1.4.1曲边梯形面积与定积分

ba 小矩形面积和Sn f ( xi )x f ( xi ) n i 1 i 1
n n
如果当n+∞时，Sn 就无限接近于某个常数，
这个常数为函数f(x)在区间[a, b]上的定积分，
记作
a f (x)dx，即a
b
b
lim f (x i)xi。 f (x)dx
这个常数叫做函数f ( x)在区间[a, b]上的定积分， 记作 f ( x)dx,即
a b
积分上限
f (x i )x i a f ( x )dx I lim 0 i 1
积分下限
b
n
被 积 函 数
被 积 表 达 式
积 分 变 量
S f ( x)dx
a
b
积分上限
定积分的几何意义：
在区间[a,b]上曲线与x轴所围成图形面积的代数 和(x轴上方的面积为正，x轴下方的面积为负).
计算定积分 (2 x 4)dx
0
5

5
0
(2 x 4)dx
y 6
94 5
O -4 B
A x 5
例1：计算下列定积分.
(1) ( x 1)dx;
1
2
1 (2) ( x 1)dx; 2 2
a
b
性质2.

b
a
[ f ( x ) g( x )]dx f ( x )dx g( x )dx
a a
b
b
四.
定积分的基本性质 定积分关于积分区间具有可加性
b
性质3.

a
f ( x )dx f ( x )dx f ( x )dx
a c
c
b
y
y f ( x)
O
a
c1 c2 a c1
Ｃ
b x
b c2

b
a
f ( x )dx f ( x )dx f ( x )dx f ( x )dx
探究:
根据定积分的几何意义,如何用定积分表示图中阴影部分 yf ( x) 的面积? y
S1 y )dx fg ( x)
b
S2 g ( x)dx
a
a
b
O
a a
S [ f ( x)]dx
a b
S [ f ( x)]dx
a

b
a
b
f ( x)dx ． ，
c b
O a
b c
b x
S f (x)dx a f (x)dx a c
b
f (x
S f (x)dx a f (x)dx a c
f (x)dx。
yf ( x)
按定积分的定义，有 由连续曲线yf(x) (f(x)0) ，直线xa、xb及x轴所 围成的曲边梯形的面积为
S f (x)dx；
a
b
根据定积分的定义右边图形的面积为 1 1 1 2 S f ( x)dx x dx y 0 0 3
f(x)=x2
1
S
1 3
O
x
说明：
②定积分的相关名称： ———叫做积分号， f(x)dx —叫做被积表达式， b f(x) ——叫做被积函数, S a x ———叫做积分变量， a ———叫做积分下限， b ———叫做积分上限， 积分下限 [a, b] —叫做积分区间。

f ( x)dx
被 积 函 数
被 积 表 达 式
积 分 变 量
2
(2) 6 x dx
2 1
4
(3) (3 x 2 x )dx
2 3 1
2
练习：已知 dx 3,
0
3
3
0
9 xdx , 2

3
0
81 x dx 9, x dx , 0 4
2 3 3
求 (1) (4 x 3x 6 x 8)dx
3 2 0 3
(2) (8 x 21x 12 x 15)dx
3 3 0
3
n个小区间: a, x1 , x1, x2 , xi1, xi ,, xn1, b, 每个小区间宽度⊿x
ba n
(1)分割:在区间[a,b]上等间隔地插入n-1个点,将它等分成
(2)以直代曲:任取xi[xi1, xi]，第i个小曲边梯形的面积用高 为f(xi), 宽为x的小矩形面积f(xi)x近似地去代替. y (3) 作和:取n个小矩形面积的和作 为曲边梯形面积S的近似值：
0
i 1
n
二、定积分的定义
如果函数f ( x)在区间[a, b]上连续，用分点 a x0 x1 xi1 xi xn b 将区间[a, b]等分成n个小区间，在每个小区间每个 ba 小区间的长度为 ， [ xi 1 , xi ]上任取一点 n n n ba x i (i 1,2,, n), 作和式 f (x i )x f (x i ) n i 1 i 1 当n 时，上述和式无限接近某个常数，
O
1 2 n n







k n





n n

x
1 1 1 2 1 n 1 1 0 n n n n n n n 1 3 (12 22 (n 1)2 ) n 1 (n 1)n(2n 1) 3 n 6 1 1 1 1 2 . 6 n n
y= f ( x)
S f (xi )x
(4)逼近:所求曲边梯形的面积 S为
i 1
n
x 0, ( n )
f (x )x S
i 1 i
n
O
a
xi-1 xi xi
x
b
x
从求曲边梯形面积S的过程中可以看出,
通过“四个步骤”:分割---以直代曲----求和------逼近.
曲边梯形面积与定积分
高二数学组
一. 求曲边梯形的面积 ① 曲边梯形 ： 在直角坐标系中，由连续曲
线 y=f(x) ， 直线 x=a 、 x=b 及 x 轴所围成的图形 叫做曲边梯形。
y y=f (x)
x=a
O a
x=b
b x
y = f ( x) y
A1 O a b x
用一个矩形的面积A1近似代替曲边梯形的面积A， 得 A A1.
2
2
2
小结:求由连续曲线yf(x)对应的曲边梯形面积的方法
（1）分割 （2）近似代替
(3)求和
（4）取极限
把这些矩形面积相加
作为整个曲边形面积S 的近似值。
y
有理由相信，分 点越来越密时，即分 割越来越细时，矩形 面积和的极限即为曲 边形的面积。
o
x
3.求由连续曲线yf(x)对应的曲边梯形面积的方法
An b x
将曲边梯形分成 n个小曲边梯形，并用小矩形的面 积代替小曲边梯形的面积， 于是曲边梯形的面积A近似 为 A A + A + + A
1 2 n
构造思想：以直代曲,无限逼近
例1.求抛物线y=x2、直线x=1和x轴所围成的曲边梯形 的面积。
解:把底边[0,1]分成n等份,然后在每个分点作底边的垂线, 这样曲边三角形被分成n个窄条, 用矩形来近似代替,然后把 这些小矩形的面积加起来, 得到一个近似值:
b x
S S1 S2 f ( x)dx g ( x)dx
a a
b
b
1 2 3 15 例2 已知 x dx , x dx , 0 4 1 4 2 7 4 2 56 2 x dx , x dx , 1 3 2 3
1 3
求（ 1 ） 3x dx
3 0
(1) 定积分是一个数值, 它只与被积函数及积分区间有关， 而与积分变量的记法无关，即
a f(x)dx a f (t)dt a
b
b
b
f(u)du。
（2）定义中区间的分法和 xi 的取法是任意的.
三.定积分的几何意义：
当 f(x)0 时，积分 f ( x)dx 在几何上表示由 y=f (x)、 a xa、xb与 x轴所围成的曲边梯形的面积。
y = f ( x) y
A1 O a
A2 b x
用两个矩形的面积 近似代替曲边梯形的面积A， 得
A A1+ A2
y = f ( x) y
A1 O a
A2
A3
A4 b x
用四个矩形的面积 近似代替曲边梯形的面积A， 得
A A1+ A2+ A3+ A4
y = f ( x) y
A1 O a
Ai
y y f ( x)
b
a f (x)dx a f (x)dx c
O a b x
b
ห้องสมุดไป่ตู้
c
b
f (x)dx。
定积分的几何意义：
当f(x)0时，由yf (x)、xa、xb 与 x 轴所围成的曲 边梯形位于 x 轴的下方，
积分 f (x)dx 在几何上表示
a
b
y
yf (x)
b
上述曲边梯形面积的相反数。
1
(3) xdx;
1
0
(4) (1 x)dx;
0
3
(5)
2
0
sin xdx;
(6) x dx.
3 0
1
第（1）-（5）小题可用定积分的几何意义求解。第（6） 小题现在只能用定积分的定义求，很繁，等下节学了牛 顿-莱布尼兹公式再做。
四.
定积分的基本性质
性质1.

b
a
kf ( x )dx k f ( x )dx
y
因此, 我们有理由相信, 这 个曲边三角形的面积为:
n i 1 i 1 1 Sn S f ( )x ( )2 n n n i 1 i 1 i 1 n ' i n
S lim Sn
n
1 1 1 lim 1 2 n 6 n n 1 . y x2 3