数学建模作业8

格分别为3x 和4x ，134x x x =-，基于上面的分析，我们仅利用1x 和2x 来建立y 的预测模型。

四、模型建立

（显示模型函数的构造过程）

（1）为了大致地分析y 与1x 和2x 的关系，首先利用表一的数据分别作出y 对1x 和2x 的散点图 y 与x1的关系 程序代码：

x1=[ 0 0 ]; y=[ ]; A=polyfit(x1,y,1) y1=polyval(A,x1); plot(x1,y1,x1,y,'go')

y 与x2的关系

x2=[ ]; y=[ ]; A=polyfit(x2,y,2) x3=::;

y2=polyval(A,x3); plot(x2,y,'go',x3,y2)

图1 y 对x1的散点图 图2 y 与x2的散点图

从图1 可以发现，随着1x 的增加，y 的值有比较明显的线性增长趋势，图中的直线是用线性模型 011y x ββε=++ （1） 拟合的（其中ε是随机误差），而在图2中，当2x 增大时，y 有向上弯曲增长的趋势，图中的曲线是用二次函数模型 201122y x x βββε=+++ （2）

拟合的。

综合上面的分析，结合模型（1）和（2）建立如下的回归模型 20112232y x x x ββββε=++++ (3)

(3)式右端的1x 和2x 称为回归变量（自变量），20112232x x x ββββ+++是给定价格差1x ，广告费用2x 时，牙膏销售量y 的平均值，其中的参数0123,,,ββββ称为回归系数，由表1的数据估计，影响y 的其他因素作用都包含在随

机误差ε中，如果，模型选择的合适，ε应大致服从均值为0的正态分布。

五、模型求解

（2）确定回归模型系数，求解出教程中模型（3）； 程序代码：

x4=[ones(30,1),x1,x2,x2.^2];

[b,bint,r,rint,stats]=regress(y,x4)

b =

模型（3）中回归变量1x ，2x 对因变量y 的影响是相互独立的，即牙膏销售量y 的均值和广告费用2x 的二次关系由回归系数2β，3β确定，而不依赖与价格差1x ，同样，y 的均值与1x 的线性关系由回归系数1β确定，不依赖于2x 。根据经验可参想，1x 和2x 之间的交互作用会对y 有影响，简单的用1x ，2x 的乘积代表他们的交互作用，将模型（3）增加一项，得到：

2

0112232412y x x x x x βββββε=+++++ （5）

在这个模型中，y 的均值与2x 的二次关系为22232412x x x x βββ++，由系

数2β，3β，4β确定，并依赖与价格差1x 。

（3）对模型进行改进，确定回归模型系数，求解出教程中模型（5）； 程序代码：

x5=[ones(30,1),x1,x2,x2.^2,x1.*x2]; [b,bint,r,rint,stats]=regress(y,x5)

b =

过大约百万元，价格差定在元时的销售量，比价格差定在元的大 ，也就是说，这时的价格优势会使销售量增加。 完全二次多项式模型

y =β0 +β11x + β22x + β31x 2x + β41x 2 + β5 2x 2 + ε (10) （4）对模型进一步改进，求解出教程中模型（10）。 程序代码：

x1=[;;;0;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;0;;]; x2=[;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;]; xtu8=[x1,x2];

y=[;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;]; rstool(xtu8,y,'quadratic' )

从左下方的输出Export 可以得到模型（10）的回归系数的估计值为

∧

β

=(∧

β

，∧

β

1

，∧

β

2

，∧

β

3

，∧

β

4

，∧

β

5

)

=