解析几何第一章习题

解析几何作业集
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第一章 向量与坐标
§1.1 向量的概念
1.下列情形中的向量终点各构成什么图形？ （1）把空间中一切单位向量归结到共同的始点； （2）把平行于某一平面的一切单位向量归结到共同的始点； （3）把平行于某一直线的一切向量归结到共同的始点； （4）把平行于某一直线的一切单位向量归结到共同的始点.
(4) AD 、 GF ;
解：
(5) BE 、 CH .
图 1—3
§1.2 向量的加法
1.要使下列各式成立，向量 a,b 应满足什么条件？ （1） a b a b ; （2） a b a b ; （3） a b a b ; （4） a b a b ; （5） a b a b.
判别它们是否共线？若共线，写出 AB 和 AC 的线性关系式.
解：
9. 已知线段 AB 被点 C(2,0,2)和 D(5,-2,0)三等分,试求这个线段两端点 A 与 B 的坐标. 解：
§1.6 向量在轴上的射影
1．已知向量 AB 与单位向量 e 的夹角为150 ，且 AB 10 ，求射影向量 e AB 与射影 e AB ，
试判别它们是否共面？能否将 c 表成 a ， b 的线性组合？若能表示，写出表示式. 解：
7．已知 A,B,C 三点坐标如下：
（1）在标架 O;e1, e2 下， A0,1, B2,2,C 2,4. （2）在标架 O;e1, e2 , e3 下， A0,1,0, B1,0,2,C 2,3,4
又如果 e e ，求射影向量 e AB 与射影 e AB .
解：
§1.7 两向量的数性积
1、已知向量 a,b 互相垂直，向量 c 与 a,b 的夹角都是 60 ，且 a 1, b 2, c 3 计算： (1)(a b)2;(2)(a b)(a b);(3)(3a 2b).(b 3c);(4)(a 2b c)2
OP
OA OB 1
证明：
图 1-7
4. 在 ABC 中,设 AB e1, AC e2 . (1) 设 D、E 是边 BC 三等分点,将向量 AD, AE 分解为 e1, e2 的线性组合; （2）设 AT 是角 A 的平分线(它与 BC 交于 T 点),将 AT 分解为 e1, e2 的线性组合
解：
§1.3 数量乘向量
1、 已知四边形 ABCD 中， AB a 2 c ， CD 5 a 6 b 8 c ，对角线 AC 、 BD 的
中点分别为 E 、 F ，求 EF ．
解：
2、 设 AB a 5 b ， BC 2 a 8 b ，CD 3(a b) ，证明： A 、 B 、 D 三点共线．
OA OB + OC = OL + OM + ON .
解：
8. 如图 1-5，设 M 是平行四边形 ABCD 的中心，O 是任意一点，证明
证明：
OA +OB +OC + OD ＝4 OM .
图 1-5
9 在 平 行 六 面 体 ABCDEFGH （ 参 看 第 一 节 第 4 题 图 ） 中 ， 证 明
ＤＡ的中点，求证： KL ＝ NM . 当 ABCD 是空间四边形时，这等式是否也成立？
解：
图 1—2
4. 如图 1-3，设 ABCD-EFGH 是一个平行六面体，在下列各对向 量中，找出相等的向量和互为相反向量的向量：
(1) AB 、 CD ; (2) AE 、CG ; (3) AC 、 EG ;
解：
5．在四面体 OABC 中，设点 G 是 ABC 的重心（三中线之交点），求向量 OG 对于向量 OA, , OB, OC 的分解式。
解：
C
O
P
G
A
Baidu Nhomakorabea
B
（图 1）
6．用向量法证明以下各题 （1）三角形三中线共点
证明：
A
N
M
B
L
C
O
（图 2）
7．已知向量 a, b 不共线，问 c 2a b 与 d 3a 2b 是否线性相关？
解：
8. 证明三个向量 a ＝－ e1 +3 e2 +2 e3 , b ＝4 e1 －6 e2 +2 e3 ， c ＝－3 e1 +12 e2 ＋11 e3 共面，
其中 a 能否用 b , c 线性表示？如能表示，写出线性表示关系式.
解：
§1.5 标架与坐标
3. 在空间直角坐标系{O; i , j , k }下，求 P(2,－3,－1)，M(a, b, c)关于
AC AF AH 2 AG ．
证明：
11. 用向量法证明，平行四边形的对角线互相平分. 证明：
图 1-4
§1.4 向量的线性关系与向量的分解 1．在平行四边形 ABCD 中，
（1）设对角线 AC a, BD b, 求 AB, BC,CD, DA.
（2）设边 BC 和 CD 的中点 M 和 N，且 AM p, AN q 求 BC, CD 。
(1) 坐标平面；(2) 坐标轴；(3) 坐标原点的各个对称点的坐标.
8. 已知向量 a , b , c 的分量如下： (1) a ＝{0, －1, 2}， b ＝{0, 2, －4}， c ＝{1, 2, －1}； (2) a ＝{1, 2, 3}， b ＝{2, －1, 0}， c ＝{0, 5, 6}.
解：
3、 在四边形 ABCD 中，AB a 2 b ，BC 4 a b ，CD 5 a 3 b ，证明 ABCD
为梯形． 解：
6. 设 L、M、N 分别是ΔABC 的三边 BC、CA、AB 的中点，证明：三中线向量 AL , BM , CN 可 以构成一个三角形.
解：
7. 设 L、M、N 是△ABC 的三边的中点，O 是任意一点，证明
解：
2．在平行六面体 ABCD-EFGH 中，设 AB e1, AD e2 , AE e3 , 三个面上对角线向量设为
AC p, AH q, AF r, 试把向量 a p q r 写成 e1, e2 , e3 的线性组合。
解：
3. 设一直线上三点 A, B, P 满足 AP ＝ PB (－1),O 是空间任意一点，求证：
解：
2. 设点 O 是正六边形 ABCDEF 的中心， 在向量 OA 、 OB 、 OC 、 OD 、 OE 、
OF 、 AB 、 BC 、 CD 、 DE 、 EF
和 FA 中，哪些向量是相等的？
解：
A
F
O
B
E
C
D
图 1-1
3. 设在平面上给了一个四边形 ABCD，点 K、L、M、N 分别是边ＡＢ、ＢＣ、ＣＤ、