大学数学课件.ppt
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(1) (1x)1x
证明: 令 f(x)(1x)
得 f(0)1, f(0)
当x 很小,时 (1x)1x
(2)sixnx
(3) ex 1x
(4) taxnx
(5)ln 1 (x)x
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例4. 求 sin29的近似值 .
解: 设 f(x)sixn,
取
x0 30
6
当 f(x0)0时 , lim y lim y x 0 d y x0 f(x0)x 1 limy 1 f(x0)x0x
所以 x 0时 y 与 d y 是等价无穷小, 故当 x
很小时, 有近似公式 ydy
6
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微分的几何意义
切线纵坐标的增量
dyf(x0) xtanx
得增量 x 时, 面积的增量为
A (x0 x)2x2 2x0x(x)2
关于△x 的 x0时为
线性主部 高阶无穷小
x x0x
x 0 A x02
(x)2
x0x
故 A2x0x 称为函数在 x 0 的微分
2
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定义: 若函数 yf(x)在点 x 0 的增量可表示为
y f( x 0 x ) f( x 0 )A xo ( x) ( A 为不依赖于△x 的常数)
说明: 上述微分的反问题是不定积分要研究的内容. 注意: 数学中的反问题往往出现多值性.
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三、 微分在近似计算中的应用
y f( x 0 ) x o ( x ) 当 x 很小时, 得近似等式:
y f( x 0 x ) f( x 0 )f(x0)x f ( x 0 x ) f ( x 0 ) f ( x 0 ) x
1
1 e
x
2
e x2
d (x2 )
11ex2 ex2 2xdx
2 xe x2 1 ex2
d
x
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例2. 设 y sx i c nx o y ) s 0 ( ,求 d y .
解: 利用一阶微分形式不变性 , 有 d (y sx i) n d(x c y ) o )0 s(
定理 : 函数 yf(x) 在点 x 0 可微的充要条件是 yf(x) 在点 x 0 处可导, 且 Af(x0), 即
d yf(x 0) x
证: “必要性”
已知 yf(x)在点 x 0 可微 , 则
y f( x 0 x ) f( x 0 )A xo ( x) lim ylim (Ao( x))A
limy x0x
f
(x0)
xyf(x0)
( lim0) x0
故 y f ( x 0 ) x x f( x 0 ) x o ( x )
即 dyf(x0) x
线性主部 (f(x0)0时 )
5
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说明: y f( x 0 ) x o ( x ) dyf(x0) x
第五节 函数的微分
第二章
一、微分的概念 二、微分运算法则 三、微分在近似计算中的应用 四、微分在估计误差中的应用
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一、微分的概念
引例: 一块正方形金属薄片受温度变化的影响, 其
边长由x 0 变到 x0x,问此薄片面积改变了多少?
设薄片边长为 x , 面积为 A , 则 A x2, 当 x 在 x 0 取
sixd n y yco xd x s sin x(y)(x ddy)0 dy y scix o x n y s (s ) ix sn iy xn )(dx
例3. 在下列括号中填入适当的函数使等式成立:
(1 ) d12 x(2 C ) x d x
( 2 )d1s( int C) co td ts
4.d(u) v
vdu udv v2
(v0)
y f(u ),u (x )分别可微 ,
则复合函数 yf[(x)]的微分为
dyyxdxf(u )(x)d x du
dyf(u)du 微分形式不变
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例1. yln(1ex2),求 d y .
解:
dy
1 1 ex2
d(1ex2 )
则称函数 yf(x)在点 x 0 可微, 而 Ax 称为 f (x)在 点 x0 的微分, 记作 d y 或d f , 即
dyAx
定理: 函数 yf(x)在点 x 0 可微的充要条件是 yf(x)在点 x0处可且 导 A ， f(x0),即
d yf(x 0) x
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dx 0.02
又如, yarctxa, n
dy
1 1 x2
dx
基本初等函数的微分公式 (见 P116表)
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二、 微分运算法则
设 u(x) , v(x) 均可微 , 则
1.d(uv)dudv 2.d(Cu)Cdu (C 为常数)
3.d(uv) vduudv 5. 复合函数的微分
,
则 dx
180
x29 29
180
sin29sin 29 sin cos ( )
180
6
6 180
1 3 (0.017)5 22
0.485 si2n 9 0 .48 48
x 0 x x 0 x 故 yf(x)在点 x 0 的可导, 且 f(x0)A
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定理 : 函数 yf(x) 在点 x 0 可微的充要条件是 yf(x) 在点 x 0 处可导, 且 Af(x0), 即
d yf(x 0) x
“充分性” 已知 yf(x)在点 x 0 的可导, 则
dy
当 x 很小时, ydy
y y f(x)
yபைடு நூலகம்
当y x时，
记
yx dx 称x为自变量的微分, 记作 d x
o
x0
x
x0 x
则有 dyf(x)dx
从而 dy f (x) dx
导数也叫作微商
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例如, y x3,
d y x 2 3x2 dx x 2 0.24
dx 0.02
令 xx0 x f ( x ) f ( x 0 ) f ( x 0 ) x ( x 0 )
使用原则: 1 )f(x0),f(x0)好;算 2) x与x0靠近 .
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特别当 x00, x很小时, f(x ) f(0 ) f(0 )x
常用近似公式: ( x 很小)
证明: 令 f(x)(1x)
得 f(0)1, f(0)
当x 很小,时 (1x)1x
(2)sixnx
(3) ex 1x
(4) taxnx
(5)ln 1 (x)x
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例4. 求 sin29的近似值 .
解: 设 f(x)sixn,
取
x0 30
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当 f(x0)0时 , lim y lim y x 0 d y x0 f(x0)x 1 limy 1 f(x0)x0x
所以 x 0时 y 与 d y 是等价无穷小, 故当 x
很小时, 有近似公式 ydy
6
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微分的几何意义
切线纵坐标的增量
dyf(x0) xtanx
得增量 x 时, 面积的增量为
A (x0 x)2x2 2x0x(x)2
关于△x 的 x0时为
线性主部 高阶无穷小
x x0x
x 0 A x02
(x)2
x0x
故 A2x0x 称为函数在 x 0 的微分
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定义: 若函数 yf(x)在点 x 0 的增量可表示为
y f( x 0 x ) f( x 0 )A xo ( x) ( A 为不依赖于△x 的常数)
说明: 上述微分的反问题是不定积分要研究的内容. 注意: 数学中的反问题往往出现多值性.
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三、 微分在近似计算中的应用
y f( x 0 ) x o ( x ) 当 x 很小时, 得近似等式:
y f( x 0 x ) f( x 0 )f(x0)x f ( x 0 x ) f ( x 0 ) f ( x 0 ) x
1
1 e
x
2
e x2
d (x2 )
11ex2 ex2 2xdx
2 xe x2 1 ex2
d
x
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例2. 设 y sx i c nx o y ) s 0 ( ,求 d y .
解: 利用一阶微分形式不变性 , 有 d (y sx i) n d(x c y ) o )0 s(
定理 : 函数 yf(x) 在点 x 0 可微的充要条件是 yf(x) 在点 x 0 处可导, 且 Af(x0), 即
d yf(x 0) x
证: “必要性”
已知 yf(x)在点 x 0 可微 , 则
y f( x 0 x ) f( x 0 )A xo ( x) lim ylim (Ao( x))A
limy x0x
f
(x0)
xyf(x0)
( lim0) x0
故 y f ( x 0 ) x x f( x 0 ) x o ( x )
即 dyf(x0) x
线性主部 (f(x0)0时 )
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说明: y f( x 0 ) x o ( x ) dyf(x0) x
第五节 函数的微分
第二章
一、微分的概念 二、微分运算法则 三、微分在近似计算中的应用 四、微分在估计误差中的应用
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一、微分的概念
引例: 一块正方形金属薄片受温度变化的影响, 其
边长由x 0 变到 x0x,问此薄片面积改变了多少?
设薄片边长为 x , 面积为 A , 则 A x2, 当 x 在 x 0 取
sixd n y yco xd x s sin x(y)(x ddy)0 dy y scix o x n y s (s ) ix sn iy xn )(dx
例3. 在下列括号中填入适当的函数使等式成立:
(1 ) d12 x(2 C ) x d x
( 2 )d1s( int C) co td ts
4.d(u) v
vdu udv v2
(v0)
y f(u ),u (x )分别可微 ,
则复合函数 yf[(x)]的微分为
dyyxdxf(u )(x)d x du
dyf(u)du 微分形式不变
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例1. yln(1ex2),求 d y .
解:
dy
1 1 ex2
d(1ex2 )
则称函数 yf(x)在点 x 0 可微, 而 Ax 称为 f (x)在 点 x0 的微分, 记作 d y 或d f , 即
dyAx
定理: 函数 yf(x)在点 x 0 可微的充要条件是 yf(x)在点 x0处可且 导 A ， f(x0),即
d yf(x 0) x
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dx 0.02
又如, yarctxa, n
dy
1 1 x2
dx
基本初等函数的微分公式 (见 P116表)
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二、 微分运算法则
设 u(x) , v(x) 均可微 , 则
1.d(uv)dudv 2.d(Cu)Cdu (C 为常数)
3.d(uv) vduudv 5. 复合函数的微分
,
则 dx
180
x29 29
180
sin29sin 29 sin cos ( )
180
6
6 180
1 3 (0.017)5 22
0.485 si2n 9 0 .48 48
x 0 x x 0 x 故 yf(x)在点 x 0 的可导, 且 f(x0)A
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定理 : 函数 yf(x) 在点 x 0 可微的充要条件是 yf(x) 在点 x 0 处可导, 且 Af(x0), 即
d yf(x 0) x
“充分性” 已知 yf(x)在点 x 0 的可导, 则
dy
当 x 很小时, ydy
y y f(x)
yபைடு நூலகம்
当y x时，
记
yx dx 称x为自变量的微分, 记作 d x
o
x0
x
x0 x
则有 dyf(x)dx
从而 dy f (x) dx
导数也叫作微商
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例如, y x3,
d y x 2 3x2 dx x 2 0.24
dx 0.02
令 xx0 x f ( x ) f ( x 0 ) f ( x 0 ) x ( x 0 )
使用原则: 1 )f(x0),f(x0)好;算 2) x与x0靠近 .
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特别当 x00, x很小时, f(x ) f(0 ) f(0 )x
常用近似公式: ( x 很小)