第6章 混沌与分岔ppt课件

BIT
PEMC
混沌与分岔的起源与发展
混沌现象发现以后，关于分岔与混沌之间联系的 研究得到迅速发展，如
Rulle和Takens发现环面分岔通向混沌；
Feigenbaum发现倍周期分岔通向混沌； Pomeou等发现伴随鞍结分岔的阵发性通向混沌。
BIT
PEMC
混沌的概念
混沌，英文为 chaos ，意思是混乱，紊乱。混沌是指发生 在确定系统中貌似随机的无规则或不规则运动。然而混沌 作为一门科学发展至今，仍没有一个准确、完整、科学的 定义，不同领域的科学家往往对其有不同的理解。混沌一 词由李天岩（Tian-yan Li）和约克（Yorke）于1975年首先 提出。 混沌的定性描述，“混沌是确定性非线性系统的有界的敏 感初始条件的非周期行为”。
BIT
PEMC
混沌的特点
3. 长期不可预测性
由于初始条件仅限于某个有限精度，而初始条件的 微小差异可能对以后的时间演化产生巨大的影响， 因此不可能长期预测将来某一时刻之外的动力学特 性，即混沌系统的长期演化行为是不可预测的。
BIT
PEMC
4. 分形性


混沌的特点
分形 (Fractal) 这个词是由曼德布罗特 (B.B.Mandelbrot) 在70年代创立分形几何学时所使用的一个新词。
BIT
PEMC
1. 对初值的敏感性
混沌的特点
混沌对初值具有敏感依赖性，初值的微小差别会导致未 来的混沌轨道的巨大差别,正是所谓“失之毫厘，谬以千 里”。 1963年，荷兰科学家洛伦兹(Hendrik Antoon Lorenz)在 《大气科学》杂志上发表了“决定性的非周期流”的著 名论文。该论文以一个底部加热、顶部冷却的两维运动 流体块中的对流为模型，提出了著名的 Lorenz 方程。 Lorenz 用数值方法揭示了该模型中存在混沌运动，并发 现系统初值的微小变化会导致轨道在长时间以后完全不 同，即解对初值的极端敏感性，就是著名的蝴蝶效应。
则称 f 在S上是混沌的。
BIT
PEMC
混沌的概念
1. 2. 3. Li-Yorke 定理给出了混沌数学上的定义，它说明混沌系 统应该具有三种性质： 存在所有周期的周期轨道； 存在一个不可数集，此集只含有混沌轨道，任意两个轨 道既不趋向远离也不趋向接近，两种状态交替出现； 任一混沌轨道不趋于任一周期轨道。
所谓分形是指 n维空间一个点集的一种几何性质，它们具 有无限精细的结构，在任何尺度下都有自相似部分和整体 相似性质，具有小于所在空间维数的非整数维数，这种点 集叫分形体。

分维就是用非整数维 -分数维来定量地描述分形的基本特 性。
BIT
PEMC
混沌的特点
5. 普适性
普适性包括两种，即结构的普适性和测度的普适性。 当系统趋于混沌时，所表现出的特征具有普适意义，其
BIT
PEMC
2. 内在随机性
混沌的特点
Βιβλιοθήκη Baidu
确定性行为一定产生于确定性方程，而随机行为却产生 于两类方程：一类是随机微分方程，一类是确定性方程。 随机微分方程表现出来的随机性是由随机参数、随机初 始条件或随机外界强迫所产生，常称为外在随机性。确 定性方程本身不包含任何随机因素，但在一定的参数范 围却能产生出看起来很混乱的结果，把这种由确定性方 程产生的随机性称之为内在随机性。 混沌是确定性非线性系统的内在随机性，这是混沌的重 要特征之一。
特征不因具体系统的不同和系统运动方程的差异而变化。
BIT
PEMC
混沌的特点
6. 遍历性
遍历性也称为混杂性，混沌运动在有限时间内能够
BIT
PEMC
混沌与分岔的起源与发展
分岔现象最早来源于 1729 年 Musschenbrock 对压杆失稳实 验的观察，这种分岔现象在固体力学中称屈曲。 1834年雅可比首次提出分岔这个术语。 1885年，庞卡莱提出旋转液体星平衡图形的演化过程的分 岔理论。固体力学的屈曲和流体力学的转捩一直是分岔研 究的重要动力。 20世纪30年代，范德波、安德罗诺夫等在非线性振动研究 中发现大量的分岔现象。 以后在很长时间内，分岔的研究主要集中在应用领域，直 到20世纪60年代，微分动力系统、突变、奇异性、非线性 分析等方面逐渐形成了现代数学理论。
( n ) ( n ) lim sup f ( x ) f ( y ) 0 , x , y S , x y n
( n ) ( n ) lim inf f ( x ) f ( y ) 0 , x , y S , x y n
n ) n ) lim sup f( ( x ) f( ( p ) 0 , x S ,p 为周期点 n
BIT
PEMC
混沌的概念
n周期点的定义：如果对于某x0 ，有f (n)(x0)=x0，但对于小于n的自然数 k，有f (k)(x0)≠ x0 ，则称x0为f 的一个n周期点。 n周期轨道的定义：当x0为f 的一个n周期点时，称{x0, f (1)(x0), f (2)(x0),…, f (n-1)(x0)}为f 的n周期轨道。 Li-Yorke定理： 设连续自映射 f :I ，I 是 R 的一个闭区间，如果： I R ① 存在一切周期的周期点； ②存在不可数子集S，S不含周期点，使得
第6章 混沌与分 岔
BIT
PEMC
Content
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 混沌与分岔的起源与发展 混沌的概念 混沌的特点 混沌现象举例 分岔的概念 分岔现象举例 混沌的研究方法 分岔的研究方法 混沌在现代科技领域的应用
BIT
PEMC
混沌与分岔的起源与发展
公认的最早发现混沌的是伟大的法国数学家，物理学 家—庞加莱，他是在研究天体力学，特别是在研究三体 问题时发现混沌的。他发现三体引力相互作用能产生惊 人的复杂行为，确定性动力学方程的某些解有不可预见 性。 直到20世纪六十年代后，混沌现象才引起学术界的广泛 注意，到七十年代才诞生了还不大成熟的“混沌学”。 其后，“混沌学”得到了迅速发展，到了八十年代，更 在世界上掀起了混沌现象研究的热潮。