自动控制原理 第二章1(1)讲解

开环控制系统 优 结构简单 点 价格便宜
调试简单
缺 准确性差 点 反应慢
不抗干扰 元件变化影响大
闭环控制系统
准确、精度高 反应灵敏、快速 抗干扰元件变化影响 小
结构复杂 成本高 调试复杂
控制系统中的变量（信号）：
1 输出变量 被控制量 输出信号 2 输入变量 输入信号 参考输入 3 干扰量 干扰信号 4 偏差信号 5 其它信号
例2-1：如图所示，由一RC组成的四端无源网络。
试列写以U1(t)为输入量，U2(t)为输出量
的网络微分方程。
R1
R2
U1
C1
C2
U2
图2-1 RC组成的四端网络
解：设回路电流i1、i2，根据克希霍夫定律，列写
方程如下：
R1
R2
U1 I1 C1
I2 C2
U2
U1
U c1
U c1
R1i1 U c1图2-1
对控制系统的基本要求
稳定----控制系统可以工作的必要条件 响应快----动态过程快速、平稳 准确----稳态误差小
稳快准
第二章 自动控制系统的数学模型
控制系统的微分方程-建立和求解 控制系统的传递函数 控制系统的结构图-等效变换 控制系统的信号流图-梅逊公式 脉冲响应函数 各种数学模型的相互转换
d 2U 2 dt 2
(R1C1
R1C2
R2
C
2
)
dU dt
2
U2
U1
这就是RC组成的四端网络的数学模型，是 一个二阶线性微分方程。
例2-2 图示是弹簧-质量-阻尼器机械位移系统。
试列写质量m在外力F（t）作用下，位移x(t)
的运动方程。
解：f--阻尼系数 k--弹性系数
根据牛顿第二定律
F(t)
来模拟相对复杂的系统，实现仿真研究。
2、线性系统的特点
线性系统的主要特点：可叠加性和齐次性（叠加原理）
叠加原理：设线性微分方程 c(t) c(t) c(t) f (t)
如 f (t) f1(t) 时方程的解为 c1 (t) ，f (t) f 2 (t) 时方
程的解为 就有当 f
c2
(t)
R1 (C1
dU c1 dt
C2
dU 2 dt
)
R2C2
dU 2 dt
U2
R1[C1
d dt
(R2i2
U2 ) C2
dU2 ] dt
R2C2
dU 2 dt
U2
R1C1 R2 C 2
d 2U 2 dt 2
R1C1
dU 2 dt
R1C2
dU 2 dt
R2C2
dU 2 dt
U2
R1 R2 C1C 2
q
ui
可见，同一物理系统有不同形式的数学模型，而不同
类型的系统也可以有相同形式的数学模型。
[定义]具有相同的数学模型的不同物理系统称为相似系统
例2-1和例2-2称为力-电荷相似系统，在此系统中
x, F, m,
fHale Waihona Puke Baidu
,k
分别与
q,ui , L, R,
1 C
为相似量。
[作用]利用相似系统的概念可以用一个易于实现的系统
(t
)。
f1 (t
)
f1 (t)
时，解
c(t) c1 (t) c2 (t)
（可叠加性）
当 f (t) af1(t)（a 为常数）时，解 c(t) ac1(t)
（齐次性）
叠加原理说明，对于线性系统
（1）两个外作用同时加于系统所产生的总响应等于各个
外作用单独作用时分别产生的响应之和；
（2）外作用的数值增大若干倍时，响应也增加同样的倍
2-1 控制系统的时域数学模型
一、线性元件的微分方程
建立系统或元件的微分方程的步骤：
1）确定系统或元件的输入量和输出量 2）依据各个变量之间遵循的物理或化学定律，列
出一组微分方程 3）消去中间变量，写出系统输入和输出变量的微
分方程 4）对微分方程进行整理，写成标准形式，即输出
量放左边，输入量放右边，按降幂排列
分析法(又称机理建模法)是根据组成系统各元 件工作过程中所遵循的物理定理来进行。例如： 电路中的基尔霍夫电路定理，力学中的牛顿定 理，热力学中的热力学定理等。对于系统结构 以知的常用此法。
实验法(又称系统辨识)是根据元件或系统对某 些典型输入信号的响应或其他实验数据建立数 学模型，当元件或系统比较复杂，其运动特性 很难用几个简单的数学方程表示时，实验法就 显得非常重要了。
数。
可叠加性和齐次性使线性系统的分析和设计大为简化。
3、非线性元件（环节）微分方程的线性化 在经典控制领域，主要研究的是线性定常控制系
统。如果描述系统的数学模型是线性常系数的微分方 程，则称该系统为线性定常系统，其最重要的特性便 是可以应用线性叠加原理，即系统的总输出可以由若 干个输入引起的输出叠加得到。
微分方程
传递函数
结构图=原理图 ＋传递函数
常见数学模型： 时域：微分方程；差分方程；状态方程 复数域：传递函数 频域：频率特性
频域（ω）模型 频率特性
表达形式 时域：微分方程、差分方程、状态方程 复域：传递函数、动态结构图 频域：频率特性
线性系统
拉氏
傅氏
变换
变换
传递函数
微分方程
频率特性
建立控制系统数学模型的方法:
1 C1
(i1 i2 )dt
R2i2 U c2
②①RC组U成的 c2四端C网 12络 i2 dt
③ U 2 U c2
④ ⑤
由④、⑤得
i2
C2
dU c 2 dt
C2
dU 2 dt
由②导出
i1
C1
dU c1 dt
i2
C1
dU c1 dt
C2
dU 2 dt
将i1、i2代入①、③，则得
U1 R1 R2 i2 U c2
F2
m
dy(t)
式中 F1 (t) f dt
F2 (t) k y(t)
F1
x(t) f
整理后
[需要讨论的几个问题]：
1、相似系统和相似量：
我们注意到例2-1和例2-2的微分方程形式是完全 一样
的。这是因为：若令 q id（t 电荷），则例2-1①式的
结果变为：
L
d2 dt
q
2
R
dq 1 dt C
数学建模——从实际系统中抽象出系统数学模型的过程。
控制系统的数学模型: 描述系统内部各物理量之间关系的数学表达式。
数学表达式： 代数方程、微分方程 静态数学模型 ：系统变量之间与时间无关的静态关系 动态数学模型： 系统变量对时间的变化率，反映系统的动态特性
控制系统数学模型的类型
时域（t）模型 复域（S）模型
物理模型——任何元件或系统实际上都是很复杂的，难以对 它作出精确、全面的描述，必须进行简化或理想化。简化 后的元件或系统称为该元件或系统的物理模型。简化是有 条件的，要根据问题的性质和求解的精确要求来确定出合 理的物理模型。
数学模型——物理模型的数学描述。是指描述系统输入、输 出以及内部各变量之间动态关系的数学表达式。