建筑力学第二章笔记

第二章平面汇交力系
教学目的：1、理解力在直角坐标轴上的投影和合力投影定理，
2、掌握平面汇交力系平衡方程
教学重点: 平面汇交力系平衡方程
教学难点：合力投影定理
引言：
平面力系——各力作用线都在同一平面内的力系。

空间力系——各力作用线不在同一平面内的力系。

汇交力系——作用线交于一点的力系。

本节主要研究平面力系的简化和合成方法，平衡条件和平衡方程，应用平衡方程求解物体平衡问题的方法步骤。

静力学是研究力系的合成和平衡问题。

平面汇交力系
平面力系平面平行力系
力系平面一般力系
空间力系
平面汇交力系的工程实例：
一、力的分解
按照平行四边形法则，两个共作用点的力，可以合成为一个合力，解是唯一的；但反过来，要将一个已知力分解为两个力，如无足够的条件限制，其解将是不定的。

1、力在坐标轴上的投影
F x=Fcosa
F y=Fsina
注意:力的投影是代数量，它的正负规定如下：如由a到b(或由a1到b1)的趋向与x轴（或y轴）的正向一致时，则力F的投影F x（或F y）取正值；反之，取负值。

力F可分解为F x、F y，可见利用力在直角坐标轴上的投影，可以同时表明力沿直角坐标轴分解时分力的大小和方向。

2、合力投影定理
若刚体在平面上的一点作用着n个力F1，F2，…，F n，按两个力合成的平行四边形法则（三角形），从而得出力系的合力等于力系中各分力的矢量和。

即：
一般地，则其合力的投影
合力投影定理——合力在某一轴上的投影等于各分力在同一轴上投影的代数和。

合力投影定理是用解析法求解平面汇交力系合成与平衡问题的理论依据。

3、平面汇交力系的平衡条件
平面汇交力系可以合成为一个合力，即平面汇交力系可用其合力来代替。

显然，如果合力等于零，则物体在平面汇交力系的作用下处于平衡状态。

平面汇交力系平衡的必要和充分条件是该力系的合力F等于零。

即
即
——————————平面汇交力系的平
衡方程力系中所有各力在两个坐标轴中每一轴上投影的代数和都等于零。

这是两个独立的方程，可以求解两个未知量。

例 1 如图所示为一吊环受到三条钢丝绳的拉力作用。

已知F1=2000N，水平向左；F2=5000N，与水平成300角；F3=3000N，铅直向下，试求合力大小。

（仅是求合力大小）
解：以三力交点为原点。

F1x=-F1=-2000N, F2x=-F2cos300=-5000×0.866N=-4330N, F3x=0 F1y=0, F2y=-F2sin300=-5000×0.5N=-2500N, F3x=-F3=-3000N
F x=∑F x=-2000-4330+0=-6330N
F y=∑F y=0-2500-3000=-5500N
由于F x、F y都是负值，所以合力应在第三象限，图b。

例2 图示为一简易起重机装置，重量G=2kN的重物吊在钢丝绳的一端，钢丝绳的另一端跨过定滑轮A，绕在绞车D的鼓轮上，定滑轮用直杆AB和AC支承，定滑轮半径较小，大小可忽略不计，定滑轮、直杆以及钢丝绳的重量不计，各处接触都为光滑。

试求当重物被匀速提升时，杆AB、AC所受的力。

解因为杆AB、AC都与滑轮接触，所以杆AB、AC上所受的力就可以通过其对滑轮的受力分析求出。

因此，取滑轮为研究对象，作出它的受力图并以其中心为原点建立直角坐标系。

由平面汇交力系平衡条件列平衡方程有
求出：
F NAC为负值，表明F NAC的实际指向与假设方向相反，即AC杆为受压杆件
平面汇交力系平衡的必要和充分条件是该力系的合力F等于零。

力系中所有各力在两个坐标轴中每一轴上投影的代数和都等于零。

这是两个独立的方程，可以求解两个未知量。

二、解静力学平衡问题的一般方法和步骤：
1.选择研究对象所选研究对象应与已知力（或已求出的力）、未知力有直接关系，这样才能应用平衡条件由已知条件求未知力；
2.画受力图根据研究对象所受外部载荷、约束及其性质，对研究对象进行受力分析并得出它的受力图。

3.建立坐标系在建立坐标系时，最好选取有一轴与一个未知力垂直。

4.列平衡方程解出未知量根据平衡条件列平衡方程时，要注意各力投影的正负号。

如果计算结果中出现负号时，说明原假设方向与实际受力方向相反。

一、平面汇交力系合成的几何法
1. 两个汇交力的合成。

平行四边形法则三角形法则
2. 任意个汇交力的合成
结论：平面汇交力系合成的结果是一个合力，合力的大小和方向等于原力系中各力的矢量和，合力作用线通过原力系各力的汇交点。

二、平面汇交力系平衡的几何条件
F R=ΣF=0
平面汇交力系平衡的几何条件为：力多边形自行闭合
几何法求解平面汇交力系平衡问题的步骤如下：
⑴选取研究对象。

根据题意选取与已知力和未知力有关的物体作为研究对象，并画出简图。

⑵受力分析，画出受力图。

在研究对象上画出全部已知力和未知力（包括约束反力）。

注意运用二力杆的性质和三力平衡汇交定理来确定约束反力的作用线。

当约束反力的指向未定时，可先假设。

⑶作力多边形。

选择适当的比例尺，作出封闭的力多边形。

注意，作图时先画已知力，后画未知力，按力多边形法则和封闭特点，确定未知力的实际指向。

⑷量出未知量。

根据比例尺量出未知量。

对于特殊角还可用三角公式计算得出。

几何法简捷、直观，但精确度有赖准确作图。

力学中常采用解析法。

这种方法以力在坐标轴上投影的计算为基础。

一、平面汇交力系合成的解析法 1. 力在坐标轴上的投影 简图说明
投影符号正、负的规定：当从力始端投影到终端投影的方向与坐标轴的正向一致时，该投影取正值；反之，取负值。

两种特殊情形：
⑴ 当力与轴垂直时，投影为零。

⑵ 当力与轴平行时，投影的绝对值等于力的大小。

投影与分力二者不可混淆。

2. 合力投影定理
合力投影定理：合力在任一坐标轴上的投影等于各分力在同一坐标轴上投影的代数和。

3. 用解析法求平面汇交力系的合力
()()⎪⎪⎭
⎪⎪
⎬⎫
∑∑=
=
∑+∑=
+=
X
Y RX
RY 2Y 2X 2
RY 2RX R tan F F F F F F F F F α 式中α为合力F R 与x 轴所夹的锐角。

合力的作用线通过力系的汇交点O ，合力F R 的指向，由F RX 和F RY (即ΣF X 、ΣF Y )的正负号来确定。

解析法求解平面汇交力系平衡问题时的步骤归纳如下：
1. 选取研究对象。

2. 画出研究对象的受力图。

当约束反力的指向未定时，可先假设其指向。

3. 选取适当的坐标系。

最好使坐标轴与某一个未知力垂直，以便简化计算。

4. 建立平衡方程求解未知力，尽量作到一个方程解一个未知量，避免解联立方程。

列方程时注意各力的投影的正负号。

求出的未知力带负号时，表示该力的实际指向与假设指向相反。

小结
一、简要复习上节内容： 1. 力在坐标轴上的 投影的概念
正负规定：当从力始端投影到终端投影的方向与坐标轴的正向一致时，该投影取正值；反之，取负值。

两种特殊情形：
⑴ 当力与轴垂直时，投影为零。

⑵ 当力与轴平行时，投影的绝对值等于力的大小。

2. 合力投影定理 3. 求合力
()()⎪⎪⎭
⎪
⎪
⎬⎫
∑∑=
=
∑+∑=
+=
X
Y RX
RY 2Y 2X 2
RY 2RX R tan F F F F F F F F F α
4. 平面汇交力系的平衡方程
Σ
F X =0 ΣF Y =0。