两条直线平行的充要条件

课题两条直线平行的充要条件

教学目标：

1.知识教学点：掌握两条直线平行的条件，会运用条件判断两直线是否平行，能运用条件确定两平行直线的方程系数．

2.能力训练点：通过研究两直线平行的条件的讨论，培养学生运用已有知识解决新问题的能力以及学生的数形结合能力．

3.学科渗透点：通过对两直线平行的位置关系的研究，培养学生的成功意识，激发学生学习的兴趣．

重点：两条直线平行的条件是重点，要求学生能熟练掌握，并灵活运用．

难点：启发学生, 把研究两条直线的平行问题, 转化为研究两条直线的斜率的关系问题．

教学过程

一、引入新课：

我们已经学习了直线的倾斜角和斜率的概念, 而且知道,可以用倾斜角和斜率来表示直线相对于x轴的倾斜程度, 并推导出了斜率的坐标计算公式. 现在, 我们来研究能否通过两条直线的斜率来判断两条直线的平行．

二、讲授新课

1.讨论: 两条直线中有一条直线没有斜率, (1)当另一条直线的斜率也不存在时，两直线的倾斜角都为90°，它们互相平行.

2.两条直线的斜率都存在时, 两直线的平行条件

设直线 l1和l2的斜率分别为k1和k2. 我们知道, 两条直线的平行是由两条直线的方向决定的, 而两条直线的方向又是由直线的倾斜角或斜率决定的. 所以我们下面要研究的问题是: 两条互相平行的直线, 它们的斜率有什么关系?

首先研究两条直线互相平行(不重合)的情形．如果L1∥L2，那么它们的倾斜角相等：

α1=α2．∴tgα1=tgα2．

即 k1=k2．

反过来，如果两条直线的斜率相等: 即k1=k2，那么tgα1=tgα2．

由于0°≤α1＜180°， 0°≤α＜180°，

∴α1=α2．

又∵两条直线不重合，

∴L1∥L2．

结论: 两条直线都有斜率而且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，那么它们平行，即

．

注意: 上面的等价是在两条直线不重合且斜率存在的前提下才成立的，缺少这个前提，结论并不成立．即如果k 1=k 2, 那么一定有L 1∥L 2; 反之则不一定.

充要条件：l 1：y ＝k 1x ＋b 1，l 2：y ＝k 2x ＋b 2时，直线l 1∥l 2的充要条件是k 1＝k 2且b 1≠b 2

接下来引导学生推到方程一般形式的充要条件：两条直线的方程分别为A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0、A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0）在直线都有斜率的条件下，平行的充要条件是

212121C C B B A A ≠=．

例1 已知直线0

586:0

743:=+-=+-y x PQ y x AB ,求证：AB ∥PQ. 解: 直线BA 的斜率k 1=

43, 直线PQ 的斜率k 2=43

,

因为 k1=k2,b1≠b2

所以 直线BA ∥PQ.

例2 求过点A （-2，4）且与直线2x+3y-4=0平行的直线方程。

分析：让学生自主分析所求直线与已知直线的斜率关系，代入点斜式即可。由学生板书完成。 例3.已知四边形ABCD 的四个顶点分别为A(-3，-1), B(0，-4), C(4，0), D(-1，1), 试判断四边形ABCD 的形状,并给出证明.

解: 直线AB 的斜率k1= -1

直线BC 的斜率k2= 1

直线CD 的斜率k3= -51

, 直线AD 的斜率k4= 1,

直线在y 轴上的截距分别为-4，2

因为 k2=k4 = 1 ,且在y 轴上截距不等

k1≠k3 即BC ∥AD,AB 不平行CD ，所以ABCD 是梯形.

例4 求证三点A(a,b+c), B(b,a+c), C(c,a+b)共线, 其中abc 两两不相等。

方法一 解: 直线AB 的斜率k1= -1

直线BC 的斜率k2=- 1

K1=k2，又都过B 点。所以AB,BC 重合，即三点A(a,b+c), B(b,a+c), C(c,a+b)共线 方法二：提示学生用线段的定比分点有关知识完成。

三、课堂练习

P51 练习 1（2）、 4、 5

四、小结

(1)两条直线平行等价条件；(2)应用条件, 判定两条直线平行 (3) 应用直线平行的条件, 判定三点共线.

五、布置作业

P51 练习1（1.3）、 2、3

六、板书设计（略）