初中数学-变量与函数

14.1 变量与函数

重要知识点讲解

1、常量与变量

在一个变化过程中，数值发生变化的量叫做________，始终不变的量叫做_________。

2、函数

一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么我们就说__________是自变量，y是x的__________。

3、在一个函数关系式中，如果当x a

=，那么b叫做当自变量的值为a时的

=时，y b

____________。

4、自变量的取值范围

确定自变量的取值范围时，不仅要考虑函数关系式有意义，而且还要注意_______使实际问题有意义。

5、函数的图像

（1）对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的_____与________，在坐标平面内描出相应的点，这些点组成的图形，就是这个函数的_______。

（2）描点法画函数图像的一般步骤是：①___________；②_____________；③__________；

（3）当函数图像从左向右上升时，函数值随自变量的变大而_________；当图像从左向右下降时，函数值随自变量的变大而_________。

（4）函数的表示方法：共有_______种，分别是______法、______法、和______法。

答案：1、变量，常量；2、唯一，x，函数；3、函数值；4、自变量的取值；5、（1）横坐标，纵坐标，图像；（2）列表，描点，连线；（3）变大，变小；（4）3，图像，列表，解析式。

重要知识点讲解

知识点一：变量和常量

在某一变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量，数值保持不变的量叫做常量。

详解：如在行程问题中，当速度v保持不变时，行走的路程s的长短随时间t的变化而变化，那么在这一过程中，v是常量，而s和t是变量。当路程s是个定值时，行走的时间t随速度v的变化而变化，那么在这一过程中，s是常量，而v和t是变量。

注意：（1）变量和常量往往是相对的，对于不同的研究过程而言，其中的变量和常量是不

、、三者之间；

相同的，变量和常量的身份是可以相互转换的，如：s v t

（2）区分常量与变量，就是看某个变化过程中，该量的值是否可以改变（即是否会取不同的数值）；

（3）在讨论常量和变量的关系时要考虑变量的实际意义，如：长度，天数，身高不能为负数，人数必须是非负整数等。

例1 写出下列各问题中所满足的关系式，并支出各关系式中，哪些是常量，哪些是变量。（1）购买单价是0.4元的铅笔，总金额y（元）与购买的铅笔n之间的关系；

（2）运动员在400m一周的跑道上训练，他跑一圈所用的时间()

v m s的关

t s与跑步速度(/)

系。

答案：（1）y与n之间的关系为：0.4

=，其中，常量为0.4，变量为y和n。

y n

（2）t 与v 之间的关系式为400t v

=，其中，常量为400，变量为t 与v 。 知识点二：函数的概念

一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x 与y ，并且对于x 的每一个确定的值，y 都有唯一的值与其对应，那么就说x 为自变量，y 是x 的函数。

详解：例如，一列货车以80/km h 的速度匀速行驶，如果行驶了th ，那么路程80s t =（km ）。

这时的速度80/km h 是不变的量，而t 和s 是变化着的量，

t 可以在非负实数范围内取任意值，对于t 的每一个确定的值，必可以求出唯一的一个确定的路程s 与之相对应，因此路程s 是时间t 的函数。

注意：对函数概念的理解，主要应该抓住以下五点：

（1）在某一个变化过程中必须有两个变量x 与y 。如3,5,4,x y x y xy +=-==225y x x =-+等。

（2）对于自变量x 的取值，必须使代数式有意义。如：21y x =+中的自变量x 可以在实数

范围内取值；如y =210x -≥。另外，在实际问题中，自变量x 的取值必须使实际问题有意义。如多边形的内角和y 是变数n 的函数，即0(2)180y n =-⨯，如果只是从代数式有意义的角度来考虑，n 是可以取任意实数的，但我们知道多边形的边数n 必须是大于2的正整数。

（3）函数的实质揭示了两个变量之间的对应关系：x 每取一个值，y 都有唯一的值与之相对应，否则y 就不是x 的函数。

（4）判断两个函数是不是同一个函数，应该从自变量的取值范围，函数y 的取值范围、函

数解析式是否一致来判断。如：①y x =和②2

x y x

=，其中①中的x 可以取任意实数，②中的x 取不等于0的实数，所以y x =和2

x y x

=不是同一个函数。 （5）含有一个变量的代数式可以看作是这两个变量的函数。如35x +，我们可以将x 和x 看作两个变量，35x +随x 的变化而变化，x 在实数范围内每取一个值，35x +就有唯一的值与之对应，所以35x +是x 的函数。

例2 判断下面变量之间的关系是不是函数关系：

（1）已知圆的半径2r cm =，则圆的面积2S r π=；

（2）长方形的宽一定时，其长与周长；

（3）王明的年龄和他的身高。

答案：（1）和（3）不是函数关系，（2）是函数关系。

知识点三：自变量的取值范围

函数关系式中自变量的取值范围必须使函数解析式有意义。

（1）当函数解析式是整式时，自变量的取值范围可取全体实数；

（2）当函数解析式是分式（分母中含有字母）时，自变量的取值范围要使分母不等于零。

（3）当解析式是偶次根式时，自变量必须使被开方数是非负数；

（4）对于实际问题中的函数，除使解析式有意义外，还要使实际问题有意义；