第二章线性规划与单纯形法

z* 3
基 1
2
2 0
1
X1
1 ，11，0，0 33
1 2
3 0
1
X2
2 ，0，11，0 5 5
z 43 5
1 2
4 0
2
X3
1 ，0，0，11 3 6
1.4 线性规化问题的基可行解
基：设A是约束方程组的m×n阶系数矩阵，其秩为 m，B是矩阵A中m×m阶非奇异子矩阵（|B|≠0），则称 B是线性规划问题的一个基。
当j
m时，有x j
x(1) j
x(2) j
0
X (1)，X (2)是可行域中的两点
m
m
Pj
x
(1) j
b，
Pj
x(2) j
b
j
j
m
Pj
(
x
(1) j
x(2) j
)
0
j
X1 X2
(
x(1) j
x(2) j
)不全为0
P1，P1，，Pm线性相关。
由引例1知X不是基可行解。这和假设相矛盾。
x3 3
2x2 4x4 7
x2 2x4 3
3xx33
4 x4 2 x4
7 3
x1 2x2 7 2x1 x2 3
2
x1 x1
3x3 x3
7 3
2
x1 x1
4 x4 2 x4
7 3
2 1
3 0
1
X4 (0，2，1，0)
z 1
2
4 0
无穷多解
12
3 1
4 0
2
XHale Waihona Puke Baidu5 0，0，1，1
非可行解
基
本
可行解
可 行
解
基本解
基解也不一定是最优解。
问题：最优解与基本可行解？
§2 线性规化问题的几何意义
2.1 基本概念
1.凸集： 2. 凸组合： 3. 顶点：
凸组合：设X(1) ，X(2) X …… (k) X两（则是μ0使X则的XXα1≤∈=(=≤，点0X2n称一1)μα<∈μ维）K称1XμX凸Xα个i顶XX≤2，K欧(<，(为为11=…1集点)1()的+1…α点，若氏，则）K)X(：集Xμ+1连的(空X称k1-(：Xμ1i)设，，α=线)不，2顶(+间K)21XXK若)设(且的上，为1能点X的((是22-任))α(凸的2K凸或表2+k∈n))意…个X，组一维…集是极示…K…(两2点…合切k欧。)点， +成一，点，μ，点氏。（Kk∑凸X若X空X中0(μ1(≤存(k集)间ik，不)=)的在1， 同， 凸组合。
x2 1.4
x1，x2 0
max z 2 x1 3 x2 minz 1000x1 800x2
x1 2x2 8
4 x1
16
4x2 12
x1，x2 0
特征：
x1
1
0.8x1 x2 1.6
x1
2
x2 1.4
x1，x2 0
1. 每一个问题都用一组决策变量（ x1， x2， …，xn ）表 示某一个方案；
X1
X2
X1
X1
X2
X2
2.2 基本定理
定理1：若线性规划问题存在可行域，则可行域一 定是凸集。
证 ：若线性规划问题存在可行域，则其可行域为
D { X | AX b，X 0}
设 X (1)，X (2)是D内的任意两点，X (1) X (2) ,则有 AX (1) b, X (1) 0
AX (2) b, X (2) 0
a11 x1 a12 x2 a1n xn ( ，)b1 a21 x1 a22 x2 a2n xn ( ，)b2 约束条件 am 1 x1 a m2 x 2 am n xn ( ， )bm x1，x2，，xn 0
线性规划问题解的概念
可行解： 若（x1，x2，……，xn）满足上述约束条件， 则称（x1，x2，……，xn）为线性规划问题的可行解。
x1 3 x1
x2 x2
( x3 2( x3
x3) x3)
x5 2 5
x1，x2，x3，x3，x4，x5 0
1.4 线性规化问题的基可行解
例：
max z 5x1 2x2 3x3 6x4
x1 2x2 3x3 4x4 7
2x1 x2 x3 2x4 3
x1，x2，x3，x4
3. 变量 xk 无约束。可令 xk = xk’ -xk’’
例：min z x1 2x2 3x3
x1 x2 x3 7
x1 x2 x3 2
3 x1 x2 2 x3 5
x1，x2
0，x
无
3
约
束
max（ z) x1 2x2 3( x3 x3)
x1 x2 ( x3 x3) x4 7
0
x1 2x2 7 2x1 x2 3
2
x1 x1
3x3 x3
7 3
2
x1 x1
4 x4 2 x4
7 3
1 2
2 0
1
X1
1 ，11，0，0 33
1 2
3 0
1
X2
2 ，0，11，0 5 5
1 2
4 0
2
X3
1 ，0，0，11 3 6
2x2 3x3 7
x2
数列向量线性相关。即存在一组不全为0的数 1，2，m
使得
1P1 2 P2 m Pm 0
设 0，由（1），（2）两式的 ( x1 1 )P1 ( x2 2 )P2 ( xm m )Pm b ( x1 1 )P1 ( x2 2 )P2 ( xm m )Pm b
X (1) [( x1 1 )，( x2 2 )，，( xm m )，0，，0] X (2) [( x1 1 )，( x2 2 )，，( xm m )，0，，0]
当充分小时，可保证X (1)，X (2) 0
即 X (1)，X (2)是可行解。
又 知 X 1 X (1) 1 X (2)， 即X是X(1), X (2)连线的中点。
2
2
X一定不是可行域的顶点。
( x1 1 )P1 ( x2 2 )P2 ( xm m )Pm b ( x1 1 )P1 ( x2 2 )P2 ( xm m )Pm b
可行域：所有可行解组成的集合称为可行域。
最优解：使目标函数达到最大或最小的可行解称为 最优解。
1.2 图解法
x2
4 3 2
Q(4, 2)
max z 2x1 3x2
x1 2x2 8
4 x1
16
4x2 12
x1，x2 0
1
Z=14
0
1
2
3
4
5
Z=10
x1
Z= 6
Z= 2
X*= (4，2)
i 1，2，，m j 1，2，，n
max CX
n
Pj x j b j
xj
0
j 1，2，，n
max CX AX b
X 0
如何化标准型
1. 目 标 函 数 求 最 小 minz = CX 。 可 化 为 ： max (-z) = -CX。
2. 约束条件为不等式。对于“≤”不等式，在不等 式的左边加上非负松驰变量后变为等式；对于 “≥”不等式，在不等式的左边减去非负剩余变 量后变为等式。
Z*=14
线性规划图解法解题步骤
1 在直角平面坐标系中画出所有的约束等式，并 找出所有约束条件的公共部分，即可行域，可行域中 的点即为可行解。
2 标出目标函数值增加的方向。 3 若求最大（小）值，则令目标函数等值线沿 （逆）目标函数值增加的方向平行移动，找与可行域 最后相交的点，该点就是最优解。
4 将最优解代入目标函数，求出最优目标函数值。
z 利润
Ⅰ x1
1 4 0 2
Ⅱ x2
2 0 4 3
8 台时 16 kg 12 kg
例2：靠近某河流有两个化工厂，流经第一化工 厂的河流流量为每天500万m3,在两个化工之间有一条 河流量为每天200万m3的支流,第一化工厂每天排放含 某种有害物质的工业污水2万m3,第二化工厂排放这种 工业污水1.4万m3,从第一化工厂排出的工业污水流到 第二化工厂之前，有20%可以自然净化。根据环保要 求河流中工业污水的含量应不大于0.2%。这两个化工 厂都需处理一部分工业污水。第一化工厂处理工业污 水的成本为1000元/万m3,第二化工厂处理工业污水的 成本为800元/万m3。问在满足环保要求的条件下，每 厂各应处理多少工业污水，使两个化工厂处理工业污 水的总成本最小。
1 可行解与最优解： 最优解一定是可行解，但可行解不一定是最优解。
2 可行解与基解： 基解不一定是可行解，可行解也不一定是基解。
3 可行解与基可行解：
基可行解一定是可行解，但可行解不一定是基解。
4 基解与基可行解： 基可行解一定是基解，
但基解不一定是基可行解。 5 最优解与基解： 最优解不一定是基解，
基B的列Pj称为基向量，与基向量对应的变量xj称 为基变量，否则称为非基变量。
基解：令非基变量为零，由约束方程AX=b求得的 解称为基解。
基可行解：满足非负条件的基解称为基可行解。
可行基: 对应于基可行解的基称为可行基。 注：基解的个数最多是Cnm个，基可行解的个数一 般要小于基解的个数。
线性规划解之间的关系
第二章 线性规划与单纯形法
（Linear Programming，简称LP）
§1 线性规化问题及其数学模型 §2 线性规化问题的几何意义 §3 单纯形法 §4 单纯形法的计算步骤 §5 单纯形法的进一步讨论 §6 应用案例
§1线性规化问题及其数学模型
1.1 问题的提出
例1：某工厂在计划期内要安排生产Ⅰ、Ⅱ两种 产品，已知生产单位产品所需的设备台时及A、B两种 原材料的消耗如下表，该工厂每生产一件产品Ⅰ可获 利2元，每生产一件产品Ⅱ可获利3元，问应如何安排 生产计划使该工厂获利最多？
2. 存在一定的约束条件，这些约束条件可以用一组线 性等式或线性不等式来表示；
3. 都有一个要求达到的目标，它可以用决策变量的线 性函数来表示，按问题的不同，要求目标函数实现 最大化或最小化。
线性规划问题的数学模型的一般形式为：
目标函数 max(min) z c1 x1 c2 x2 cn xn
2万m3
x1 工厂1
1000元/万m3
自然净化20%
500万m3
200万m3
小于0.2%
工厂2
x 1.4万m3 2
800元/万m3
目标函数 minz 1000x1 800x2
0.8(2
x12) (x11.4 500502000
0x2.)2% 0.2%
约束条件
0.8
x1 x1 x1
x2
1 1.6 2
X2
4
A
3
2
B
1
无穷多最优解
0
1
2
3
4
X2
唯一最优解
4
无3穷多最优解
无2界解
1
无可行解
0
1
2
3
4
5
X1
有最优解无界解
无最优解
5
X1
1.3 线性规化问题的标准型式
目标函数
max z c1 x1 c2 x2 cn xn
约束条件
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a21 x1 a 22 x 2 a2n xn b2 am1 x1 am2 x2 amn xn bm x1，x2，，xn 0
a11
A
a21
am1
a12 a22
a1n a2n
am2 amn
x1
X
x2
xn
a1 j
Pj
a2 j
amj
b1
b
b2
bm
C c1 c2 cn
标准型的其它表示形式
n
max c j x j
j
n
aij x j bi j
xj
0
引理2 若K是有界凸集，则任何一点X ∈K可表示为 K的顶点的凸组合。
定理2 线性规化问题的基可行解对应于可行域的顶
点。
证 ：不失一般性，假设基可行解X的前m个分量为正。
m
则有
Pj x j b
j
(1) 若X不是基可行解，则它一定不是可行域的顶点。
若X不 是 基 可 行 解 ， 则 由 引例1知X的 正 分 量 所 对 应 的 系
令X是X (1)，X (2)连线上的任一点，则
X X (1) （1 -）X (2) （0 1）
AX A[X (1) （1 -）X (2) ]
又 X 0
AX (1) （1 -）AX (2) b （1-）b
b
XD D是凸集
引理1 线性规划问题的可行解X为基可 行解的是充要条件是X的正分量所对应的系 数列向量是线性独立的。
（2）若X不是可行域的顶点，则它一定不是基可行解。
若X不是可行域的顶点，则可在可行域中找到不同的
两点
X (1) ( x1(1)，x2(1)，，xn(1)，)
X (2) ( x1(2)，x2(2)，，xn(2)，)
使
X X (1) (1 )X (2) 0 1
假 设X是 基 可 行 解 ，则由引例1知P1，P2，，Pm 线性无关。
设备 原材料A 原材料B
利润
Ⅰ x1
1 4 0 2
Ⅱ x2
2 0 4 3
资源 8 台时 16 kg 12 kg
§1线性规化问题及其数学模型
1.1 问题的提出
目标函数 约束条件
max z 2 x1 3 x2
x1 2x2 8
4x1 16
4x2 12
x1，x2 0
设备 原材料A 原材料B