第七章 函数矩阵与矩阵微分方程

x x0
lim A ( x ) A
其中
a11 a 21 A a m1
a12 a 22 am2

a1n a2n a mn
如果 A ( x ) 的各元素 a ij ( x ) 在 x x 0 处连续， 即
x x0
函数矩阵对纯量的导数和积分
定义：如果 的所有各元 ( a ij ( x )) m n 素 在 A ( x ) 处有极限，即 x x0 a ij ( x )
x x0
lim a ij ( x ) a ij
( i 1, , m ; j 1, , n )
其中 a ij 为固定常数。则称 A ( x ) 在 x x 0 处 有极限，且记为
d
2 2
dx
0 A( x ) 0
x 0
d
3 3
dx
0 A( x ) 0
0 0
由于 A ( x ) x 3 ，所以
d dx
1
A( x ) 3 x
2
下面求 A ( x ) 。由伴随矩阵公式可得
A (x)
1
1 A( x )
A (x) 0 2 x 1 1 x2 1 x 1 3 x
*
其中 A ( x ) 为矩阵 A ( x ) 的伴随矩阵。 定义：区间 [ a , b ] 上的 m n 型矩阵函数不 A( 恒等于零的子式的最高阶数称为 x ) 的秩。
特别地，设 A ( x ) 为区间 [ a , b ]上的 n 阶矩阵 函数，如果 A ( x ) 的秩为 n ，则称 A ( x ) 一个 满秩矩阵。 注意：对于阶矩阵函数而言，满秩与可逆不 是等价的。即：可逆的一定是满秩的，但是 满秩的却不一定是可逆的。 例 ：已知
称为函数矩阵，其中所有的元素
a ij ( x ) , i 1, 2 , , m ; j 1, 2 , , n
都是定义在闭区间 [ a , b ] 上的实函数。
函数矩阵与数字矩阵一样也有加法，数乘， 乘法，转置等几种运算，并且运算法则完 全相同。 例：已知
1 x A x e
因为矩阵没有交换律，所以
d dx d dx A (x) 3A (x)
3 2
A ( x ) 2 A( x )
2
dA( x ) dx dA( x ) dx
(5) 如果 A ( x ) 与 A ( x ) 均可导，则
dA ( x ) dx
1
1
A
1
(x)
dA( x ) dx
A
1
(x)
x 1 A (x) 0 x e 1 x e
x
函数矩阵可逆的充分必要条件
定理 : 阶矩阵 A ( x ) 在区间 [ a , b ] 上可逆的 充分必要条件是 A ( x ) 在 [ a , b ] 上处处不为 零，并且
A
*
1
(x)
1 A( x )
A (x)
a ( x )d x a 11 b a a 2 1 ( x )d x A ( x )d x b a a m 1 ( x )d x
b

b a b a
a 1 2 ( x )d x a 2 2 ( x )d x


b a
b a
a m 2 ( x )d x
A ( x 0 )
dA( x ) dx
x x0
lim
A( x0 x ) A( x0 ) x a 1n ( x 0 ) a 2n ( x0 ) amn ( x0 )
x 0
a 11 ( x 0 ) a 21 ( x 0 ) a m1 ( x0 )
同样可以求得
(
x 0
2
s in x A( x )dx ) 2 x 2 cos x
2 '
cos x 2 s in x
2
例4 ：已知函数矩阵
e x A( x ) e 3x
2x
xe 2e 0
x x
x 0 0
2
3
试计算 A ( x ) d x ,
A( x )dx )
'
证明：

x 0
sin x d x 0 A( x )dx x 0 c o s x d x
x
cos xdx 0 x 0 sin x d x
x
1 c o s x sin x
sin x 1 cos x
第七章
函数矩阵与矩阵微分方程
函数矩阵
定义： 以实变量 x 的函数为元素的矩阵
a11 ( x ) a 21 ( x ) A( x ) a m1 ( x ) a12 ( x ) a 22 ( x ) am2 ( x) a1n ( x ) a2n ( x ) a mn ( x )
均可导，则
d dx [ A ( x ) B ( x )] dA( x ) dx dB ( x) dx
(3)设 k ( x ) 是 x 的纯量函数，A ( x ) 是函数矩 阵，k ( x ) 与 A ( x ) 均可导，则
d dx [ k ( x ) A ( x )] dk ( x ) dx A( x ) k ( x ) dA( x ) dx
a12 ( x 0 ) a 22 ( x 0 ) a m 2 ( x0 )

a1n ( x 0 ) a2n ( x0 ) a mn ( x0 )
容易验证下面的等式是成立的：
设
则
(1)
x x0
lim A ( x ) A , lim B ( x ) B
a 12 ( x 0 ) a 22 ( x 0 ) am 2 ( x0 )
函数矩阵的导数运算有下列性质：
(1) A ( x ) 是常数矩阵的充分必要条件是
dA( x ) dx 0
(2) 设 A ( x ) ( a ij ( x )) m n , B ( x ) ( b ij ( x )) m n
s in x , 1 x
T x
1 x B x e
cos x 1 x
计算 A B , A B , A , 2 ( A B )
定义：设 A ( x ) 为一个 n 阶函数矩阵，如果 存在 n 阶函数矩阵 B ( x ) 使得对于任何 x [ a , b ] 都有

b a
A( x )d x B ( x )d x
a
例1 ：已知函数矩阵
1 A( x ) x x 0
2
试计算
(1) (2) ( 3)
d dx d dx d dx
A( x ) , A( x )
d
2 2
A ( x ),
d
3 3
A( x )
dx
dx
A (x)
1
证明：
0 A( x ) dx 1 d 2x 0
x x0
x x0
lim ( A ( x ) B ( x )) A B
(2) ( 3)
x x0
lim ( k A ( x )) k A
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x x0
lim ( A ( x ) B ( x )) A B
定义：如果 A ( x ) ( a ij ( x )) m n 的所有各元素 a ij ( x )( i 1, , m ; j 1, , n ) 在点 x x 处 0 (或在区间 [ a , b ] 上)可导，便称此函数矩阵 A ( x ) 在点 x x 0 处(或在区间 [ a , b ] 上)可导， 并且记为
A( x ) B ( x ) B ( x ) A( x ) I
那么我们称 A ( x ) 在区间 [ a , b ] 是可逆的。
称 B ( x ) 是 A ( x ) 的逆矩阵，一般记为 A ( x ) 例 ：已知
1 A( x ) x 0 1 x e
1
那么 A ( x ) 在区间 [3, 5]上是可逆的，其逆 为
0 A( x ) x 1 2 x
那么 A ( x ) x 。于是 A ( x ) 在任何区间 [ a , b ] 上的秩都是2。即 A ( x ) 是满秩的。但 是 A ( x ) 在 [ a , b ] 上是否可逆，完全依赖于 a , b 的取值。当区间 [ a , b ] 包含有原点时， [a , b ] A( x ) 在 A ( 上有零点，从而 是不可逆的 。 x)
lim a ij ( x ) a ij ( x 0 )
( i 1, , m ; j 1, , n )
则称 A ( x ) 在 x x 0 处连续，且记为
x x0
lim A ( x ) A ( x 0 )
其中
a11 ( x 0 ) a 21 ( x 0 ) A( x0 ) a m1 ( x0 )
0
1
(
x 0
A( x )dx )
'
函数向量的线性相关性
定义：设有定义在区间 [ a , b ]上的 m 个连续的 函数向量
i ( x ) ( a i 1 ( x ), a i 2 ( x ), , a in ( x ))( i 1, 2 , , m )
如果存在一组不全为零的常实数 k 1 , k 2 , , k m 使得对于所有的 x [ a , b ] 等式
特别地，当 k ( x ) 是常数 k 时有
d dx [ k A ( x )] k dA( x ) dx
(4) 设 A ( x ), B ( x ) 均可导，且 A ( x ) 与 B ( x ) 是 可乘的，则
d dx [ A ( x ) B ( x )] dA( x ) dx B ( x ) A( x ) dB ( x) dx
(6) 设 A ( x ) 为矩阵函数， x f ( t ) 是 t 的纯量 函数， A ( x ) 与 f ( t ) 均可导，则
d dx A( x ) dA( x ) dx f ( t ) f ( t ) dA( x ) dx
定义： 如果函数矩阵 A ( x ) ( a ij ( x )) m n 的 所有各元素 a ij ( x )( i 1, , m ; j 1, , n ) 在[ a , b ] 上可积，则称 A ( x ) 在 [ a , b ] 上可积， 且
试求
(1)
(4)
lim A ( x ) ( 2 )
x 0
d dx d
A( x)
(3)
d
2 2
A(x)
dx
A( x)
d dx
A( x)
(5 )
dx
例3 ：已知函数矩阵
s in x A( x ) cos x cos x sin x
2
试求

x
A( x )dx ,
0
(
x 0
k 1 1 ( x ) k 2 2 ( x ) k m m ( x ) 0
成立，我们称，在 [ a , b ]上
1 ( x ), 2 ( x ), , m ( x ) 线性相关。
否则就说 1 ( x ), 2 ( x ), , m ( x ) 线性无关。 即如果只有在 k 1 k 2 k m 0 等式才成 立，那么就说 1 ( x ), 2 ( x ), , m ( x ) 线性无关。
*
1 0 3 x x
再求
d dx
A
1
(x)
0 d 1 A (x) d 2 x3
1 2 x 3 4 x
例2 ：已知函数矩阵
sin x sin x A( x ) x 1 cos x e
x
0
x 2 x 3 x
a 1 n ( x )d x a b a a 2 n ( x )d x b a a m n ( x )d x
b
函数矩阵的定积分具有如下性质：

b a b a
kA( x )d x k A( x )d x
a
b
kR
b
[ A ( x ) B ( x )]d x