2-1 母函数与指数型母函数

还可以类似地推出一些等式，但通过上面一些例子 还可以类似地推出一些等式， 已可见函数(1+x)n在研究序列 已可见函数 C(n,0),C(n,1),…,C(n,n)的关系时所起的作用。 的关系时所起的作用。 的关系时所起的作用 定义：对于序列 定义：对于序列a0,a1,a2,…，函数 ，
G ( x ) = a0 + a1 x + a2 x 2 + L
比较等号两端项对应系数，可以得到恒等式： 比较等号两端项对应系数，可以得到恒等式：
C(m + n, r) = C(m, 0)C(n, r) + C(m,1)C(n, r − 1) + L+ C(m, r)C(n, 0).
(1 + x) (1 + 1/ x) = x (1 + x)
n m
−m
m+n
⇒
设序列a 对应的母函数分别为A(x), B(x)。 设序列 k, bk对应的母函数分别为 。 则下面的两个性质显然成立： 则下面的两个性质显然成立： (1) A(x)= B(x) 当且仅当 ak= bk。 (2) 若A(x)+B(x)=c0+c1x+c2x2+…，则ck=ak+bk。 ，
0, k < l , 性质1： 性质 ：若 bk = 则 B(x)=xlA(x)。 。 ak−l , k ≥ l ,
这表明，掷出 点的方法一一对应于得到 的方法。 点的方法一一对应于得到t 这表明，掷出6点的方法一一对应于得到 6的方法。
故使两个骰子掷出n点的方法数等价于求 故使两个骰子掷出 点的方法数等价于求
f (t ) = (t + t 2 + ... + t 6 ) 2
的系数。 中tn的系数。 这个函数f(t)称为母函数Hale Waihona Puke Baidu 这个函数 称为母函数。 称为母函数
其中
P( x) = 1 + x + x3 被装置的特性所确定，称为该装置的传递函数。 被装置的特性所确定，称为该装置的传递函数。
有红球两个，白球、黄球各一个， 例2 有红球两个，白球、黄球各一个，试求有多少种 不同的组合方案。 不同的组合方案。 分别代表红球，白球，黄球。 设r，w，y 分别代表红球，白球，黄球。
(t + t 2 + ... + t 6 )(t + t 2 + ... + t 6 ) = t 2 + 2t 3 + 3t 4 + 4t 5 + 5t 6 + ....
其中t 的系数为5， 其中 6的系数为 ，显然来自于
t1 ⋅ t 5 = t 6 , t 2 ⋅ t 4 = t 6 , t 3 ⋅ t 3 = t 6 , t 4 ⋅ t 2 = t 6 , t 5 ⋅ t1 = t 6.
(1 + r + r )(1 + w)(1 + y) 2 = 1 + (r + y + w) + (r + ry + rw + yw)
2
+ (r y + r w + ryw) + r yw.
2 2 2
(1) 取一个球的组合数为 ，即分别取红，白，黄。 取一个球的组合数为3，即分别取红， (2) 取两个球的组合数为 ，即两个红的，一红一黄， 取两个球的组合数为4，即两个红的，一红一黄， 一红一白，一白一黄。 一红一白，一白一黄。 (3) 取三个球的组合数为 ，即两红一黄，两红一白， 取三个球的组合数为3，即两红一黄，两红一白， 一红一黄一白。 一红一黄一白。 (4) 取四个球的组合数为 ，即两红一黄一白。 取四个球的组合数为1，即两红一黄一白。
1. 母函数
母函数方法是一套非常有用的方法，应用极广。 母函数方法是一套非常有用的方法，应用极广。 这套方法的系统叙述，最早见于Laplace在1812年 这套方法的系统叙述，最早见于 在 年 的名著—概率解析理论 概率解析理论。 的名著 概率解析理论。 我们来看如下的例子：两个骰子掷出6点，有多少 我们来看如下的例子：两个骰子掷出 点 种选法？ 种选法？ 注意到，出现1， 有两种选法 出现2， 也有两 有两种选法， 注意到，出现 ，5有两种选法，出现 ，4也有两 种选法，而出现3， 只有一种选法 按加法法则， 只有一种选法， 种选法，而出现 ，3只有一种选法，按加法法则， 共有2+2+1=5种不同选法。 种不同选法。 共有 种不同选法 或者，第一个骰子除了6以外都可选 以外都可选， 种选法， 或者，第一个骰子除了 以外都可选，有5种选法， 种选法 一旦第一个选定， 一旦第一个选定，第二个骰子就只有一种可能的选 按乘法法则有5× 法，按乘法法则有 ×1=5种。 种
D D D
输入u 输入
⊕
⊕
输出v 输出
若在t=0,1,2,…时刻的输入为 0,u1,u2,…求在这些时 时刻的输入为u 若在 时刻的输入为 求在这些时 刻的输出v 刻的输出 0,v1,v2,…
显然， 显然，
v0 = u0 , v1 = u1 + u0 , v2 = u2 + u1,
v3 = u3 + u2 + u0 ,L 。
m+n
比较等式两端的常数项，可以得到恒等式： 比较等式两端的常数项，可以得到恒等式：
C (m + n, m ) = C (n, 0)C (m , 0) + C (n, 1)C (m , 1) + L + C (n, m )C (m , m ).
又如在等式 (1 + x)n = C(n,0) + C(n,1) x +L+ C(n, n) xn 中令x=1 可得 中令 C ( n, 0) + C ( n,1) + C ( n, 2) + L + C ( n, n) = 2n . 两端对x求导可得： 两端对 求导可得： 求导可得 n(1 + x ) n − 1 = C (n, 1) + 2C ( n, 2) x + L + nC ( n, n) x n − 1 , 再令x=1 可得 再令 C ( n,1) + 2C ( n, 2) + 3C ( n, 3) + L + nC ( n, n) = n2n−1. 类似还可以得到 C ( n,1) + 22 C ( n, 2) + L + n 2C ( n, n) = n( n + 1)2n − 2 .
第二章
母函数与递推关系
2.1 母函数与指数型母函数 2.2 递推关系与Fibonacci数列 数列 递推关系与 2.3 线性常系数递推关系 2.4 非线性递推关系举例 2.5 应用举例
2.1 母函数与指数型母函数
1. 母函数 2. 母函数的性质 3. 整数的拆分 4. Ferrers 图像 5. 指数型母函数
[C(n, 0) + C(n,1) x + L+ C(n, n) xn ] ⋅ [C(m, 0) + C(m,1) x−1 + L+ C(m, m) x −m ] = x−m [C(m + n, 0) + C(m + n,1) x + C(m + n, 2) x2 + L+ C(m + n, m + n) x
(1 + x ) n = 1 + C (n, 1) x + C (n, 2) x 2 + L + C (n, n) x n .
这就是二项式展开定理。 这就是二项式展开定理。
(1 + x)m (1 + x)n = (1 + x)m+n ⇒
[C(n, 0) + C(n,1) x + L+ C(n, n) xn ] ⋅ [C(m, 0) + C(m,1) x + L+ C(m, m) x m ] = C(m + n, 0) + C(m + n,1) x + L+ C(m + n, m + n) xm+n
下图是一逻辑回路，符号D是一延迟装置 是一延迟装置， 例1 下图是一逻辑回路，符号 是一延迟装置，即 在时间t输入一个信号给延迟装置 输入一个信号给延迟装置D， 时刻D将 在时间 输入一个信号给延迟装置 ，在t+1时刻 将 时刻 输出同样的信号，符号⊕表示加法装置。 输出同样的信号，符号⊕表示加法装置。
类似可得女同志的允许组合数对应的母函数为
B( x) = 10x2 + 10x3 + 5x4 + x5 .
C ( x ) = A( x ) B ( x ) = (1 + 28 x 2 + 70 x 4 + 28 x 6 + x 8 ) ⋅ (10 x + 10 x + 5 x + x )
2 3 4 5
a1 = a3 = a5 = a7 = 0, a0 = 1, a2 = C (8, 2) = 28,
a4 = C (8, 4) = 70, a6 = C (8, 6) = 28, a8 = 1.
因此序列a 对应的母函数为： 因此序列 1,a2,…,a8对应的母函数为：
A( x) = 1 + 28x2 + 70x4 + 28x6 + x8 .
称为序列a 称为序列 0,a1,a2,…的母函数。 的母函数。 例如函数 就是序列 序列C(n,0),C(n,1),…,C(n,n)的 例如函数(1+x)n就是序列 函数 的 母函数。 母函数。 如若已知序列，则对应的母函数可根据定义给出。 如若已知序列，则对应的母函数可根据定义给出。 反之，如果已经求出序列的母函数G(x)，则该序列 反之，如果已经求出序列的母函数 ， 也随之确定。 也随之确定。
令取r的组合数为 令取 的组合数为 cr ,则序列 c0 , c1, c2 , c3 , c4 则序列 的母函数为
G( x) = (1 + x + x )(1 + x)
2
2
= 1 + 3x + 4x + 3x + x .
2 3 4
共有1+3+4+3+1=12种组合方式。 种组合方式。 共有 种组合方式
一般的有
vn = un + un−1 + un−3, n ≥ 3.
若信号输入的序列u 的母函数为U(x)，输出的 若信号输入的序列 0,u1,…的母函数为 的母函数为 ， 信号序列v 的母函数为V(x)，则 信号序列 0,v1,…的母函数为 的母函数为 ，
V ( x) = (1 + x + x3 )U( x) = P( x)U( x),
= 10x2 + 10x3 + 285x4 + 281x5 + 840x6 + 728x7 + 630x8 + 350x9 + 150x10 + 38x11 + 5x12 + x13
其中x 的系数就是组成符合要求的k人小组的数目 人小组的数目。 其中 k的系数就是组成符合要求的 人小组的数目。
2. 母函数的性质
(1 + a1 x )(1 + a2 x ) ⋅ ⋅ ⋅ (1 + an x ) = 1 + (a1 + a2 + ⋅ ⋅ ⋅ + an ) x + (a1a2 + a1a3 + ⋅ ⋅ ⋅ + an−1an ) x 2 + ⋅ ⋅ ⋅ + a1a2 ⋅ ⋅ ⋅ an x n ,
若令a 若令 1=a2= …=an=1，则有 ，
但碰到用三个或四个骰子掷出n点 但碰到用三个或四个骰子掷出 点，上述两方法就 不胜其烦了。 不胜其烦了。 设想把骰子出现的点数1,2,…,6和t,t2,…,t6对应起来， 设想把骰子出现的点数 和 对应起来， 则每个骰子可能出现的点数与(t+t 则每个骰子可能出现的点数与 2+…+t6)中t的各次 中 的各次 幂一一对应。 幂一一对应。 若有两个骰子， 若有两个骰子，则
母函数方法的基本思想： 母函数方法的基本思想： 把离散数列和幂级数一一对应起来， 把离散数列和幂级数一一对应起来，把离散数列间 的相互结合关系对应成为幂级数间的运算关系， 的相互结合关系对应成为幂级数间的运算关系，最 后由幂级数形式来确定离散数列的构造。 后由幂级数形式来确定离散数列的构造。
再来看下面的例子： 再来看下面的例子：
证:
B ( x ) = 0 + 0 + L + 0 + bl x + bl +1 x
l
l +1
+L
= a0 x l + a1 x l +1 + L = x l A( x ).
某单位有8个男同志 个男同志， 个女同志 个女同志， 例3 某单位有 个男同志，5个女同志，现要组织一 个由数目为偶数的男同志和数目不少于2的女同志 个由数目为偶数的男同志和数目不少于 的女同志 组成的小组，试求有多少种组成方式？ 组成的小组，试求有多少种组成方式？ 令an为从8位男同志中抽取出 个的允许组合数。由 为从 位男同志中抽取出n个的允许组合数。 位男同志中抽取出 个的允许组合数 于要男同志的数目必须是偶数。 于要男同志的数目必须是偶数。故