第二章 Petri网的基本概念及性质

证：(1) 由于M R(M0)，所以M’ R(M): M’
R(M0) ，从而R(M) R(M0) 。 同理可证(2)。
可达性

定义2.3. 设PN=(P,T;F, M0)为一个Petri网，M R(M0)。如果M’ R(M0)，都有M R(M’ )，则 称M为PN的一个可返回标识或一个家态（home state）。 定义2.4. 设PN=(P,T;F, M0)为一个Petri网。如果M0 是一个家态，则称PN为可逆网系统（reversible net system），或称可回复系统。
j-1
#(σ, t2) =0→#(σ, t1) k1 t2 σj, j k1.
持续性

定义2.11.设PN=(P,T;F, M0)为一个Petri网。如果对 任意 M R(M0) 和任意t1,t2T (t1 t2)，有 ( M[t1> M[t2>M’)→ M’[t1> 则称PN为持续网系统。
可达性 有界性和安全性 活性 公平性 持续性
可达性

可达性是Petri网的最基本的动态性质，其余各种性质都要通过可达 性来定义 定义2.1. 设PN=(P,T;F,M)为一个Petri网。

如果存在tT，使M[t>M’，则称M’为从M直接可达的
如果存在变迁序列t1, t2, t3,,tk和标识序列M1,M2, M3,,Mk使 得
M[t1>M1[t2>M2,,Mk-1 [tk>Mk 则称Mk为从M可达的
从M可达的一切标识的集合记为R(M)，约定M R(M)
(2.1)
如果记变迁序列t1, t2, t3,,tk为，则(2.1)式也可记为M [ >Mk
可达性

设初始标识M0表示系统的初始状态，R(M0)给 出系统运行过程中可能出现的全部状态的集合。 定义2.2. 设PN=(P,T;F, M0)为一个Petri网, M0为初始标识。PN的可达标识集R(M0)定义为 满足下面两条件的最小集合：
？
如果一个Petri网中没有死变迁， 那么它是活的吗？是弱活的吗？
t3是死变迁
公平性

在Petri网中引入公平性（fairness）概念，旨在讨论网系统中两个变迁的 发生之间的相互关系。这种关系反映被模拟系统的各个部分在资源竞争中的 无饥饿性问题。 定义2.9. 设PN=(P,T;F, M0)为一个Petri网， M0为初始标识，t1,t2T。 如果存在正整数k，使得 M R(M0) ， σ T*：M[σ>都有 #(σ, ti) =0→#(σ, t3-i)k, i=1,2 则称变迁t1和t2处于公平关系。 如果PN中任意两个变迁都处于公平关
第二部分 Petri网的动态性质
提纲

网系统(以原型Petri网为模型)运行过程中的一些 性质统称为动态性质(dynamic properties)
或行为性质(behavioral properties)

这些性质同Petri网所模拟的实际系统运行过程中 的某些方面的性质有密切的联系
提纲

M R(M0) ， t1,t2T (t1 t2)， t1和t2 在M不存在冲突。
持续性

定理2.7. 若N=(P,T;F)为一个T-图，则对N的 任意初始标识M0，PN =(N, M0)都是持续网系
统。
证明：已知 M R(M0) 和任意t1,t2T (t1 t2)，有( M[t1> M[t2>M’)。 并且 •t1∩•t2 = Φ, t1•∩t2• = Φ 证明M’[t1> 。
（1） M0 R(M0)；
（2）若M R(M0)，且存在tT，使得M[t>M’， 则M’ R(M0)

可达性

定理2.1. 设PN=(P,T;F, M0)为一个Petri网， M0为初始标识。则：
(1) 对任意M R(M0)，都有R(M) R(M0) ； (2) 对任意M1 , M2 R(M0)， R(M1)= R(M2)当且 仅当M1 R(M2)且M2 R(M1) 。
(0, 0, 1, 0, 0)
t4
t3
p5
t5
t6
(0, 0, 0, 1, 0)
(0, 0, 0, 0, 1)
t6
PN是弱活的，但不是活的
活性

定义2.8.设PN=(P,T;F, M0)为一个Petri网， tT。 若 M R(M0)： M[t>，则称变迁t为死的。
p1
t1 p2
t2
t3
有界性和安全性

定理2.2. 设PN=(P,T;F, M0)为一个Petri网。R(M0)为有限集当且仅当 PN是有界的。
证：
活性

Petri网活性（Liveness）概念的提出源于对实际系统运行中是否会出现死锁的探索 的需要。 定义2.6. 设PN=(P,T;F, M0)为一个Petri网， M0为初始标识，tT。如果对任意 M R(M0)，都存在M’ R(M)，使得M’[t>，则称变迁t为活的。 如果每个

tT 都是活的，则称PN为活的Petri网。
p1
t1 p2 t4 t2
p1
不活的
t1 p2
t2
t3
t3 2 p3 p4
t1和t2是活的， t3是不活的
活的
活性

与实际系统中的无死锁概念更为接近的定义。 定义2.7. 设PN=(P,T;F, M0)为一个Petri网， 如果对M R(M0)， 使得 tT：M[t>，则称M为PN的一个死标识 （dead marking）。如果PN中不存在死标识，则称PN为弱 活的（weak live）或者不死的（non-dead）。 定理2.3.设PN=(P,T;F, M0)为一个Petri网。若PN中有一个 变迁是活的，则PN是弱活的。
网系统家态的存在是一个良好性质，在评测系统性能或在系统模拟过程中 具有非常关键的作用。

可达性

推论2.1. 设PN=(P,T;F, M0)为一个Petri网， M1 , M2是PN的家态，则 R(M1)= R(M2) 。 证明：因为M1 , M2是PN的家态， 所以首先有M1 R(M0)，M2 R(M0)， 进而M1 R(M2)， M2 R(M1)。
公平性实例
变迁序列： (1) (t1t2t3t4)* k=1 (2) 弱公平 非公平，因为若选定某个k, 则只要让p1中 存储k+1个token, 就无法满足条件

定理2.5
(1) |\sigma|=1, M[t1> 且 M[t2>, 则根据持续网的定义，M[t1t2>且M[t2t1> (2) 假设|\sigma|<=n时结论成立，那么对于t2\sigma’ t3(|\sigma’|=n-1) 则 有: M[t1>且M[t2>, 所以M[t2>M’[\sigma’ t3>且M[t2>M’[t1> ，根据归 纳假设，M’ [\sigma’ t3t1>, 所以M[t1t2\sigma’ t3> 同时，M[t2\sigma’ >M’[t3>, 而根据归纳假设，M[t2\sigma’ t1>，所以 M’[t1],
B(p)=min{B| M R(M0): M(p)B}
当B(p)=1时，称库所p为安全的（safe）。

定义2.5. 设PN=(P,T;F, M0)为一个Petri网。如果每个pP都是 有界的，则称PN为有界Petri网。称
B(PN)=max{B(p)| p P} 为PN的界。当B(PN)=1时，称PN为安全的。

证：用反证法。假设PN不是弱活的，则必存在一个死标识M
R(M0)， 即 tT：M[t>。从而不存在M’ R(M)，使得 M’[t>。即任一个变迁都不是活的，这同假设矛盾。
活性
t5 t1 p1 p3 t2 t4 p2 t3 (0, 1, 0, 0, 0)
p4
(1, 0, 0, 0, 0) t1 t2
p1
t2
Байду номын сангаасp3 t4
t1
p2 t3 p4
t2和 t3是公平关 系，也是弱公平 关系
t2和 t3是弱公平 关系，但不是公 平关系
公平性

定理2.4. Petri网中变迁之间的公平关系是一种等价关系 证：公平关系的自反性和对称性是显然的。下面证明其传递性。 设t1和t2处于公平关系，即存在k1，使得 M R(M0) ， σ T*：M[σ>都有 #(σ, t1) =0→#(σ, t2) k1 把σ写成σ = σ0 t2 σ1 t2 σ2 t2 σ3 σ 显然#(σi , t2) =0 设t2和t3处于公平关系，即存在k2，使得 M R(M0) ， σ’ T*：M[σ’>都有 #(σ’, t2) =0→#(σ’, t3) k2 其中k=max{k2 (k1+1) , k1 (k2+1) } 即#(σ, t1) =0→#(σ, t3) k 同理可证#(σ, t3) =0→#(σ, t1) k 所以，t1和t3处于公平关系。 #(σ’, t3) =0→#(σ’, t2) k2 则由t2和t3的公平关系可知#(σi, t3) k2 ， #(σ, t3) k2(j+1) k2 (k1+1) k.
根据定理2.1(2)，则有R(M1)= R(M2)。
有界性和安全性

定义2.4. 设PN=(P,T;F, M0)为一个Petri网, pP。若存在正整数 B, 使得 M R(M0): M(p)B, 则称库所p为有界的(bounded)。 并称满足此条件的最小正整数B为库所p的界，记为B(p)。即


系，则称PN为公平Petri网。其中
#(σ, ti)表示在序列σ中ti的出现次数。

如果PN中不存在可发生的无限变迁序列，则网系统总是公平的。
公平性

定义2.10. 设PN=(P,T;F, M0)为一个Petri网， M0为初始标识，t1,t2T。如果 M R(M0)，都存在正整数k，使得 σ T*：M[σ>都有 #(σ, ti) =0→#(σ, t3-i)k, i=1,2 则称变迁t1和t2处于弱公平关系。 如果PN中任意两个变迁都处于弱公平关系，则 称PN为弱公平Petri网。
有界性和安全性
p1 t0 t1 p2 t4 库所p3无界 其它库所的界为1 B(p1) =B(p2) =B(p3)=2 其它库所界为1 t2 p3
p1
p4
t1
p2
p5 p0
t2
p3 t5
t3 p4
t3
t4
p6
Petri网的有界性（boundedness）反映 被模拟系统运行过程中对有关资源的容量要求

定理2.5.设PN=(P,T;F, M0)为一个持续网系统。对于
任意 M R(M0)，如果 M[t1> 且M[σ>， #(σ, t1) =0，则有M[t1σ> 且M[σt1>。
证明：对σ的长度进行数学归纳。
持续性

定理2.6. 设N=(P,T;F)为一个纯网，那 么PN =(N, M0)是持续网系统的充要条件