好落在AD边上的点F处．若MD=1，∠MNC=60°，则∠EFM的度数为_______，AB的长为________．

分析：由折叠变换可得EF=CD，MD=EM=1，∠MNC=∠FNM=60°，∠C=∠EFN=90°，由平行线的性质可得∠FMN=∠MNC=60°，即可求得∠EFM的度数，由直角三角形的性质可求得EF的长，即为AB的长．

知识点二：在折叠中判定平行四边形

例2如图，已知矩形ABCD，将纸片折叠，使顶点A与C重合，折痕EF分别于DC，AB 交于E，F．求证：E，A，F，C四点构成的四边形为菱形．

分析：连接AE，AC，AC交EF于O，由折叠的性质得，AO=CO，EF⊥AC，根据全等三角形的性质得到AF=CE，则即可得解．

三、阶梯训练

A组：基础练习

1．如图，将平行四边形ABCD沿对角线BD折叠，使点A落在点A'处．若∠1=∠2=50°，则∠A'为_________．

2．把矩形ABCD按如图方式折叠，使顶点B和点D重合，折痕为EF．若AB=4cm，BC=8cm，则DF的长度是________cm．

3．如图，▱ABCD中，点E在边AD上，以BE为折痕，将△ABE向上翻折，点A正好落在CD上的点F，若△FDE的周长为8，△FCB的周长为22，则FC的长为_________．

4．如图，将菱形纸片ABCD折叠，使点B落在AD边的点F处，折痕为CE，若∠D=80°，则∠ECF的度数是__________．

5．在▱ABCD中，点E为AB边的中点，连接CE，将△BCE沿着CE翻折，点B落在点G 处，连接AG并延长，交CD于F．求证：四边形AECF是平行四边形．

6．准备一张矩形纸片，按如图操作：将△ABE沿BE翻折，使点A落在对角线BD上的M 点，将△CDF沿DF翻折，使点C落在对角线BD上的N点．

（1）求证：四边形BFDE是平行四边形；

（2）若四边形BFDE是菱形，BE=2，求菱形BFDE的面积．

B组：拓展练习

7．如图，已知正方形纸片ABCD，M，N分别是AD，BC的中点，把BC边向上翻折，使点C恰好落在MN上的P点处，BQ为折痕，则∠PBQ的度数为_________．

8．如图，菱形纸片ABCD中，∠A=60°，点P是AB边的中点，折叠纸片，使点C落在直线DP上的C处，折痕为经过点D的线段DE．则∠DEC的度数为_________．

9．如图，正方形ABCD的边长AB=12，翻折AD到GN分别交CD于点M，交BC于点N，BN=5，连接AN．

（1）求△AEN的面积；

（2）试判断EF与AN的关系，并说明理由．

平行四边形中的折叠问题答案

预习导入

1．B．2．6．

例130°，3．

例2连接AE，AC交EF于O．

由折叠的性质得，AO=CO，EF⊥AC，∴AE=CE，AF=CF．

∵AB∥CD，

∴∠ECO=∠OAF．

在△AOF与△COE中，∠ 쫠⩊＝∠ ，쫠 ＝ ，∠쫠 ⩊＝∠ ，

∴△AOF≌△COE．

∴AF=CE．

∴AE=AF=CE=CF．

∴E，A，F，C四点构成的四边形为菱形．1．105°．

2．5．

3．7．

4．40°．

5．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AE∥FC．

∵点E是AB边的中点，

∴AE=BE．

∵将△BCE沿着CE翻折，点B落在点G处，

∴BE=GE，∠CEB=∠CEG．

∴AE=GE．∴∠FAE=∠AGE．

∵∠BEG=∠FAE+∠AGE，

∴∠FAE=12∠BEG．

又∵∠CEB=∠CEG=12∠BEG，∴∠FAE=∠CEB．∴AF∥EC．

∴四边形AECF是平行四边形．

6．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，

∴∠A=∠C=90°，AB=CD，AB∥CD．

∴∠ABD=∠CDB．

由翻折变换的性质可知，∠ABE=∠EBD，∠CDF=∠FDB，∴∠EBD=∠FDB．

∴EB∥DF．

∵ED∥BF，

∴四边形BFDE为平行四边形．

（2）∵四边形BFDE为菱形，

∴∠EBD=∠FBD．

∵∠EBD=∠ABE，

∴∠EBD=∠FBD=∠ABE．

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠ABC=90°．

∴∠EBD=∠FBD=∠ABE=30°．

∴AB=3．

∴菱形BFDE的面积S=DE×AB=23．

7．30°．

8．75°．

9．（1）∵四边形ABCD是正方形，

∴∠B=90°．

由折叠的性质，得NE=AE．

设NE=AE=x，则BE=AB-AE=12-x．

在Rt△ABN中，由勾股定理，得52+（12-x）2=x2，

解得x=16924．∴AE=16924．

∴△AEN的面积=12AE×BN=84548．

（2）EF⊥AN，EF=AN，理由如下：

作FH⊥AB于H，如图所示．

则FH=AD=AB，∠EFH+∠FEH=90°．

由折叠的性质，得EF⊥AN，

∴∠NAB+∠FEH=90°．

∴∠EFH=∠NAB．

在△EFH和△NAB中，

∠ ⩊h＝∠ 쫠 ，⩊h＝쫠 ，∠⩊h ＝∠ ＝90°，