初三数学解直角三角形的总复习华东师大版知识精讲.doc

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华东师大初中数学九年级上册《解直角三角形》全章复习与巩固(基础) 知识讲解(精选)

《解直角三角形》全章复习与巩固（基础）知识讲解【学习目标】1.了解锐角三角函数的概念，能够正确应用sinA 、cosA 、tanA 、cotA 表示直角三角形中两边的比；记忆30°、45°、60°的正弦、余弦、正切和余切的三角函数值，并能由一个特殊角的三角函数值说出这个角的度数.2.能够正确地使用计算器，由已知锐角求出它的三角函数值，由已知三角函数值求出相应的锐角；3.理解直角三角形中边与边的关系，角与角的关系和边与角的关系，会运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余、直角三角形斜边上中线等于斜边的一半，以及锐角三角函数解直角三角形，并会用解直角三角形的有关知识解决简单的实际问题.4.通过锐角三角函数的学习，进一步认识函数，体会函数的变化与对应的思想；5.通过解直角三角形的学习，体会数学在解决实际问题中的作用.【知识网络】【要点梳理】要点一、直角三角形的性质（1）直角三角形的两个锐角互余.（2）直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.（勾股定理）如果直角三角形的两直角边长分别为a b ，，斜边长为c ，那么222a b c +=.（3）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 要点二、锐角三角函数1.正弦、余弦、正切、余切的定义如右图，在Rt △ABC 中，∠C=900，如果锐角A 确定：(1)∠A 的对边与斜边的比值是∠A 的正弦，记作sinA ＝ ∠A 的对边斜边(2)∠A 的邻边与斜边的比值是∠A 的余弦，记作cosA ＝ ∠A 的邻边斜边(3)∠A 的对边与邻边的比值是∠A 的正切，记作tanA ＝ ∠A 的对边∠A 的邻边(4)∠A 的邻边与对边的比值是∠A 的余切，记作cotA ＝ ∠A 的邻边∠A 的对边要点诠释：(1)正弦、余弦、正切、余切是在一个直角三角形中定义的，其本质是两条线段的比值，它只是一个数值，其大小只与锐角的大小有关，而与所在直角三角形的大小无关.(2)sinA 、cosA 、tanA 、cotA 是一个整体符号，即表示∠A 四个三角函数值，书写时习惯上省略符号“∠”，但不能写成sin ·A ，对于用三个大写字母表示一个角时，其三角函数中符号“∠”不能省略，应写成sin ∠BAC ，而不能写出sinBAC.(3)sin 2A 表示(sinA)2，而不能写成sinA 2. (4)三角函数有时还可以表示成等.2.锐角三角函数的定义锐角∠A 的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A 的锐角三角函数. 要点诠释：1. 函数值的取值范围对于锐角A 的每一个确定的值，sinA 有唯一确定的值与它对应，所以sinA 是∠A 的函数.同样，cosA 、tanA 、cotA 也是∠A 的函数，其中∠A 是自变量，sinA 、cosA 、tanA 、cotA 分别是对应的函数.其中自变量∠A 的取值范围是0°＜∠A ＜90°，函数值的取值范围是0＜sinA ＜1，0＜cosA ＜1，tanA ＞0，cotA ＞0.2．锐角三角函数之间的关系：余角三角函数关系：“正余互化公式” 如∠A+∠B=90°，那么：sinA=cosB ； cosA=sinB ； tanA=cotB, cotA=tanB.同角三角函数关系：sin 2A ＋cos 2A=1；sin cos 1tanA=,cot ,tan .cos sin cot A A A A A A A==在直角三角形中，如果一个角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.30°、45°、60°角的三角函数值和解含30°、60°角的直角三角形、含45°角的直角三角形为本章的重中之重，是几何计算题的基本工具.要点三、解直角三角形在直角三角形中，由已知元素求出未知元素的过程，叫做解直角三角形．解直角三角形的依据是直角三角形中各元素之间的一些相等关系，如图：角角关系：两锐角互余，即∠A+∠B=90°；边边关系：勾股定理，即；边角关系：锐角三角函数，即sin ,cos ,tan ,cot a bab A A A Ac c b a ==== sin ,cos ,tan ,cot b aba B B B B c c a b==== 要点诠释：解直角三角形，可能出现的情况归纳起来只有下列两种情形： (1)已知两条边(一直角边和一斜边；两直角边)；(2)已知一条边和一个锐角(一直角边和一锐角；斜边和一锐角)．这两种情形的共同之处：有一条边．因此，直角三角形可解的条件是：至少已知一条边．求∠，要点四、解直角三角形的应用解直角三角形的知识应用很广泛，关键是把实际问题转化为数学模型，善于将某些实际问题中的数量关系化归为直角三角形中的边角关系是解决实际应用问题的关键.1.解这类问题的一般过程(1)弄清题中名词、术语的意义，如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念，然后根据题意画出几何图形，建立数学模型.(2)将已知条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形的问题.(3)根据直角三角形(或通过作垂线构造直角三角形)元素(边、角)之间的关系解有关的直角三角形.(4)得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，得出实际问题的解.2.常见的应用问题类型(1) 仰角与俯角：(2)坡度：；坡角:.(3)方向角：要点诠释：1．用解直角三角形的知识解决实际问题的基本方法是：把实际问题抽象成数学问题(解直角三角形)，就是要舍去实际事物的具体内容，把事物及它们的联系转化为图形(点、线、角等)以及图形之间的大小或位置关系．借助生活常识以及课本中一些概念(如俯角、仰角、倾斜角、坡度、坡角等)的意义，也有助于把实际问题抽象为数学问题．当需要求解的三角形不是直角三角形时，应恰当地作高，化斜三角形为直角三角形再求解．2．锐角三角函数的应用用相似三角形边的比的计算具有一般性，适用于所有形状的三角形，而三角函数的计算是在直角三角形中解决问题，所以在直角三角形中先考虑三角函数，可以使过程简洁。

九年级数学上册24解直角三角形锐角三角函数讲义华东师大版

锐角三角函数重难点易错点解析题面：已知：如图,Rt△ABC中,∠C＝90°．D是AC边上一点,DE⊥AB于E点．DE∶AE＝1∶2．求：sin B、cos B、tan B．金题精讲题面：已知：如图,△ABC中,∠B＝30°,P为AB边上一点,PD⊥BC于D．当BP∶PA＝2∶1时, 求sin∠1、cos∠1、tan∠1.满分冲刺题一题面：已知：如图,Rt△ABC中,∠C＝90°,∠BAC＝30°,延长CA至D点,使AD＝AB．求：(1)∠D及∠DBC；(2)tan D及tan∠DBC；(3)请用类似的方法,求°．题二1.题面：已知：如图,∠AOB ＝90°,AO ＝OB ,C 、D 是AB 上的两点,∠AOD ＞∠AOC ,求证：(1)0＜sin∠AOC ＜sin∠AOD ＜1；(2)1＞cos∠AOC ＞cos∠AOD ＞0；(3)锐角的正弦函数值随角度的增大而______；(4)锐角的余弦函数值随角度的增大而______．2.题面：已知：如图,CA ⊥AO ,E 、F 是AC 上的两点,∠AOF ＞∠AOE ．(1)求证：tan∠AOF ＞tan∠AOE ；(2)锐角的正切函数值随角度的增大而______．题三化简：ααcos sin 21⋅-(其中0°＜α＜90°)讲义参考答案重难点易错点解析答案：255sin tan 2.55B B B === 金题精讲答案：.31tan ,211cos ,231sin =∠=∠=∠ 满分冲刺题一答案：(1)∠D ＝15°,∠DBC ＝75°； (2);32tan ,32tan +=∠-=DBC D (3).125.22tan -=题二答案：1.(1)略 (2)略 (3)增大 (4)减小2.(1)略 (2)增大．题三答案：sin cos (4590),cos sin (045).αααααα⎧-≤<⎨-<<⎩。

数学：第25章解直角三角形复习课件(华东师大版九年级上)

1.如图4，在矩形ABCD中 DE ⊥ AC 于 E ，设 3 ∠ADE=a，且cosα = 5 ， AB=4，则AD的长为（
A．3
16 B． 3
B
）
16 D. 5
20 C. 3
2.2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标如图5所示，它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．• 若大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的较长直角边为a，较短直角边为b，则a+b的值为（ B ） A．35 B．43 C．89 D．97
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3.如图，小岛A在港口P的南偏西45°方向，距离港口81海里处．甲船从A出发，沿AP方向以9 海里/时的速度驶向港口，乙船从港口P• 出发，• 沿南偏东60°方向，以18海里/时的速度驶离港口，现两船同时出发，（1）出发后几小时两船与港口P的距离相等？（2）出发后几小时乙船在甲船的正东方向？（结果精确到0.1小时）（参考数据： ≈1.41 2 ， ≈1.73 ） 3
，
PC 3 3 3 3 , PC = ，即 3 PC 2 3
PC>3． ∴客轮不改变方向继续前进无触礁危险．
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2.如图，在观测点E测得小山上铁塔顶A的仰角为60°，铁塔底部B的仰角为45°．已知塔高 AB=20m，观察点E到地面的距离EF=35m，求小山BD的高（精确到0.1m， 3 ≈1.732）．
CD AB
5. 如图3所示，AB是⊙O的直
径，弦AC、BD相交于E，则
A．tan∠AED C．sin∠AED
．

初三数学第25章解直角三角形复习知识精讲华东师大版

初三数学第25章解直角三角形复习知识精讲华东师大版【同步教育信息】一. 本周教学内容：第25章解直角三角形复习二. 重点、难点：1. 重点：（1）探索直角三角形中锐角三角函数值与三边之间的关系．掌握三角函数定义式：sinA＝ac，cosA＝bc，tanA＝ab，cotA＝ba．（2）掌握30°、45°、60°等特殊角的三角函数值，并会进行有关特殊角的三角函数值的计算．（3）会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值，•由已知三角函数值求它对应的锐角．2. 难点：（1）通过探索直角三角形边与边、角与角、边与角之间的关系，领悟事物之间互相联系的辩证关系．（2）能够运用三角函数解决与直角形有关的简单的实际问题．（3）能综合运用直角三角形的勾股定理与边角关系解决简单的实际问题，提高数学建模能力．三. 知识梳理：1. 锐角三角函数（1）锐角三角函数的定义我们规定：sinA＝ac，cosA＝bc，tanA＝ab，cotA＝ba．锐角的正弦、余弦、正切、余切统称为锐角的三角函数．（2）用计算器由已知角求三角函数值或由已知三角函数值求角度对于特殊角的三角函数值我们很容易计算，甚至可以背诵下来，但是对于一般的锐角又怎样求它的三角函数值呢？用计算器可以帮我们解决大问题．①已知角求三角函数值；②已知三角函数值求锐角．2. 特殊角的三角函数值αsinαcosαtanαcotα30º123233345º22221 160º3212333由表可知：直角三角形中，30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半．3. 锐角三角函数的性质（1）0＜sinα＜1，0＜cosα＜1（0°＜α＜90°）（2）tanα·cotα＝1或tanα＝1cotα；（3）tanα＝sincosαα，cotα＝cossinαα．（4）sinα＝cos（90°－α），tanα＝cot（90°－α）．4. 解直角三角形在直角三角形中，由已知元素求出未知元素的过程叫做解直角三角形．解直角三角形的常见类型有：我们规定：Rt△ABC，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c．①已知两边，求另一边和两个锐角；②已知一条边和一个角，求另一个角和其他两边．5. 解直角三角形的应用（1）相关术语铅垂线：重力线方向的直线．水平线：与铅垂线垂直的直线，一般情况下，•地平面上的两点确定的直线我们认为是水平线．仰角：向上看时，视线与水平线的夹角．俯角：向下看时，视线与水平线的夹角．坡角：坡面与水平面的夹角．坡度：坡的铅直高度与水平宽度的比叫做坡度（坡比）．一般情况下，我们用h表示坡的铅直高度，用l表示水平宽度，用i表示坡度，即：i＝hl＝tanα．方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角叫做方向角．如图：（2）应用解直角三角形来解决实际问题时，要注意：①计算结果的精确度要求，一般说来中间量要多取一位有效数字．②在题目中求未知时，应尽量选用直接由已知求未知．③遇到非直角三角形时，常常要作辅助线才能应用解直角三角形知识来解答．其方法可以归纳为：已知斜边用正弦或余弦，已知直角边用正切和余切，•能够使用乘法计算的要尽量选用乘法，尽量直接选用已知条件进行计算．注：解直角三角形在现实生活中有广泛的应用，它经常涉及到测量、工程、航海、航空等，其中包括了一些术语，一定要根据题意明白其术语的含义才能正确解题．【典型例题】例1. 已知tanα＝34，求sin cossin cosαααα+-的值．分析：利用数形结合思想，将已知条件tanα＝34用图形表示．解：如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝α，设BC＝3k，AC＝4k，则AB22AC BC+22(4)(3)k k+5k．∴sinα＝BCAB＝35kk＝35cosα＝4455AC kAB k==，∴原式＝34553455+-＝－7．例2. 计算．（12sin45°－12cos60°；（2）cos245°+tan60°cos30°；（3）sin45sin30 cos45sin30︒-︒︒+︒；（4212sin30sin30 -︒+︒分析：这里考查的是同学们对特殊角的三角函数值的识记情况和关于根式的计算能力．处理办法是能够化简的要先化简后代入计算，不能化简的直接代入计算．解：（1sin45°－12cos60×2－12×12＝34；（2）cos245°+tan60°cos30°＝（）2＝2．（3）sin45sin30cos45sin30︒-︒︒+︒＝122＝3－；（41－sin30º＝1－12＝12．点拨：像上面第3题分子分母要分别处理，第4•题要特别注意先化简再代入计算．例3. 已知tanα＝34，求sin cossin cosαααα+-的值．分析：可将所求式子的分子、分母都除以cosα，转化为含有sincosαα的式子，•再利用tanα＝sincosαα进行转化求解．解：将式子sin cossin cosαααα+-的分子、分母都除以cosα，得原式＝31tan143tan114αα++=--＝－7规律总结：因为tanα＝34所以α不等于90°，所以cosα≠0，因此分子分母可以同时除以cosα．实现转化的目的．例4. 等腰三角形的底边长为6cm，周长为14cm，试求底角的余切值．分析：这是一个在非直角三角形中求锐角的三角函数值的题目，根据三角函数的定义，要先恰当的作辅助线（垂线）构成直角来解决．这个题涉及到等腰三角形，•作底边上的高是解决问题常见办法．解：如图所示，作等腰三角形ABC，BC为底边，AD⊥BC于D．B AC D∵△ABC 的周长为14，底边BC ＝6，∴腰长AB ＝AC ＝4．又∵AD ⊥BC ，∴BD ＝CD ＝3．在直角三角形ABD 中，∠ADB ＝90°，AD ＝22AB BD -＝2243-＝7cot ∠B ＝37BD AD=＝377．答：等腰三角形底角的余切值是377．点拨：计算一个锐角的三角函数值，应在直角三角形中来考虑，如果题中没有直角三角形，那么就要通过作辅助线来构造直角三角形．例5. Rt △ABC ，∠C ＝90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，•根据下列条件解直角三角形．（1）a ＝4，c ＝10；（2）b ＝2，∠A ＝40°；（3）c ＝3，∠B ＝58°．分析：（1）题是已知两边解直角三角形；（2）、（3）是已知一边和一角解直角三角形．解：（1）b ＝22c a -＝22104-＝221，由sinA ＝410a c =＝0.4，∠A ≈°，∠B ＝90°－∠A ＝90°°°．（2）∠B ＝90°－∠A ＝90°－40°＝50°，由tanA ＝ab ，得a ＝b ·tanA ＝2×tan40°≈2×≈1.678，由cosA ＝b c，得c ＝22cos cos 400.7660b A =≈︒≈2.611．（3）∠A ＝90°－∠B ＝90°－58°＝32°，由sinB ＝bc ，得b ＝c ·sinB ＝3·sin58°≈3×≈2.544，由cosB ＝ac，得a ＝c ·cosB ＝3×cos58°≈3×≈1.590．点拨：在选择三角函数时，一般使用乘法进行计算，能够用三角函数求其中的未知边的问题，一般不使用勾股定理求边．例6. 如图，一艘轮船从离A 观察站的正北203海里处的B 港处向正西航行，观察站第一次测得该船在A 地北偏西30°的C 处，一个半小时后，又测得该船在A•地的北偏西︒60的D 处，求此船的速度．分析：根据速度等于路程除以时间，必须求到DC 的长，观察图形，DC ＝DB －CB ，•而BD在Rt △ABD 中可求，BC 在Rt △ABC 中可求．解：在Rt △ABC 中，BC ＝AB ×tan30°＝203×33＝20（海里）．在Rt △ABD 中，BD ＝AB ×tan60°＝203×3＝60（海里）．所以DC ＝DB －CB ＝60－20＝40（海里）．船的速度是：40÷1.5＝2623（海里）．答：船的速度是2623海里．点拨：凡涉及方向角的问题，一定要确定中心，如上题中的方向角就是以A•为中心的．例7. 如图所示，河对岸有一座铁塔AB ，若在河这边C 、D•处分别用测角仪器测得塔顶A 的仰角为30°，45°，已知CD ＝30米，求铁塔的高．（结果保留根号）分析：设塔高为x 米，根据条件∠ADB ＝45°，可得BD ＝AB ＝x 米，在直角三角形ABC 中，根据∠C ＝30°，即tanC ＝ABBC 可求．解：设AB ＝x ，在Rt △ABD 中，∠ADB ＝45°，∴AB ＝BD ＝x ．在Rt △ABC 中，∠C ＝30°，且BC ＝CD+BD ＝30+x ，tanC ＝ABBC 所以tan30°＝30x x +，即33＝30xx +，x ＝（153+15）（米）．答：塔高AB 为153+15米．例8. 去年某省将地处A 、B 两地的两所大学合并成了一所综合性大学，为了方便A 、B 两地师生的交往，学校准备在相距2千米的A 、B•两地之间修筑一条笔直的公路（即图中的线段AB ），经测量，在A 地的北偏东60°方向，B 地的西偏北45°的C 处有一个半径为0.7千米的公园，问计划修筑的这条公路会不会穿过公园？为什么？分析：过C 作AB 的垂线段CM ，把AM 、BM 用含x 3x ，x 表示，利用AM+MB ＝23＝2，解出CM 的长与0.7千米进行比较，本题要体会设出CM 的长，列方程解题的思想方法．解：作CM ⊥AB ，垂足为M ，设CM 为x 千米，在Rt △MCB 中，∠MCB ＝∠MBC ＝45°，则MB ＝CM ＝x 千米．在Rt △AMC 中，∠CAM ＝30°，∠ACM ＝60°tan ∠ACM ＝AMCM∴AM ＝CM ·tan60°＝3x 千米 ∵AM+BM ＝2千米 ∴3x+x ＝2∴x ＝3－1 ≈ ∴∴这条公路不会穿过公园．例9. 如图是一个大坝的横断面，它是一个梯形ABCD ，其中坝顶AB ＝3米，经测量背水坡AD ＝20米，坝高10米，迎水坡BC 的坡度i ＝1：0.6，求迎水坡BC 的坡角∠C 和坝底宽CD ．分析：分析这一个关于梯形的计算题，要用解直角三角形的知识来解决，•一般过上底顶点作下底的垂线就能够利用直角三角形知识来解决．解：过A 、B 作AE ⊥CD 、BF ⊥CD ，垂足是E 、F ，根据题意有AE ＝BF ＝10，四边形ABFE 是矩形，EF ＝AB ＝3．在Rt △ADE 中，DE 22AD AE -222010-3（米），在Rt △BCF 中，10.6BF CF =××10＝6（米）所以CD ＝CF+EF+DE ＝3+3+6＝（3（米）．又在Rt △BCF 中，cot ∠C ＝0.6，所以∠C ≈59°．例10. 如图，如果△ABC 中∠C 是锐角，BC ＝a ，AC ＝b ．证明：C ab S ABC sin 21=∆问题图 D CB A证明：过A 作AD ⊥BC 于D ，则△ADC 是直角三角形，∴AC ADC =sin ， ∴C b C AC AD sin sin =⋅=，又∵ADBC S ABC ⋅=∆21，∴CabSABCsin21=∆．评注：本题的结论反映出三角形的两边及其夹角与这个三角形的面积之间的关系．同理还可推出：BacAbcCabSABCsin21sin21sin21===∆（三角形面积公式）【模拟试题】（答题时间：40分钟）1. 在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝50°，AB＝10，则BC的长为（）．A. 10tan50°B. 10cos50°C. 10sin50°D.10 cos50︒2. AE，CF是锐角三角形ABC的两条高，如果AE：CF＝3：2，则sinA：sinC等于（）．A. 3：2B. 2：3C. 9：4D. 4：93. 如图，为了确定一条小河的宽度BC，可在点C左侧的岸边选择一点A，•使得AC⊥BC，若测得AC＝a，∠CAB＝θ，则BC的值为（）．A. asinθB. acosθC. atanθD. acotθ4. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，下列各式中正确的是（）．A. sinA＝sinBB. tanA＝tanBC. sinA＝cosBD. cosA＝cosB5. 已知等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝60°，AD＝2，BC＝8，•则此等腰梯形的周长为（）．A. 19B. 20C. 21D. 226. 如图，秋千拉绳OB的长为3m，静止时踏板到地面的距离BE长为0.6m（•踏板的厚度忽略不计）．小亮荡秋千时，当秋千拉绳从OB运动到OA时，拉绳OA•与铅垂线OE的夹角为55°，请你计算此时秋千踏板离地面的高度AD是多少米．（精确到0.1m）7. 如图，武当山风景管理区为提高游客到景点的安全性，决定将到达该景点的步行台阶进行改善，把倾角由44°减至32°，已知原台阶AB的长为5m（BC•所在地面为水平面）．（1）改善后的台阶会加长多少？（精确到0.01m）（2）改善后的台阶多占多长一段地面？（精确到0.01m）8. 如图，沿AC方向开山修渠，为了加快施工进度，•要在小山的另一边同时施工，从AC上一点B取∠ABD＝135°，BD＝520m，∠D＝45°．如果要使A，C，E成一条直线，•那么开挖点E离D的距离约为多少米?（精确到1m）9. 如图，某校九年级（3）班的一个学习小组进行测量小山高度的实践活动，部分同学在山脚的点A处测处山腰上一点D的仰角为30°，并测得AD的长度为180m，•另一部分同学在小山顶点B处测得山脚A的俯角为45°，山腰点D处的俯角为60°，•请你帮助他们计算小山的高度BC（计算过程和结果都不取近似值）．10. 如图，汪老师要装修自己带阁楼的新居，•在搭建客厅到阁楼的楼梯AC时，为避免上升时墙角F碰头，设计墙角F到楼梯的竖直距离FG为1.75m，他量得客厅高AB＝2.8m，楼梯洞口宽AF＝2m，阁楼阳台宽EF＝3m，请你帮助汪老师解决下列问题，•要使墙角F 到楼梯的竖直距离FG为1.75m，楼梯底端C到墙角D的距离CD是多少米？【试题答案】1. B 点拨：直接利用三角函数关系求解．2. B3. C 点拨：根据图形找出对角关系．4. C 点拨：在锐角三角函数中，对于任意锐角的正弦值都等于它余角的余弦值．5. D6. 在Rt△AFO中，∠AFO＝90°，∴cos∠AOF＝OF OA，∴OF＝OA·cos∠AOF．又∵OA＝OB＝3m，∠AOF＝55°，∴OF＝3·cos55°≈1.72m，∴≈1.9m．∴AD＝EF＝1.9m．7. 如图．（1）在Rt△ABC中，AC＝AB×sin44°＝5sin44°≈3.473m．在Rt△ACD中，AD＝3.473sin32sin32AC=︒︒≈6.554m，∴AD－AB＝6.554－5≈1.55m．即改善后的台阶会加长1.55m．（2）在Rt△ABC中，BC＝AB×cos44°＝5·cos44°≈3.597m．在Rt△ACD中，CD＝3.473tan32tan32AC=︒︒≈5.558m，∴≈1.96m．即改善后的台阶多占1.96m长的一段地面．8. 368m．9. 过D作DE⊥AC于点E，作DF⊥BC于点F，则有DE∥FC，DF∥EC．∵∠DEC＝90°，∴四边形DECF是矩形，∴DE＝FC．∵∠HBA＝∠BAC＝45°，∴∠BAD＝∠BAC－∠DAE＝45°－30°＝15°．又∵∠ABD＝∠HBD－∠HBA＝60°－45°＝15°，∴△ADB是等腰三角形，∴AD＝BD＝180m．在Rt△AED中，sin∠DAE＝sin30°＝DE AD，∴DE＝180×sin30°＝180×12＝90m，∴FC＝90m．在Rt△BDF中，∠BDF＝∠HBD＝60°，sin∠BDF＝sin60°＝BF BD，word11 / 11 ∴BF ＝180·sin60°＝180×2＝，∴BC ＝BF+FC ＝+90＝90+1）m ．故小山的高度为90+1）m ．10. 根据题意有AF ∥BC ，∴∠ACB ＝∠GAF ．又∵∠ABC ＝∠AFG ＝90°，∴△ABC ∽△GFA ， ∴BC AB AF FG ，得BC ＝3.2（m ）．CD ＝（2+3）－3.2＝1.8（m ）．【励志故事】愚钝的力量大科学家爱因斯坦曾做过一个实验：他从村子里找了两个人，一个愚钝且软弱，一个聪明且强壮．爱因斯坦找了一块两英亩左右的空地，给他俩同样的工具，让他们在其间比赛挖井，看谁最先挖到水．愚钝的人接到工具后，二话没说，便脱掉上衣干起来．聪明的人稍作选择也大干起来．两个小时过去了，两人均挖了两米深，但均未见到水．聪明的人断定选择错了，觉得在原处继续挖下去是愚蠢的，便另选了块地方重挖．愚钝的人仍在原地吃力地挖着，又两个小时过去了，愚钝的人只挖了一米，而聪明的人又挖了两米深．愚钝的人仍在原地吃力地挖着，而聪明的人又开始怀疑自己的选择，就又选了一块地方重挖．又两个小时过去了，愚钝的人挖了半米，而聪明的人又挖了两米，但两人均未见到水．这时聪明人泄气了，断定此地无水，他放弃了挖掘，离去了．而愚钝的人此时体力不支了，但他还是在原地挖，在他刚把一锨土掘出时，奇迹出现了，只见一股清水汩汩而出．比赛结果，这个愚钝的人获胜．爱因斯坦后来对学生说，看来智商稍高、条件优越、聪明强壮者不一定会得到成功，成功有时需要一种近乎愚钝的力量啊！。

九年级数学上册 24 解直角三角形复习华东师大版

D.16 5
14:07
随堂演练
1．有人说，数学家就是不用爬树或把树砍倒就能够知道树高的人．小敏想知道校园内一棵大树的高（如图1），她测得CB=10米，∠ACB=50°，
请①你树1帮垂2助直她于算地出面树；高 ②供AB选约用为数_据__：__s_i_n_5米0°．≈（0.注77：，
cos50°≈0.64，tan50°≈1.2）
14:07
2.如图，小华为了测量所住楼房的高度，他请来同学帮忙，测量了同一时刻他自己的影长和楼房的影长分别是0.5米和15米，已知小华的身高为1.6米，那么分所住楼房的高度
为___4_8____米．
3．如图，两建筑物AB和CD的水平距离为30米，从A点测得 D•点的俯角为30°，测得C点的俯角为60°，则建筑物CD的
3
则cosA的值为_____5 _． 3. 如图，在△ABC中，∠C =90°，BC=5，
AC=12，则cosA等于（ D ）
A. 2 B. 5 C.12 D.12 12 13 5 13
14:07
4. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB =90°，
CD⊥AB于点D，已知AC= 5
，
BC=2，那么sin∠ABC=（ A ）
1
也随之
2
增大
3
梯子（长度不变）跟地面所成的锐角为A，关于∠A的
三角函数值与梯子的倾斜程度之间，叙述正确的是
（A ）
A. sinA的值越大，梯子越陡
B
B . cosA的值越大，梯子越陡
Hale Waihona Puke C. tanA值越小，梯子越陡
C
D. 梯子陡的程度与∠A的三角函数值无关。A
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华师版九年级数学上册《解直角三角形》全章热门考点整合应用共27页

1、不要轻言放弃，否则对不起自己。
2、要冒一次险!整个生命就是一场冒险。走得最远的人，常是愿意去做，并愿意去冒险的人。“稳妥”之船，从未能从岸边走远。-戴尔．卡耐基。
梦境
3、人生就像一杯没有加糖的咖啡，喝起来是苦涩的，回味起来却有久久不会退去的余香。
华师版九年级数学上册《解直角三角形》 4、守业的最好办法就是不断的发展。 5、当爱不能完美，我宁愿选择无悔，不管来生多么美丽，我不愿失去今生对你的记忆，我不求天长地久的美景，我只要生生世世的轮回里有你。全章热门考点整合应用
31、只有永远躺在泥坑里的人，才不会再掉进坑里。——黑格尔 32、希望的灯一旦熄灭，生活刹那间变成了一片黑暗。的决定因素应该是勤奋。——郭沫若 35、学到很多东西的诀窍，就是一下子不要学很多。——洛克

初三数学第一学期解直角三角形专题华东师大版

初三数学第一学期解直角三角形专题一. 本周教学内容：解直角三角形专题［学习目标］1. 经历由情境引出问题，探索掌握有关的数学知识内容，再运用于实践的过程，培养学数学、用数学的意识与能力。

2. 体验勾股定理的探索过程，会运用勾股定理解决简单的实际问题。

3. 通过实例认识直角三角形的边角关系（锐角三角函数），知道30°、45°、60°角的三角函数值，会使用计算器由已知锐角求它的三角函数，由已知三角函数值求它的对应锐角。

4. 运用三角函数解决与直角三角函数有关的简单实际问题。

5. 能综合运用直角三角形的勾股定理与边角关系解决简单的实际问题。

［知识内容］1. 知识归纳直角三角形两个锐角互余斜边上的中线等于斜边的一半角所对的直角边等于斜边的一半勾股定理边角关系：锐角三角函数应用解直角三角形30︒⎧⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎫⎬⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪−→−−2. 知识梳理（1）测量①常见的两种测量②新的测量方法（三角函数方法）（2）勾股定理①勾股定理②勾股定理证明方法：很多，大多数是采用面积相等的拼接方法。

③勾股定理的应用（3）锐角三角函数①锐角三角函数的概念，要通过画图来帮助分析，通过画图找出直角三角形中的边、角关系。

②用计算器求锐角三角函数值。

③特殊三角函数。

④有一锐角为30°的直角三角形的特征。

⑤锐角三角函数之间的关系。

（4）解直角三角形 ①解直角三角形的意义。

②直角三角形边与边、角与角、边与角之间的关系。

③解直角三角形的应用：首先应明确有关的概念，如仰角、俯角、坡度、坡角等测量概念，其次弄清题意，准确地根据题意画出图形。

（5）解斜三角形问题对于斜三角形问题要通过作辅助线将其转化为直角三角形解决。

【典型例题】例1. 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，cosA =15，则tanA ＝（）A. 26B.62C.265D. 24解析：如图所示BA在Rt △ABC 中，cosA AC AB ==15设AC ＝k ，AB ＝5k 由勾股定理可知：BC AB AC k k k A BC AC kk=-======2222424262626∴tan故选A例2. 如图，为测河宽，小丽在河岸岸边任意选取一点A ，再在河这边B 处观察A ，此时视线BA 与河岸BD 所成的夹角为60°，小丽沿河岸BD 向前走了50米到点C 处，CA 与河岸BD 所成的夹角为45°，根据小丽提供的信息能测出河宽吗？若能，请写出求解过程；若不能，请说明理由（结果精确到1米）。

数学九年级上华东师大版25章解直角三角形复习课件解析

4．解：如图，过C点作CE⊥AD于C．
设BC=x，则EC=BC=x．
在Rt△ACE中，AC= 3 x， ∵AB=AC-BC，即20= 3 x-x．解得x=10 3 +10．
∴BD=BC+CD=BC+EF
=10 3+10+35≈45+10×1.732≈62.3（m）．所以小山BD的高为62．3m．
当坡角不超过50°时，可确保山体不滑坡．（1）
求改造前坡顶与地面的距离BE的长（精确到 0.1m）；（2）为确保安全，学校计划改造时保持坡脚A不动，坡顶B沿BC削进到F点处，问BF至少
是多少米（精确到0.1m）？（参考数据：sin68°≈0.927 2，
cos68°≈0.374 6，tan68°≈2.475 1， tan50°≈0.766 0，cos50°≈0.642 8， tan50°≈1.191 8）
∴PC=BC．
在Rt△APC中，
tan30°=
PC PC PC AC AB BC 3 PC
，
即 3 = PC , PC 3 3 3 ，
3 3 PC
2
PC>3． ∴客轮不改变方向继续前进无触礁危险．
4.如图，在观测点E测得小山上铁塔顶A的仰角为60°，铁塔底部B的仰角为45°．已知塔高 AB=20m，观察点E到地面的距离EF=35m，求小山BD的高（精确到0.1m， 3 ≈1.732）．
m）．
即BF至少是8.9m．
1
2
3
2
2
2
3
2
1
2
2
2
3
1
3
3
300 450
450 ┌ 600 ┌

九年级数学上册第24章解直角三角形知识归纳 (新版)华东师大版

第24章解直角三角形考点一、直角三角形的性质1. 直角三角形的两个锐角互余．可表示如下：∠C =90°⇒∠A +∠B =90°2. 在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．301902A BCD AB C ∠=︒⎫⇒=⎬∠=︒⎭ 3. 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．9012ACB CD AB BD AD D AB ∠=︒⎫⇒===⎬⎭为的中点 4. 勾股定理直角三角形两直角边a ，b 的平方和等于斜边c 的平方，即222c b a =+．5. 摄影定理在直角三角形中，斜边上的高线是两直角边在斜边上的摄影的比例中项，每条直角边是它们在斜边上的摄影和斜边的比例中项．22290CD AD BD ACB AC AD AB CD AB BC BD AB⎧=•∠=︒⎫⎪⇒=•⎬⎨⊥⎭⎪=•⎩ 6. 常用关系式由三角形面积公式可得：AB •CD =AC •BC考点二、直角三角形的判定1. 有一个角是直角的三角形是直角三角形．2. 如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．3. 勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a ，b ，c 有关系222c b a =+，那么这个三角形是直角三角形．考点三、锐角三角函数的概念1. 如图，在△ABC 中，∠C =90°①锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记为sinA ，即A a sin A c∠==的对边斜边 ②锐角A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记为cos A ，即A b cos A c∠==的邻边斜边 ③锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记为tan A ，即A a tan A A b ∠==∠的对边的邻边 ④锐角A 的邻边与对边的比叫做∠A 的余切，记为cot A ，即A b cot A A a∠==∠的邻边的对边 2. 锐角三角函数的概念锐角A 的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A 的锐角三角函数．3. 各锐角三角函数之间的关系〔1〕互余关系：sin A =cos(90°—A )，cos A =sin(90°—A )tan A =cot(90°—A )，cot A =tan(90°—A )〔2〕平方关系：1cos sin 22=+A A〔3〕倒数关系：tan A •cot A =1〔4〕弦切关系：tan A =A A cos sin ；cot A =cos sin A A4. 锐角三角函数的增减性：当角度在0°~90°之间变化时，〔1〕正弦值随着角度的增大〔或减小〕而增大〔或减小〕〔2〕余弦值随着角度的增大〔或减小〕而减小〔或增大〕〔3〕正切值随着角度的增大〔或减小〕而增大〔或减小〕〔4〕余切值随着角度的增大〔或减小〕而减小〔或增大〕5. 一些特殊角的三角函数值三角函数0° 30° 45° 60° 90° sinα 0 21 22 23 1 cosα 1 23 22 21 0 tanα 0 33 1 3 不存在 cotα不存在 3 1 33 01. 解直角三角形的概念：在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形．2. 解直角三角形的理论依据在Rt△ABC 中，∠C =90°，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ，b ，c〔1〕三边之间的关系：222c b a =+〔勾股定理〕〔2〕锐角之间的关系：∠A +∠B =90°〔3〕边角之间的关系：sin ,cos ,tan ,cot sin ,cos ,tan ,cot a b a b A A A A c cb a b a b a B B B Bc c a b========。

华师大版中考总复习知识点梳理：第18讲解直角三角形

第18讲解直角三角形
一、知识清单梳理
知识点一：锐角三角函数的定义
关键点拨与对应举例
1.锐角三角函数
正弦:sinA＝＝
余弦:cosA＝＝
正切:tanA＝＝ .
根据定义求三角函数值时，一定根据题目图形来理解，严格按照三角函数的定义求解，有时需要通过辅助线来构造直角三角形.
2.特殊角的三角函数值
度数
已知两边求一边，勾股定理最方便；
已知两边求一角，函数关系要记牢；
已知锐角求锐角，互余关系不能少；
已知直边求斜边，用除还需正余弦.
例：在Rt△ABC中，已知a=5,sinA=30°，则c=10,b=5.
4.解直角三角形的常用关系
(1)三边之间的关系：a2＋b2＝c2；
(2)锐角之间的关系：∠A＋∠B＝90°；
6.解直角三角形实际应用的一般步骤
(1)弄清题中名词、术语，根据题意画出图形，建立数学模型；
(2)将条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形问题；
(3)选择合适的边角关系式，使运算简便、准确；
(4)得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，从而得到问题的解．
(3)边角之间的关系：sinA＝=cosB= ，cosA＝sinB= ，
tanA＝ .
知识点三：解直角三角形的应用
5.仰角、俯角、坡度、坡角和方向角
(1)仰、俯角：视线在水平线上方的角叫做仰角.视线在水平线下方的角叫做俯角．（如图①）
(2)坡度：坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡度(或者叫做坡比)，用字母i表示．坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用α表示，则有i＝tanα.（如图②）
三角函数
30°
45°

华东师大版初三数学上《解直角三角形》全章知识点精讲与练习

华东师大版初三数学上《解直角三角形》全章知识点精讲与练习精讲与练习【标题探索】一般地，要是锐角A 的巨细确定，我们可以作出多数个以A 为一个锐角直角三形（如图），那么图中：⋯===222111AC C B AC C B AC BC（1）当∠A 变化时，上面等式仍然成立吗？（2）上面等式的值随∠A 的变化而变化吗？【新课引入】由火线的探索可以看出：要是一个直角三角形的一个锐角的巨细确定，那么这个锐角的对边与这个角的邻边的比值也确定。

这个比值反应了斜边相敷衍这角的邻边的倾斜程度，它与这个锐角的巨细有着密切的干系。

1、在直角三角形中，我们将∠A 的对边与它的邻边的比称为∠A 的正切，记作 tanA 即：ba A A A =∠∠=的邻边的对边tan同理：当直角三角形的一个锐角的巨细已确定时，它的对边与斜边的比值__________；它的邻边与斜边的比值___________。

C 1 22、如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，我们把锐角∠A 的对边a 与斜边c 的比叫做∠A 的______，记作________，即：sinA ＝________=________.3、如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°,我们把锐角∠A 的邻边b 与斜边c 的比叫做∠A 的______，记作=_________，即：cosA=______=_____。

（你能写出∠B 的正弦、余弦的表达式吗？）试试看____________________. 思考：你能分别说出30°、45°、60°角的三角函数值吗？并填写下表：30° 45° 60° sinθcosθ tanθ【总结概括】1、牢记三角函数的概念，牢牢抓住直角三角形，勤劳画图，是解答三角函数题的要害；2、特殊角的三角函数值，只要记着两个三角板的各边比值（如图），严格根据三角函数的定义，即可心算推出。

专题. 解直角三角形【十大题型】-九年级数学上册举一反三系列(华东师大版)

专题24.2解直角三角形【十大题型】【华东师大版】【题型1直角三角形中直接解直角三角形】【知识点解直角三角形】【变式1-2】（2023·福建泉州·校联考模拟预测）中，3．如图，在ABC(1)若D运动到某个位置时，(2)若点D运动到某个位置时，【变式1-3】（2023秋·广西梧州·九年级统考期末）△中，4．如图，在Rt ABC的值．【变式2-2】（2023·江苏·统考中考真题）7．如图，3个大小完全相同的正六边形无缝隙、不重叠的拼在一起，连接正六边形的三个顶点得到tan ACB ∠的值是．【变式2-3】（2023秋·上海静安·九年级上海市民办扬波中学校考期中）8．如图，ABC 中，AB AC =CBA ∠相等，如果点C 、D 旋转后分别落在点【题型3网格中解直角三角形】【例3】（2023·湖北武汉·统考三模）9．如图是由小正方形组成的在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示．(1)在图中，点B是格点，先画线段(2)在图中，点B在格线上，过点(3)在图中，点B在格线上，在【变式3-1】（2023秋·江苏苏州·九年级统考期中）10．如图，A，B，C，D均为网格图中的格点，线段【变式3-2】（2023秋·福建泉州·九年级统考期末）11．如图，A、B、C、D是正方形网格的格点，【变式3-3】（2023·湖北武汉·统考模拟预测）12．如图是由小正方形组成的用虚线表示．(1)在图（1）中，D ，E 分别是边AB ，AC 与网格线的交点，先将点C 在边AB 上画点G ，使EG BC ∥；(2)在图（2）中，在边AB 上找一点P ，使PA PC =，再在线段AC 上找一点【题型4坐标系中解直角三角形】【例4】（2023·河南洛阳·校联考一模）13．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABOC 的顶点O 在坐标原点，∠的图象与菱形对角线AO 交于点D ，连接BD ，当DB x ⊥轴时，k 的值是（A ．23-B ．33-C ．43-D 【变式4-1】（2023·广东湛江·岭师附中校联考一模）14．如图，在ABO 中，AB OB ⊥，3AB =，1OB =，把ABO 绕点点1A 的坐标为．【变式4-2】(1)求直线AB的解析式；(2)若点C在x轴上方的直线AB上，【变式4-3】（2023秋·黑龙江哈尔滨·九年级校考开学考试）16．在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线(1)如图1，求k的值：(2)如图2，点H在AB上，点F在OB上，连接FH、OH，且【变式5-1】（2023秋·陕西渭南·九年级统考期中）18．如图，在矩形ABCD中，点A．1B．2【变式5-2】【题型6利用解直角三角形求不规则图形的面积】【例6】（2023春·江苏·九年级专题练习）21．在△ABC中，∠B＝45°，ACA．42B．42【变式6-1】（2023秋·上海·九年级上海外国语大学附属大境初级中学校考期中）中，22．已知：如图，在ABC(1)试求cos B的值；△的面积．(2)试求BCD【题型7解直角三角形的应用之坡度坡比问题】【例7】（2023·山西阳泉·校联考模拟预测）(1)求斜坡BD 的长；(2)求这台风力发电机AB 的高度（结果取整数）【变式7-1】（2023秋·广西柳州·九年级统考期末）26．如图，某地下车库的入口处有斜坡AB ，它的坡度为()AH AH BC ⊥，为了让行车更安全，现将斜坡的坡角改造为(1)求车库的高度AH ；(2)求点B 与点C 之间的距离（结果精确到1m 【变式7-2】（2023·河北沧州·统考二模）27．某场地的跑道分为上坡、平地、下坡三种类型．一架无人机始终以每分高度匀速向右飞行，在运动员的正上方进行跟踪拍摄．如图为无人机飞行以及运动员运动路径的图像．已知10km 3OA =，1km AB =，OA 的坡度1:3i =(1)求坡面OA 的垂直高度h ；(2)求直线BC 的函数解析式，并求运动员在下坡路段的速度；(3)通过计算说明运动员在O A B C ---上运动的过程中，与无人机距离不超过【题型8解直角三角形的应用之俯角仰角问题】【例8】（2023春·湖南永州·九年级校考开学考试）29．如图，建筑物AB后有一座小山，点处有一凉亭，且凉亭与坡脚距离高（精确到0.1m）．（参考数据：︒≈）tan420.9【变式8-1】（2023·河南郑州·校考三模）30．河南省登封市境内的嵩岳寺塔是中国现存年代最久的佛塔，堪称世界上最早的筒体建筑．某校数学社闭的同学利用所学知识来测量嵩岳寺塔的高度，如图，D处利用测角仪测得嵩岳寺塔顶端B的仰角为角为35︒，已知建筑物CD的高为15米，︒≈果精确到0.1m，参考数据：sin350.57【变式8-2】（2023春·山东菏泽·九年级统考期中）31．某校数学兴趣小组借助无人机测量一条河流的宽度方河流的左岸C处的俯角为α，无人机沿水平线为30︒．线段AM的长为无人机距地面的垂直高度，点米．(1)求无人机的飞行高度AM；（结果保留根号）【题型9解直角三角形的应用之方向角问题】【例9】（2023·重庆·九年级专题练习）33．五一节日到来，重庆又一次成为全国火热城市，小明和小亮两人相约去观赏洪崖洞夜景，小明从(1)求AB的长度（结果保留根号）(2)他们在D处汇合的时间恰好为(1)求AC的距离；（结果精确到1m(2)两人准备从B地出发，突然接到疾控中心通知，一名确诊的新冠阳性患者昨天经过了偏东22°走了1800m到达D地，根据相关要求，凡是确诊者途经之处家会被划为管控区吗？请说明理由（参考数据：︒≈）．tan370.75(1)如图2，当支撑点E在水平线BC上时，支撑点E与前轮轴心B之间的距离(2)如图3，当座板DE与地面保持平行时，问变形前后两轴心BC的长度有没有发生变化？若不变，请通过计算说明；若变化，请求出变化量．（参考数据：sin534 5︒≈，cos533 5︒≈，tan【变式10-2】（2023秋·河北石家庄39．下图是测温员使用测温枪的侧面示意图，其中枪柄垂直．量得胳膊MN=BA=．枪身8.5cm(1)求PMB∠的度数；(2)测温时规定枪身端点，A与额头距离范围为此时枪身端点A与小红额头的距离是否在规定范围内？并说明理由．（参考数据：sin66.40.92,cos66.4︒≈试卷第21页，共21页。

秋九年级数学上册第24章解直角三角形复习课件新版华东师大版

5
分析：题中给出了两个直角三角形，DC和sinB可分别在 Rt△ACD和ABC中求得，由AD＝BC，图中CD＝BC－BD，由此可列方程求出CD．
A
BD
C
解：（1）设CD＝x，在Rt△ACD中，cos∠ADC= 3 ,
5
x 3 , AD 5 x
AD 5
3
A
AD BC, BC 5 x, 3
又BC－CD＝BD
5xx 4 3
解得x=6
B
D
C
∴CD=6
(2) BC=BD+CD=4+6=10=AD 在Rt△ACD中 AC AD2 CD2 102 62 8 在Rt△ABC中
AB AC2 BC 2 64 100 2 41
sin B AC 8 4 41 AB 2 41 41
课堂小结
sin
A
A的对边斜边
a c
cos
A
A的邻边斜边
b c
tan
A
A的对边 A的邻边
a b
B
ca
A bC
sin
B
B的对边斜边
b c
cos
B
B的邻边斜边
a c
tan
B
B的对边 B的邻边
b a
解直角三角形的一般思路是：有斜(斜边)用弦(正弦、余弦)，无斜用切(正切)，宁乘勿除，取原避中．对于较复杂的图形，要善于将其分解成简单的图形，并借助桥梁(相等的边、公共边、相等的角等)的作用将两个图形有机地联系在一起，从而达到解题的目的．
2.如图所示，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝ 3.点 D 为 BC 边上一点，且 BD＝2AD，∠ADC＝60°.求△ABC 的周长(结果保留根号).

华东师大版数学九年级上册24.4解直角三角形专题讲座

解直角三角形专题讲座解直角三角形与直角三角形的概念、性质、判定和作图有着密切的联系，是在深入研究几何图形性质的根底上，根据条件，计算直角三角形未知的边长、角度和面积，以及与之相关的几何图形的数量。

1、明确解直角三角形的依据和思路在直角三角形中，我们是用三条边的比来表述锐角三角函数定义的。

因此，锐角三角函数的定义本质提醒了直角三角形中边角之间的关系，是解直角三角形的根底。

如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，设三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c〔以下字母同〕，那么解直角三角形的主要依据是〔1〕边角之间的关系：sinA＝cosB＝，cosA＝sinB＝，tgA＝ctgB＝。

〔2〕两锐角之间的关系：A＋B＝90°。

〔3〕三条边之间的关系：。

以上每个边角关系式都可看作方程，解直角三角形的思路，就是根据条件，正确地选择直角三角形中边角间的关系式，通过解一元方程来求解。

2、解直角三角形的根本类型和方法我们知道，由直角三角形中的元素求出未知元素的过程叫作解直角三角形，而在直角三角形中，除直角以外还有三条边及两个锐角共五个元素，那么什么样的直角三角形才可解呢？如果两个锐角能否解直角三角形呢？事实上，解直角三角形跟直角三角形的判定与作图有着本质的联系，因为两个元素〔至少有一个是边〕可以判定直角三角形全等，也可以作出直角三角形，即此时直角三角形是确定的，所以这样的直角三角形是可解的。

由于两个锐角的直角三角形是不确定的，它们是无数多个相似的直角三角形，因此求不出各边的长。

所以，要解直角三角形，给出的除直角外的两个元素中，必须至少有一个是边。

这样，解直角三角形就分为两大类，即一条边及一个锐角或两条边解直角三角形。

四种根本类型和解法列表如下：条件解法一边及一锐角直角边a及锐角A B＝90°－A，tanAab=，sinAac=斜边c及锐角A B＝90°－A，a＝c·sinA，b＝c·cosA两边两条直角边a和b ，B＝90°－A，直角边a和斜边c，B＝90°－A，例1、如图2，假设图中所有的三角形都是直角三角形，且∠A＝α，AE＝1，求AB的长。

华东师大版数学九年级上册《解直角三角形》复习课件

角和坝底宽AD .（iCD=1: 3 ,结果保留根号,单位米）
B 3C
5
4
A
FE
D
13
六.作辅助线分割图形
1.作高线可以把锐角三角形或钝角三角形转化为两个直角三角形. 2.作高线可以把平行四边形、梯形转化为含直角三角形的图形. 3.连线割补，可以把不规则四边形转化为含直角三角形的图形.
14
本单元知识结构
7
练习:
1.在Rt△ABC中,∠C=90°，解此直角三角形。
①.∠A=60°,c=8，则a=__4__3__ ,b=__4__.
②.a=2，cosA= 2 ,c=__3_. ③.sinA= 1 ,则tanB=___3__ .
3
2
2. 在□ABCD中AB=6 ,BC=8,∠B=60°求平行四边形的
的面积
⑵ 锐角之间的关系：A B 900
⑶ 边角之间的关系：
A
c a
┏
b
C
sin A a , cos A b , tan A a , cot A b ;
c
c
b
a
b
a
b
a
sin B , cosB , tan B , cot B .
c
c
a
b
3
二.锐角三角函数的性质：
(1) 0＜sinA＜1 0＜cosA＜1 tanA＞0 cotA＞0
在Rt△BDC中,∠CBD=45°
∴BD=CD=x 在Rt△ACD中,因∠CAD=29°
30米
D
450
∴CD/AD=tan∠CAD=tan29 °=3/5,
而AD=AB+BD=30+x,
x 3 30 x 5