双边Z变换与反变换

k N1


x[k ]z
-k
Im z ROC
z RR
-
Re z
若N 1 < 0 :
R- < z <
z变换
双边z变换定义及收敛域
(3) 左边序列
X ( z)
若N 2 0 :
若N 2 0 :
k -
Im z

N2
x[k ]z
-k
z < R 0 < z < R
z变换
ROC
Z a k x[k ] X ( z / a)
ROC a Rx
4. z域微分特性
dX ( z ) kx[k ] - z dz
5. 序列卷积
ROC Rx
x1[k ] x2 [k ] X1 ( z) X 2 ( z)
z变换
ROC 包含Rx1∩Rx2
双边z变换的主要性质
6.时间翻转(time reversal)
x[-k ] X (1 / z)
Z
1 1 < z< Rx Rx -
z变换
例：两个序列的自相关定义为， rx [n]

k
x[k ]x[n k ]
求Z{rx[n]}。 解：
Z{rx [n]} x[k ]Z{x[n k ]}
k
利用双边z变换的时域位移性质，可得
Z{rx [n]} x[k ] X ( z ) z X ( z -1 ) X ( z)
dz 2
1
d m -1
1
z 0
( m - 1)! dz m -1 ( z - a ) 2
(-1) m -1 m! 1 (m - 1)! ( z - a ) 2 m -1
m a-( m1) -(k 1)a k
z 0
x[ k ] -( k 1) a k u[ - k - 1]
x2 [k ] a u[k ]
k
x3[k ] -bk u[-k -1]
解：
X1 ( z) z
k 0

N -1
-k
1- z-N -1 1- z
-k
z 0
X 2 ( z) a z
k k 0 -1
1 1 - az-1
-k
z a z<b a<z<b
X 3 ( z)
z变换
双边z变换定义及收敛域
序列双边z变换的定义为
X ( z)
k -


x[k ]z -k
能够使上式收敛的z值区域称为z变换的收敛域 (Region of Convergence, ROC) 收敛域(ROC): R-< |z|<R+
z变换
例：求下列信号的z变换及收敛域。
x1[k ] RN [k ] x4[k ] x2[k ] x3[k ]
(1) |z|3 ，H1(z)和 H2(z)均对应右边序列
h[k ] (-2k 1 3k 1 )u[k ]
(2) 2<|z|<3，H1(z)对应右边序列， H2(z) 对应左边序列
h[k ] -2k 1 u[k ] - 3k 1 u[-k - 1]
(3) |z|<2 ，H1(z)和 H2(z)均对应左边序列
数Baidu Nhomakorabea信号处理
(Digital Signal Processing)
信号与系统系列课程组 国家电工电子教学基地
离散信号与系统分析基础
离散信号与系统的时域分析 离散信号的频域分析 离散系统的频域分析 双边z变换与反变换 离散系统的系统函数 全通滤波器与最小相位系统 信号的抽样与重建
双边z变换
双边z变换定义及收敛域 双边z变换的主要性质 双边z反变换
1 (1 - az -1 ) 2
,
求： (1) ROC为|z||a|时的x[k]； (2) ROC 为|z|<|a|时的x[k]。
解:
(1) x[ k ]
1 2 πj
C
z
k -1 -1 -2
(1 - az )
dz
1 2 πj
C
z k 1 ( z - a)
2
dz
由于ROC为|z|>|a|，所以
k -

-b z
k
1 -1 1 - bz
1 1 X 4 ( z) -1 1 - az 1 - bz -1
双边z变换定义及收敛域
(1) 有限长序列
X ( z)
k N1

N2
x[k ]z
-k
ROC
0< z <
z变换
双边z变换定义及收敛域
(2) 右边序列
X ( z)
若N 1 0 :
解 : ( 2) x[ k ]
当 k -1 时
1 2 πj
C
z k 1 ( z - a)
dz 由于ROC为|z|<|a|，所以 2
x[k]=0 (围线C内无极点)
当 k -2 时
令 - k - 1 m, m 1, 2,
x[ k ]
1 2 πj
C
1 z m ( z - a)
k k
例 : 利用z变换性质 , 求a k u[ - k - 1]的z变换。
解：
由于
a z a u[k -1] 1 - a -1 z -1
-k Z
-1
-1
z 1/ a
利用双边z变换的时域翻转性质，可得
-1 a z 1 Z k a u[-k -1] -1 1- a z 1 - az-1
R+
Re z
双边z变换定义及收敛域
(4) 双边序列
X ( z)
k -


x[k ]z
-k
Im z ROC
ROC R- < z < R
R
-
Re z
R
+
z变换
双边z变换的主要性质
x1[k ] X1 ( z)
x2 [k ] X 2 ( z)
1.线性特性
ROC Rx {z; Rx < z < Rx }
1 11
ROC Rx {z; Rx < z < Rx }
2 22
ax1[k ] bx2[k ] aX1 ( z) bX2 ( z)
ROC包含 Rx Rx
1 2
2．位移特性 x [k - n] z -nX(z)
z变换
ROC = Rx
双边z变换的主要性质
3.指数加权特性
z<a
双边z反变换
1 2 πj
x[ k ]
C
X ( z ) z k -1 dz
C为X(z) 的ROC中的一闭合曲线。
部分分式法 留数法
z变换
双边z反变换
部分分式法求z反变换
将序列z变换分解为部分分式之和， 然后求解各部分分式对应的z反变换
a [k ]
k Z k
1 1 - az
Z -1
h[k ] 2k 1 u[-k - 1] - 3k 1 u[-k - 1]
双边z反变换
留数法求z反变换
根据复变函数积分理论
x[ k ]
1 2 πj
C
X ( z) z
k -1
dz
k -1


i
Re s{ X ( z ) z
}z p
i
C为X(z) 的ROC中的一闭合曲线。
z变换
例：X ( z )
当 k < -1 时 当 k -1 时
x[k]=0 (围线C内留数和为零)
x[ k ]
k
dz k 1 dz
z a
(k 1)a k
k
x[k ] (k 1)a u[k 1] (k 1)a u[k ]
例：X ( z )
1 (1 - az -1 ) 2
,
求： (1) ROC为|z||a|时的x[k]； (2) ROC 为|z|<|a|时的x[k]。
| z | | a | 1 | z | <| b |
- b [ - k - 1]
1 - bz
-1
z变换
例 :已知H ( z )
1 (1 - 2 z -1 )(1 - 3 z -1 )
H1(z)
, 求所有不同收敛情况下 的h[ k ]。
H2(z)
解：
-2 3 H ( z) -1 1 - 2z 1 - 3z -1