向量代数的基本运算解读

向量代数的基本运算

为了便于学习，我们把有关知识结合图形计算器做一简要总结。 向量代数的基本运算包括：

1.向量的表示：向量有两种表示方法，即和AB 。如果A(a1，a2，a3)(二维情形时A(a1，a2)，我们一般都指的是三维情形)，B(b1，b2，b3)，那么AB =[b1-a1，b2-a2，b3-a3]。在TI −92中代数和几何都可以给出向量的表示。(参阅案例二中的图6.1.

2.1和6.1.2.2)

2.向量的加法和减法：有关这方面的基本知识不再重复。主要掌握平行四边形法则和三角形法则。TI -92图形计算器能够在代数运算和几何直观上双重实现。但要注意的是，在图形计算器中，向量被看成是特殊的矩阵，也就是行阵或列阵。

3.向量的数乘：设=[a1，a2，a3]，λ是一个实数，那么λ与的乘积λa 等于[λa1，λa2，λa3]。其几何意义是把向量a 沿同向(当)0时>λ放大λ倍，或把向量a 沿反向(当)0时<λ放大λ倍。

4.向量的数量积(点积，内积)：向量a 与向量的点积是一个数量，其值等于向量的长度(模)与向量的长度(模)的乘积再乘以它们夹角θ的余弦，即

θb a =⋅，其中θ是向量与b 的交角。 向量点积的坐标表示为332211b a b a b a b a ++=⋅，其中=[a1，a2，a3]，=[b1，b2，b3]。

两个向量垂直的充分必要条件是它们的点积等于零。

b a b a ⊥⇔=⋅0即。

在计算器中键入dotp(a,b)可以计算向量的点积。

由两个向量的点积可以计算出在两个向量的夹角，也就是

=θcos

运算符为，然后输入dotp(a,b)/(norm(a)*norm(b))，具体和6.1.3.2。

(图6.1.3.1)

6.1.3.2)

为了便于计算，可以通过按

),(b a θa 和b 就

可以了。如图6.1.3.3所示。 (图6.1.3.3)

5.向量的叉积(向量积，外积)：向量与向量的叉积是一个向量，记成⨯。其模等于向量模与向量模的乘积再乘以两个向量夹角θ的正弦，即θb a =⨯。其方向如下决定：⨯垂直与，并且a ，，b a ⨯成右手系。

向量叉积的坐标表示为

3

21321b b b a a a k

j i b a =⨯，其中a =[a1，

a2，a3]，b =[b1，b2，b3]。

两个向量的叉积等于零的充分必要条件是它们相互平行。

//⇔=⨯即

图形计算器里实现向量叉积的运算符为。

6.向量的混合积：三个向量a 、、的混合积是一个数量，记成()(c b ，它等于⋅⨯)(。

其坐标表示为3

213213

21c c c b b b a a a ，其中=[a1，a2，a3]，=[b1，b2，

b3]，c =[c1，c2，c3]。

混合积的运算符为dotP(crossP(a,b),c)。通过定义新的函数，比如mp(abc)=dotP(crossP(a,b),c)，就可以得到混合积的直接输入方式。参见图示6.1.3.4。

(图6.1.3.4)