4自由度冗余驱动并联机构运动学和工作空间分析
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
5 ×4 J' A5 × 4 = J 1 A J 2 A ∈ Ｒ
（ r s1 × u 1 ） ］
J uA — —约束映射矩阵 — 由式（ 10 ） 和式（ 11 ） 可得
[0]
L
·
=J
其中
J= n1
A A A
[
[ J ]=
J1A
uA A A
[ ]
A
V bo ωb
A
（ 12 ）
（ 17 ）
A A
n2
A A
A
n3
A
n4
A A
A
n5
A A
A
u1
r s1 × n1
r s2 × n2
r s3 × n3
r s4 × n4
r s5 × n5
r s1 × Au1
]
T
— J' —欧拉角转速形式的速度传递矩阵 A5 × 4 — UPSＲPU 空间四自由 利用式（ 17 ） 可以求得 4 -
6 ×6
式中
J— — —完全映射矩阵 由式（ 12 ） 可得
0912 修回日期： 20131025 收稿日期： 2013* 国家自然科学基金资助项目（ 51005138 ） 、 山东省优秀中青年科学家科研奖励基金资助项目（ BS2012ZZ008 ） 和山东科技大学杰出青年基 金资助项目（ 2011KYJQ102 ） Email： cxldy99@ 163． com 作者简介： 陈修龙， 副教授， 博士后， 主要从事并联机器及其动力学研究，
L i = A V si A n i 将式（ 7 ） 代入式（ 8 ） 中 ， 可得
· A T ni Li =［
Y Si
A
T Z Si］ = Ｒ B P Si + A P BO
其中
（ A r si × A n i ） T］
c αc β Ｒ = sαc β － sβ
A
c αsβ sαsβ cβ
A 如图 2 所示，V bo 为动平台中心点 O B 的速度， A A Li 为 ωb 为动平台的角速度，V si 为铰点 S i 的速度， ·
Velocity diagram of mechanism
驱动杆的长度。定平台上的 5 个运动副并不是均匀 分布， 其中 Ｒ6 点 （ 后用 U1 表示 ） 所在圆的半径为 r1 = 710 mm， 其余 4 个虎克副则均匀分布在半径为 r2 = 650 mm 的圆上， 4 个虎克铰之间的夹角为 π / 2 ， 定平台坐标系的 Y 轴穿过 Ｒ1 ， 动坐标系则沿定坐标 X U6 点 （ 后用 S1 表示 ） 位于 XOZ 系的 轴旋转 90 ° ， 距离动坐标系的竖直 距 离 为 平面内 r3 = 228 mm， d = 67. 11 mm， 其余 4 个球铰位于半径为 r4 = 198 mm 4 个球铰之间的夹角为 2 π / 5 ， 根据以上尺 的圆上， 寸可分别求出定平台上的铰链点在定坐标系下的坐
·
· T 1
L2
· A
L3
·
L4
A
·
T L 5］ T
A
V zbo = － 67. 11 β cosβ V xB0 A V yB0 = J2A · α · β 0 0 0 0 0 1 0 － 67. 11cosβ － sinα cosα 0 0
A
（ 15 ）
n A nT 2 T J 1 A = A n3 T A n4 A T n5 式中
A
（ r s1 × n1 ） （ A r s2 × A n2 ） T （ A r s3 × A n3 ） T （ A r s4 × A n4 ） T （ A r s5 × A n5 ） T
2014年8月 1298． 2014． 08． 049 doi： 10． 6041 / j． issn． 1000-
农 业 机 械 学 报
第 45 卷 第 8 期
4 自由度冗余驱动并联机构运动学和工作空间分析 *
陈修龙 陈林林 梁小夏
（ 山东科技大学机械电子工程学院，青岛 266590 ） UPSＲPU4 自由度冗余驱动并联机构， 摘要： 提出了能实现二维转动和二维移动的空间 4并对该机构进行了运动 UPSＲPU 并联机构包含 5 条驱动分支， 1 学和工作空间分析。4其中 4 条分支为 UPS （ 虎克铰移动副球副） 结构， 条分支为 ＲPU（ 转动副移动副虎克铰） 结构。建立了该机构的位置反解数学模型， 推导出了该机构的速度雅可比 矩阵和加速度分析表达式， 求解了机构的位置反解 、 速度和加速度， 并在此基础上分析该机构的工作空间 。 研究结 UPSＲPU 冗余驱动并联机构的实际应用提供了理论依据 。 果为 4关键词： 冗余并联机构 中图分类号： TH112 运动学分析 雅可比矩阵 工作空间 文献标识码： A 1298 （ 2014 ） 08030707 文章编号： 1000-
A A 标 P Ui = ［ X Ui A
A 杆 L i 的杆长变化速度，r Si 为铰点 S i 相对于动平台 A A 中心点 O B 的矢径，n i 为杆 L i 的单位方向矢量，u1 A 为转动副 T1 的单位向量。 则铰链点 S i 的速度 V S i
可表示为
A ·
Y Ui
A
Z Ui］ ， 以及动平台上铰链点
[ ]
A
度冗余驱动并联机构中 UPS 分支和 ＲPU 分支共 5 个驱动杆的速度。
V bo ωb
A
= J －1
[0]
L
· ·
（ 13 ）
2. 3
机构的加速度分析 令动平台对应的线加速度和角加速度分别为 a
式中
J －1— —从关节空间到操作空间映射的速度 — 雅可比矩阵 YX 欧拉角 （ α， 当用 Zβ， γ ） 表示动平台的姿态
［15 － 20 ］ ［6 － 14 ］
UPSＲPU 并联机构通过 4 个完 图， 如图 1 所示。4全相同的 UPS（ 虎克铰移动副球副） 支链以及另一 个 ＲPU（ 转动副移动副虎克铰） 支链与动平台相连 。 4 接 通过协同控制 个 UPS 支链中移动副的伸缩 和 1 个 ＲPU 支链中移动副的伸缩来实现动平台的 位置和姿态， 即驱动数目是 5 。 ＲPU 分支为约束支 链， 限制了动平台沿转动副 Ｒ6 轴线方向的移动自 由度和绕其自身法线的转动自由度， 使并联机构具 UPSＲPU 并 有两维转动和两维移动 4 个自由度。4联机构中输入构件的个数为 5 ， 大于机构自由度的 UPSＲPU 并联机构为具有冗余驱动 数目 4 ， 因此 4性质的空间并联机构。
308
农
业
机
械
学
报
2014年
式中
Ｒ— — —以 ZYX 欧拉角表示的姿态变换矩阵
A
P BO — — —动坐标系原点在定坐标系下的坐标
UPSＲPU 机构可知， 其动平台上的虎克铰 由 4U6 （ 后用 S1 表示 ） 在定坐标系的 Z A 轴上的坐标为 0 。虎克铰 U6 在动坐标系下的坐标值转换到定坐 标系下可表示为
2
2. 1
机构的运动学分析
机构的位置反解 如图 1 所示， 在并联机构上下平台上分别建立 坐标系， 定坐标系 O A X A Y A Z A 固定于定平台上， 坐标
系的中心定在经过 4 个虎克铰的圆的圆心上， 其中 X A 轴竖直向下， Y A 轴指向转动副 Ｒ6 ， Z A 轴按右手 定则确定。 动坐标系 O B X B Y B Z B 建立在动平台上， YB 且方向相同， 初始位形时 X B 轴与 X A 轴同轴线、 Z B 轴与 Y A 方向相反。 轴与 Z A 方向相同， 机构的位置反解是已知动平台的位姿， 求5 个
A
可以将动平台的六维速度表示为
[ ]
A
V B0 ωB
A
（ 16 ）
—驱动速度映射矩阵 — J1A — ＲPU 分支中球铰 V S1 在 u1 上的投影为零， 即
其中
0 = V S1 u 1 = ［ u
A
A
A来自百度文库
T 1
（ r s1 × u 1 ） ］
A
A
T
J uA 其中 式中 J uA = ［ u
A T 1
[ ]
A
[ ]
A
V bo ωb
A
=
V bo ωb
A
A
（ 11 ）
A T
1 0 0 J2A = 0 0 0
·
0 1 0 0 0 0
将式（ 16 ） 代入式（ 10 ） 中， 可得到 L1 A · V xbo L2 A · V ybo L 3 = J' A · α · · L4 β · L5 其中 式中
， 已成为 ：直
接把非冗余并联机构的被动关节变为驱动关节 ， 在 非冗余并联机构中增加驱动分支， 采用自均力冗余 驱动接口模块。第 1 类冗余驱动方式构造简单， 但 是由于不便于把驱动器布置在基座上， 因此对机构 的动力学性能影响较大； 第 2 类能很容易地解决驱 动器布置的问题， 但机构的成本较高， 运动控制较 难； 第 3 类能很好地解决运动惯性和控制复杂性的 问题， 但实际设计难度较大。 迄今国内外有关学者 5 自由度和 6 自由度冗余驱动 大都针对 3 自由度、 并联机构进行研究， 针对空间 4 自由度冗余驱动并 联机构的研究还相对较少。 UPSＲPU 空间 4 自由度冗余 本文提出一种 4并联机构， 建立该机构位置反解、 速度求解和加速度 求解的运动学模型， 采用理论数值分析与 ADAMS 虚拟样机仿真相结合的方法验证所建模型的正确 性， 在此基础上分析该机构的工作空间 。
A
X Si － A X Ui ） 2 + （ A Y Si － A Y Ui ） 2 + （ A Z Si － A Z Ui ）
2
（ 6）
图2 Fig． 2 速度分析示意图
UPSＲPU 空间 4 自由度冗余驱动并 式（ 6 ） 是 4 联机构的运动位置反解模型， 利用式 （ 6 ） 可以将并 联机构工作空间中规划好的动平台中心点的位置和 姿态， 转换为关节空间中 UPS 分支驱动杆的杆长和 ＲPU 分支驱动杆的杆长， 为冗余驱动的协调控制从 而实现对机构动平台位姿的运动控制奠定基础 。 2. 2 机构的速度分析
A A X X S1 － 67. 11 BO A AY = Ｒ + Y BO 0 S1 A － 228. 41 A Z BO Z S1
（ 2）
图1 Fig． 1
4UPSＲPU 并联机构简图
由式（ 2 ） 可得 A Z S1 = － 228. 41 Ｒ33 － 67. 11 Ｒ31 + A Z BO 由于 Z S1 = 0 ， 可得
B
T
V si = A V bo + A ωb × A r si
·
（ 7） （ 8）
B B 在动坐标系下的坐标 P Si = ［ X Si
Y Si
B
Z Si］ 。
T
A 故驱动速度 L i 可表示为 V si 在 L i 上的投影
动平台上的铰链点坐标在定坐标系的坐标可表 示为
A A P Si = ［ X Si A
引言
并联机构与串联机构在应用上形成了很好的互 补， 受国内外学者广泛关注
［1 － 5 ］
1
。 冗余驱动并联机
四自由度冗余驱动并联机构
4UPSＲPU 空间四自由度冗余驱动并联机构简
构是输入构件数目多于输出构件自由度数的并联机 构， 它相对于一般并联机构具有刚度高 、 力操作性能 优、 承载能力大和定位精度高等优点 机器人研究与应用的一个热点。 目前常见的冗余驱动并联机构主要有
A A
（ 3） （ 4）
Mechanism diagram of 4UPSＲPS
Z BO = － 67. 11sinβ
从而得到 5 个驱动杆的杆长在定坐标系中的位 置矢量为 L i = A P Si － A P Ui = Ｒ B P Si + A P BO － A P Ui （ i = 1， 2， …， 5） （ 5） 由式（ 5 ） 可知， 根据 5 个驱动杆两端点在定坐 标系下的坐标， 可以求出各驱动杆的杆长为 l i = | L i | = | A P Si － A P Ui | = （ 槡
A
sα － cα 0
A
[ ]
A
V bo ωb
A
（ 9）
对于全部 5 个驱动杆， 有
A T
P BO = ［ X BO
A
Y BO
Z BO］
L = J1A
·
[ ]
V bo ωb
A
（ 10 ）
第8 期
陈修龙 等： 4 自由度冗余驱动并联机构运动学和工作空间分析
309
·
其中
L1 L =［
A
·
（ r s1 × u 1 ） ］
J uA — —约束映射矩阵 — 由式（ 10 ） 和式（ 11 ） 可得
[0]
L
·
=J
其中
J= n1
A A A
[
[ J ]=
J1A
uA A A
[ ]
A
V bo ωb
A
（ 12 ）
（ 17 ）
A A
n2
A A
A
n3
A
n4
A A
A
n5
A A
A
u1
r s1 × n1
r s2 × n2
r s3 × n3
r s4 × n4
r s5 × n5
r s1 × Au1
]
T
— J' —欧拉角转速形式的速度传递矩阵 A5 × 4 — UPSＲPU 空间四自由 利用式（ 17 ） 可以求得 4 -
6 ×6
式中
J— — —完全映射矩阵 由式（ 12 ） 可得
0912 修回日期： 20131025 收稿日期： 2013* 国家自然科学基金资助项目（ 51005138 ） 、 山东省优秀中青年科学家科研奖励基金资助项目（ BS2012ZZ008 ） 和山东科技大学杰出青年基 金资助项目（ 2011KYJQ102 ） Email： cxldy99@ 163． com 作者简介： 陈修龙， 副教授， 博士后， 主要从事并联机器及其动力学研究，
L i = A V si A n i 将式（ 7 ） 代入式（ 8 ） 中 ， 可得
· A T ni Li =［
Y Si
A
T Z Si］ = Ｒ B P Si + A P BO
其中
（ A r si × A n i ） T］
c αc β Ｒ = sαc β － sβ
A
c αsβ sαsβ cβ
A 如图 2 所示，V bo 为动平台中心点 O B 的速度， A A Li 为 ωb 为动平台的角速度，V si 为铰点 S i 的速度， ·
Velocity diagram of mechanism
驱动杆的长度。定平台上的 5 个运动副并不是均匀 分布， 其中 Ｒ6 点 （ 后用 U1 表示 ） 所在圆的半径为 r1 = 710 mm， 其余 4 个虎克副则均匀分布在半径为 r2 = 650 mm 的圆上， 4 个虎克铰之间的夹角为 π / 2 ， 定平台坐标系的 Y 轴穿过 Ｒ1 ， 动坐标系则沿定坐标 X U6 点 （ 后用 S1 表示 ） 位于 XOZ 系的 轴旋转 90 ° ， 距离动坐标系的竖直 距 离 为 平面内 r3 = 228 mm， d = 67. 11 mm， 其余 4 个球铰位于半径为 r4 = 198 mm 4 个球铰之间的夹角为 2 π / 5 ， 根据以上尺 的圆上， 寸可分别求出定平台上的铰链点在定坐标系下的坐
·
· T 1
L2
· A
L3
·
L4
A
·
T L 5］ T
A
V zbo = － 67. 11 β cosβ V xB0 A V yB0 = J2A · α · β 0 0 0 0 0 1 0 － 67. 11cosβ － sinα cosα 0 0
A
（ 15 ）
n A nT 2 T J 1 A = A n3 T A n4 A T n5 式中
A
（ r s1 × n1 ） （ A r s2 × A n2 ） T （ A r s3 × A n3 ） T （ A r s4 × A n4 ） T （ A r s5 × A n5 ） T
2014年8月 1298． 2014． 08． 049 doi： 10． 6041 / j． issn． 1000-
农 业 机 械 学 报
第 45 卷 第 8 期
4 自由度冗余驱动并联机构运动学和工作空间分析 *
陈修龙 陈林林 梁小夏
（ 山东科技大学机械电子工程学院，青岛 266590 ） UPSＲPU4 自由度冗余驱动并联机构， 摘要： 提出了能实现二维转动和二维移动的空间 4并对该机构进行了运动 UPSＲPU 并联机构包含 5 条驱动分支， 1 学和工作空间分析。4其中 4 条分支为 UPS （ 虎克铰移动副球副） 结构， 条分支为 ＲPU（ 转动副移动副虎克铰） 结构。建立了该机构的位置反解数学模型， 推导出了该机构的速度雅可比 矩阵和加速度分析表达式， 求解了机构的位置反解 、 速度和加速度， 并在此基础上分析该机构的工作空间 。 研究结 UPSＲPU 冗余驱动并联机构的实际应用提供了理论依据 。 果为 4关键词： 冗余并联机构 中图分类号： TH112 运动学分析 雅可比矩阵 工作空间 文献标识码： A 1298 （ 2014 ） 08030707 文章编号： 1000-
A A 标 P Ui = ［ X Ui A
A 杆 L i 的杆长变化速度，r Si 为铰点 S i 相对于动平台 A A 中心点 O B 的矢径，n i 为杆 L i 的单位方向矢量，u1 A 为转动副 T1 的单位向量。 则铰链点 S i 的速度 V S i
可表示为
A ·
Y Ui
A
Z Ui］ ， 以及动平台上铰链点
[ ]
A
度冗余驱动并联机构中 UPS 分支和 ＲPU 分支共 5 个驱动杆的速度。
V bo ωb
A
= J －1
[0]
L
· ·
（ 13 ）
2. 3
机构的加速度分析 令动平台对应的线加速度和角加速度分别为 a
式中
J －1— —从关节空间到操作空间映射的速度 — 雅可比矩阵 YX 欧拉角 （ α， 当用 Zβ， γ ） 表示动平台的姿态
［15 － 20 ］ ［6 － 14 ］
UPSＲPU 并联机构通过 4 个完 图， 如图 1 所示。4全相同的 UPS（ 虎克铰移动副球副） 支链以及另一 个 ＲPU（ 转动副移动副虎克铰） 支链与动平台相连 。 4 接 通过协同控制 个 UPS 支链中移动副的伸缩 和 1 个 ＲPU 支链中移动副的伸缩来实现动平台的 位置和姿态， 即驱动数目是 5 。 ＲPU 分支为约束支 链， 限制了动平台沿转动副 Ｒ6 轴线方向的移动自 由度和绕其自身法线的转动自由度， 使并联机构具 UPSＲPU 并 有两维转动和两维移动 4 个自由度。4联机构中输入构件的个数为 5 ， 大于机构自由度的 UPSＲPU 并联机构为具有冗余驱动 数目 4 ， 因此 4性质的空间并联机构。
308
农
业
机
械
学
报
2014年
式中
Ｒ— — —以 ZYX 欧拉角表示的姿态变换矩阵
A
P BO — — —动坐标系原点在定坐标系下的坐标
UPSＲPU 机构可知， 其动平台上的虎克铰 由 4U6 （ 后用 S1 表示 ） 在定坐标系的 Z A 轴上的坐标为 0 。虎克铰 U6 在动坐标系下的坐标值转换到定坐 标系下可表示为
2
2. 1
机构的运动学分析
机构的位置反解 如图 1 所示， 在并联机构上下平台上分别建立 坐标系， 定坐标系 O A X A Y A Z A 固定于定平台上， 坐标
系的中心定在经过 4 个虎克铰的圆的圆心上， 其中 X A 轴竖直向下， Y A 轴指向转动副 Ｒ6 ， Z A 轴按右手 定则确定。 动坐标系 O B X B Y B Z B 建立在动平台上， YB 且方向相同， 初始位形时 X B 轴与 X A 轴同轴线、 Z B 轴与 Y A 方向相反。 轴与 Z A 方向相同， 机构的位置反解是已知动平台的位姿， 求5 个
A
可以将动平台的六维速度表示为
[ ]
A
V B0 ωB
A
（ 16 ）
—驱动速度映射矩阵 — J1A — ＲPU 分支中球铰 V S1 在 u1 上的投影为零， 即
其中
0 = V S1 u 1 = ［ u
A
A
A来自百度文库
T 1
（ r s1 × u 1 ） ］
A
A
T
J uA 其中 式中 J uA = ［ u
A T 1
[ ]
A
[ ]
A
V bo ωb
A
=
V bo ωb
A
A
（ 11 ）
A T
1 0 0 J2A = 0 0 0
·
0 1 0 0 0 0
将式（ 16 ） 代入式（ 10 ） 中， 可得到 L1 A · V xbo L2 A · V ybo L 3 = J' A · α · · L4 β · L5 其中 式中
， 已成为 ：直
接把非冗余并联机构的被动关节变为驱动关节 ， 在 非冗余并联机构中增加驱动分支， 采用自均力冗余 驱动接口模块。第 1 类冗余驱动方式构造简单， 但 是由于不便于把驱动器布置在基座上， 因此对机构 的动力学性能影响较大； 第 2 类能很容易地解决驱 动器布置的问题， 但机构的成本较高， 运动控制较 难； 第 3 类能很好地解决运动惯性和控制复杂性的 问题， 但实际设计难度较大。 迄今国内外有关学者 5 自由度和 6 自由度冗余驱动 大都针对 3 自由度、 并联机构进行研究， 针对空间 4 自由度冗余驱动并 联机构的研究还相对较少。 UPSＲPU 空间 4 自由度冗余 本文提出一种 4并联机构， 建立该机构位置反解、 速度求解和加速度 求解的运动学模型， 采用理论数值分析与 ADAMS 虚拟样机仿真相结合的方法验证所建模型的正确 性， 在此基础上分析该机构的工作空间 。
A
X Si － A X Ui ） 2 + （ A Y Si － A Y Ui ） 2 + （ A Z Si － A Z Ui ）
2
（ 6）
图2 Fig． 2 速度分析示意图
UPSＲPU 空间 4 自由度冗余驱动并 式（ 6 ） 是 4 联机构的运动位置反解模型， 利用式 （ 6 ） 可以将并 联机构工作空间中规划好的动平台中心点的位置和 姿态， 转换为关节空间中 UPS 分支驱动杆的杆长和 ＲPU 分支驱动杆的杆长， 为冗余驱动的协调控制从 而实现对机构动平台位姿的运动控制奠定基础 。 2. 2 机构的速度分析
A A X X S1 － 67. 11 BO A AY = Ｒ + Y BO 0 S1 A － 228. 41 A Z BO Z S1
（ 2）
图1 Fig． 1
4UPSＲPU 并联机构简图
由式（ 2 ） 可得 A Z S1 = － 228. 41 Ｒ33 － 67. 11 Ｒ31 + A Z BO 由于 Z S1 = 0 ， 可得
B
T
V si = A V bo + A ωb × A r si
·
（ 7） （ 8）
B B 在动坐标系下的坐标 P Si = ［ X Si
Y Si
B
Z Si］ 。
T
A 故驱动速度 L i 可表示为 V si 在 L i 上的投影
动平台上的铰链点坐标在定坐标系的坐标可表 示为
A A P Si = ［ X Si A
引言
并联机构与串联机构在应用上形成了很好的互 补， 受国内外学者广泛关注
［1 － 5 ］
1
。 冗余驱动并联机
四自由度冗余驱动并联机构
4UPSＲPU 空间四自由度冗余驱动并联机构简
构是输入构件数目多于输出构件自由度数的并联机 构， 它相对于一般并联机构具有刚度高 、 力操作性能 优、 承载能力大和定位精度高等优点 机器人研究与应用的一个热点。 目前常见的冗余驱动并联机构主要有
A A
（ 3） （ 4）
Mechanism diagram of 4UPSＲPS
Z BO = － 67. 11sinβ
从而得到 5 个驱动杆的杆长在定坐标系中的位 置矢量为 L i = A P Si － A P Ui = Ｒ B P Si + A P BO － A P Ui （ i = 1， 2， …， 5） （ 5） 由式（ 5 ） 可知， 根据 5 个驱动杆两端点在定坐 标系下的坐标， 可以求出各驱动杆的杆长为 l i = | L i | = | A P Si － A P Ui | = （ 槡
A
sα － cα 0
A
[ ]
A
V bo ωb
A
（ 9）
对于全部 5 个驱动杆， 有
A T
P BO = ［ X BO
A
Y BO
Z BO］
L = J1A
·
[ ]
V bo ωb
A
（ 10 ）
第8 期
陈修龙 等： 4 自由度冗余驱动并联机构运动学和工作空间分析
309
·
其中
L1 L =［
A
·