组合数学第一章答案

1.2) (a) 8!5！, (b) 7!*P(8,5) (c), 2P(5,3)*8!

1.3） a) n!P(n+1,m) b) n!(m+1)! c) 2(m+n-1)!

1.4)2P(24,5)*P(20,20)

1.5） 1232

1.6) (n+1)!-1 (参见1.6.1节)

1.7) 数学归纳法

或组合证明：设有2n 个不同球放入n 个相同的盒子里，每盒两个的方案数是整数。

1.8） 1271

1.9）

2,(n pq p n q p q p q =≤≤<设不妨设则，特别的若，则成对，

于是所有因子不是n的因子一定与另一因子可配对，从而有奇数个因子

,)

1.10）参见1.6.1节，利用归纳法

1.11）左边表示从n 个求中取r+1个球，指定一个头的如下选取方案数：先选一元为头，有n 种方式，再在剩下的n-1个元素中选取r 个元素，由乘法原理得左式，右式则是先选取r+1个元素再从选取的元中选取头，两种方案数相等。

1.12）利用11）的结果或者用后面要讲的母函数方法。

1.13）（法1）先将n 个数不妨由小到大排好，再选定为一组中最大者，将这n 个数用一个竖线在k 右边将其隔开成两部分，左、

右边中可任选（k 选定为左边组的最大元），故有 k-1n k 2(21)−−∑n

k=1（法2）或者先选取m 个数，再由小到大排好后用竖线隔开为两

部分故有

n

n1n

m2

n

(m1)n221

m

−

=

⎛⎞

−=−+

⎜⎟

⎝⎠

∑i种

1.14）第1步从特定引擎对面的3个中取1个

有C(3,1)种取法，第2步从特定引

擎一边的2个中取1个有C(2,1)种取法，

第3步从特定引擎对面的2个中取1个有C(2,1)中取法，

剩下的每边1个取法固定。

所以共有C(3,1)·C(2,1)·C(2,1)=12种方案。

1.15）首先所有数都用6位表示，从000000到999999中在每位上0出现了10 次,所以0共出现了6·100000 次,0出现在最前面的次数应该从中去掉，000000到999999中最左1位的0出现了100000次，000000到099999中左数第2位的0出现了10000 次，000000到009999左数第3位的0出现了1000 次, 000000到000999左数第4位的0出现了100次, 000000到000099左数第5位的0出现了10 次, 000000到000009左数第6位的0出现了1 次。另外1000000的6个0应该被加上。所以0共出现了

5

610543210

1010101010106488895

⋅−−−−−−+=

1.18） 5!C(6,3)(盒子相同)

P(8,5)P(6,3) (盒子不同)

1.19）先将n个1排成一行，然后将n-1个0插入这n个1形成的n-1个隙缝之间，剩下的0可任意放，故有：

C(n+(m-n+1)-1, m-n+1)=C(m+1.n)

1.20)根据甲单位男同志数分类

C(10,4)*C(15,1)*C(10,2)+ C(10,3)*C(4,1)*C(15,2)*C(10,1)+ C(10,2)*C(4,2)*C(15,3)

1.21) (5!/(2!*3!))/ (6!/(3!*3!))

1.22) (a)C(5,3)*C(8,5) (b) C(5,3)*C(7,3),

(c) C(5,3)*C(4,1) *C(4,2) (d), C(13,8)- C(5,3)*C(7,3).

1.23) 设z=k,（ k=1,2,..,n+1）则x ，y 可取小于k 的任何数，于是有

(k-1)(k-1)种，故|,另一方面，每一数的组合总是可以将数又小到大排，最大数记为z,于是，对x,y 的值分类： 2

(k-1)k 111||n n

k k T +====∑∑2x ，y 不等，则有C(n+1,3), x=y ，则有2C(n+1,2)

总共有|T|= C(n+1,3)+C(n+1,2)

综上立明。

1.24）略

1.25）(a) C(10,2)+5*10+1

(b) C(10,3)+C(5,2)*10+C(10,2)*C(5,1)

1.26) 20000(a 任取，b 被5整除)

1.27) a) 5!6! b) 6!5! c) 8!P(6,2)

1.28）()(桌子有区别)

!/k kn n 1.30）略

1.31 考虑组合数C(n+r,r)

1.32) （1）假设xy 之间无其他元，有7！

（2）若假设xy 之间有其他元 3*6*7*8*9*10*11

1.33）类1.16

1.34）类1.32

1.35) C(10,4)

1.36) 题有误

1.37）略，

1.38）略

1.39) 组合证明,右边：m 个球,从中取n 个,放入两个盒子,n 个球中每个球都有两种放法,得到可能的方案数。左边：第i 项的意义是一个盒子中放i 个,另一个盒子放n-i 个,所有的方案数相加应该等于右边。

数学证明：利用m n m m l m m l n l l n l l m n −−⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎛⎞==⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟−−⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠

1.40）Q(n,r)

1.41/42)略

1.43) 取C(n,k)和C(n,k-1)进行比较。

C(n,k)/C(n,k-1)=(n-k+1)/k 。

当k>n/2时,(n-k+1)/k<1,即C(n,k)

当k1,即C(n,k)>C(n,k-1)得到

当k 为最接近n/2的数时，C(n,k)取到最大值

1.44.) (a)设有2n 个不同球放入n 个不同的盒子里，每盒两个，这个方案数应该是整数。对2n 个球进行排列得到方案数为(2n)!。而把2个球放入同一个盒子里不计顺序，应该把全排列数除掉这些重复计算的次数，n 个盒子内部的排列共重复计算了2 次。得到n