例谈三种基本的数学思维方式

例谈三种基本的数学思维方式

提要：数学思维方式指数学思维过程中主体进行数学思维活动的相对定型,相对稳定的思维样式。变量函数思维方式,空间想像思维方式,无穷分析思维方式是其中最基本的三种,体现了基础数学,应用数学和计算数学三大部分及其分支学科中的重要数学观念、数学思想与数学方法。合理、科学地应用三种数学思维方式有利于数学问题的解决,有助于教学中数学思想方法的渗透。

关键词:数学思维方式;变量函数思维;空间想像思维;无穷分析思维

1前言

方式指处理问题,发表言论所采用的方法、手段。如联络方式,工作方式等。

思维方式是内化于人脑中的世界观和方法论的理性认识方式,是体现一定思维方法和一定思维内容的思维模式。数学思维方式指数学思维过程中主体进行数学思维活动的相对定型,相对稳定的思维样式。基本的数学思维方式既应反映深刻的数学发展的背景,又应对任何数学活动,不论是高等的,初等的还是古典的,传统的或现代的数学研究及数学教育均有指导意义。

2变量函数思维方式

2.1函数概念发展的过程(弱抽象的过程)

(1)早期17世纪的函数概念(代数函数):指可以从一些其他的量通过一系列运算得到的函数。(代表人物:莱布尼兹G..W.Leibnite,1646—1716)

(2)18世纪的函数概念(解析函数):指由一个变量与一些常量,通过任何方式(有限或无限次运算)形成的解析表达式(包括对数函数、指数函数、三角函数等超越函数)(代表人物:贝努利J.Bernoulli,1667—1748,欧拉L.Euler,1707—1783)

(3)19世纪的函数概念(变量函数):指给定区间上的每一个值,有惟一的一个值与它对应,则是的一个函数。(代表人物:柯西A.L.Cauchy,1789—1857,狄里赫勒G.P.L.Dirichlet,1805—1859)

(4)现代的函数概念(映射函数):设与是两个集合, 是个法则,若对于中的每个元素,通过总有

中唯一确定元素与之对应,则是定义在上的一个函数。

2.2函数概念发展所孕育的数学思想方法

从200多年来函数概念的发展历史来看,它孕育了变量思维方式、集合对应

观点、函数分析方法、等价变换方法等重要思想方法;在中学数学中体现为:函数方程思想、数形结合思想、等价转换思想、解析法、参数法等主要的思维方法。

函数概念在中学数学中已有较好的应用,首先,中学代数中的函数与方程是变量关系表现的不同方式,可以进行等价转换;其次,不等式可以通过函数的图像曲线或者用平面区域进行分析;再次,数列则是一类特殊的函数,从而与此相关的数学问题均可用变量函数观点统一处理,使数形结合、等价转换,函数方程等思想贯穿其中。

例1

分析:(1)先求定义域:

(2)观察,得出,考虑先去

掉根号(换元法)

方法1:三角代换

所以:

方法2:双元代换

则

分析:如图(1)式所代表的图像是一个圆,但因为

,所以只研究位于第一象限(包括边界轴线)的四分之一圆周。(2)式所代表的图像是一条直线, 就是直线在v轴上的截距。所以y的取值范围是直线(2)上的点满足(1)中的圆周时所得直线截距的范围。且直线(2)的斜率是

,如图, 的取值范围是(图1转下页)

反思:方法1主要利用三角函数的性质得到解答,关键在于设出,还要联系图像才能得出取值范围。

(图1)

方法2主要通过借助图形来解决,确定y在图像中的意义及满足的条件是关键。两个方法都通过构造新函数使问题得以快速解决,且体现了数形结合思想。

小结:我们应用函数思想的几种常见题型是:遇到变量,构造函数关系解题;有关的不等式、方程、最小值和最大值之类的问题,利用函数观点加以分析;含有多个变量的数学问题中,选定合适的主变量,从而揭示其中的函数关系;实际应用问题,翻译成数学语言,建立数学模型和函数关系式,应用函数性质或不等式等知识解答;此外,等差、等比数列中,通项公式、前n项和的公式,都可以看成n的函数,数列问题也可以用函数方法解决。

3间想像思维方式

3.1空间想像思维方式

空间想像思维方式包括几何关系与空间观念两个互相连结又互相渗透的不同侧面。它蕴涵的思想方法有几何直觉与直观思维、空间观念与空间想像、几何方法与坐标方法、变换方法以及图论方法、拓扑方法等。

3.2几何关系的认识发展

(1)几何研究的对象方面:从长度、距离、面积、体积的大小到点、直线、曲线、平面、立体等的形状,位置关系。

(2)研究方法方面:欧氏几何的逻辑推理方法——解析几何的笛卡儿坐标方法——高等几何(仿射几何、射影几何、拓扑学等)的变换方法——微分几何的无穷小分析方法。

3.3空间观念的认识发展

从一维、二维、三维的直觉经验的现实生活空间出发,到引入时间后形成四维几何学,20世纪法国数学家弗雷协把一个函数看作一个“点”,引进了函数空间的概念,再发展到可数无穷维空间。这样,空间观念就由现实空间发展到抽象空间,并再由抽象空间的几何理论来认识现实空间的性质。

3.4几何关系与空间观念的融合

随着几何关系与空间观念的认识发展,逻辑推理方法与坐标方法及微分法逐渐融为一体,概念互相借用而内涵趋向深化。在中学平面几何、立体几何与解析几何教学中,很多概念和定理可以作类比推广,解题思想方法可以互相贯通,这正是空间想像思维方式的精髓所在。例如:通过概念之间的有机串联、几何定理和问题的条件与结论的相关变化以及推广、引申等,可以领会几何关系之间的关联相似性,几何图形的和谐性,优美性,几何性质的某种不变性以及概念与问题的发

展性。

例如:

(4)

例2 图形直观与不等式的关系

證明:若

分析过程:

(1)观察:所证不等式的三个根式中,

(2)联想:通过观察三个根式的平方式,联想余弦公式:

(3)应用:如果三角形是等边三角形,那么余弦公式就变成:

所以

可以看做某个等边三角形的三边,则有

所以

证:如图:

,其中,

(4)反思:证明代数不等式问题,若能与几何知识结合起来(数形结合),那么证明过程更简单。

例3 证明Ptolemy定理的一般形式:在可退化的四边形ABCD中,恒有

Ptolemy定理:圆内接四边形中两对角线之积等于两双对边乘机之和。