2021年中考专题复习-相似三角形 讲义

相似三角形

知识结构

模块一：比例线段知识精讲

一、比和比例

一般来说，两个数或两个同类的量a 与b 相除，叫做a 与b 的比，记作:a b （或表示为a b

）；

如果::a b c d =（或a c b

d

=），那么就说a 、b 、c 、d 成比例．

二、

比例的性质

（1） 基本性质： 如果a c b

d

=，那么ad bc =；

如果a c b

d

=，那么b d a

c

=，a b c

d

=，c d a

b

=．

（2） 合比性质：

如果a c b

d

=，那么a b c d b

d

++=；

如果a c b

d

=，那么a b c d b

d

--=．

（3） 等比性质：

如果a c k b

d

==，那么a c a c k b d

b

d

+===+．

三、比例线段的概念

对于四条线段a 、b 、c 、d ，如果::a b c d =（或表示为a c b

d

=），那么a 、

b 、

c 、

d 叫做成比例线段，简称比例线段．

四、黄金分割

如果点P 把线段AB 分割成AP 和PB （AP PB >）两段（如下图），其中AP 是AB 和PB 的比例中项，那么称这种分割为黄金分割，点P 称为线段AB 的黄金分割点．其中，51

0.6182

AP AB

-=

≈，称为黄金分割数，简称黄金数．

五、三角形一边的平行线性质定理

平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的对应线段成比例．

如图，已知ABC ∆，直线l // BC ，且与AB 、AC 所在直线交于点

D 和点

E ，那么AD AE

DB

EC

=．

六、三角形一边的平行线性质定理推论

A

P

B

l

A

B C

D

E

A

B

C D E

A

B C

D

E l

l

平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例．

如图，点D 、E 分别在ABC ∆的边AB 、AC 上，

如果DE // BC ，那么DE AD AE

BC

AB AC

==

．

七、三角形的重心

定义：三角形三条中线交于一点，三条中线交点叫三角形的重心． 性质：三角形重心到一个顶点的距离，等于它到这个顶点对边中点的

距离的两倍．

八、三角形一边的平行线判定定理

如果一条直线截三角形的两边所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．

九、三角形一边的平行线判定定理推论

如果一条直线截三角形的两边的延长线（这两边的延长线在第三边的同侧）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．

A

B

C

D

E

如图，在ABC

∆中，直线l与AB、AC所在直线交于点D和点E，

如果AD AE

DB EC

=，那么l//BC．

十、平行线分线段成比例定理

两条直线被三条平行的直线所截，截得的对应线段成比例．

如图，直线

1

l//

2

l//3l，直线m与直线n被直线1l、2l、3l所截，那么DF EG

FB GC

=．

A

B C

D E

A

B C

D E A

B C

D

E

B C

D E

F G

A

B

C

D

E

十一、平行线等分线段定理

两条直线被三条平行的直线所截，如果一条直线上截得的线段相

等，那么另一条直线上 截得的线段也相等．

【例1】 如图，点D 、E 分别在ABC ∆的边AB 和BC 上．下列所给

的四个条件中，不一定能得到DE // AC 的条件是（ ）

A ．BE BC BD

BA

=B ．CE AD BE

BD

=

C ．B

D D

E BA

AC

=D ．BC CE AB

AD

=

【例2】 在比例尺为1 : 40000的一张地图上，量得A 、B 两地的

距离是37 cm ，那么A 、B 两地的实际距离是______km ．

例题解析

E

【例3】 （2015学年·普陀区二模·第5题）如图，已知1l //2l //3l ，

DE = 4，DF = 6，那么下列结论正确的是（ ）

A ．BC : EF = 1 : 1

B ．B

C : AB = 1 : 2 C ．A

D : EF = 2 : 3 D ．B

E : C

F = 2 : 3

【例4】 如果线段a = 4 cm ，b = 9 cm ，那么它们的比例中项是

______cm ．

【例5】 四边形ABCD 是平行四边形，点E 在边BA 的延长线上，

F

E

D

A

B C