人教版初三数学上册21.2.4一元二次方程的根与系数的关系.2.4一元二次方程的根与系数的关系

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人教版初中数学九年级上册 21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系

1
2x²+x-3=0 1
观察表格中的结果，你有什么发现？
二、探索新知
运用你发现的规律填空：（1）已知方程x²-8x-3=0的根为x1，x2，则 x1+x2= 8 ，x1x2= -3 ；（2）已知方程x²+7x-5=0的两根为x1，x2，则 x1+x2= -7 ，x1x2= -5 .
思考1
（1）如果方程x²+mx+n=0的两根为x1，x2，你能说说x1+x2和x1.x2的值吗？
解：x1+x2=-(-6)=6
解：x1=
（3）5x-1=4x²
解：方程化为4x²-5x+1=0
x1+x2= x1x2=
例2 已知方程x²-x+c=0的一根为3，求方程的另一个根及c的值.
解：设方程另一根为x1. 则x1+3=1，∴x1=-2. 又x1.3=-2×3=c， ∴c=-6.
例4 已知x1，x2是方程x²-6x+k=0两个实数根，且x1².x2²-
x1-x2=115.（1）求k的取值；（2）求x1²+x2²-8的值.
解:（1）∵由题意有x1+x2=6，x1.x2=k. ∴x1²x2²-x1-x2=(x1x2)²-(x1+x2)=k²-6=115， ∴k=11或k=-11. 又方程x²-6x+k=0有实数解， ∴Δ=(-6)²-4k≥0,∴k≤9. ∴k=11不合题意舍去，故k的值为-11;
*21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系
一、复习导入
问题1 请写出一元二次方程的一般形式和求根公式.
ax2+bx+c=0 x b b2 4ac

人教版九年级上第21章一元二次方程21.2.4一元二次方程的根与系数的关系导学案(有答案)

21.2.4一元二次方程的根与系数的关系【目标导航】1、经历从具体方程的根发现一元二次方程根与系数之间的关系2、掌握一元二次方程根与系数的关系式3、能运用根与系数的关系由已知一元二次方程的一个根求出另一个根4、会求一元二次方程两个根的倒数和与平方数，两根之差【知识链接】法国数学家韦达最早发现代数方程的根与系数之间有一种非常密切的关系，因此，人们把这个关系称为韦达定理。

历史是有趣的，韦达在16世纪就得出这个定理，证明这个定理要依靠代数基本定理，而代数基本定理却是在1799年才由高斯作出第一个实质性的论证。

用于求方程中的特定系数，求含有方程根的一些代数式的值等问题，由方程的根确定方程的系数的方法等都很方便。

【珍宝探寻】珍宝一．一元二次方程根与系数的关系1．设x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的两根，试推导x 1+x 2=-b a ，x 1·x 2=ca；解析：（1）∵x 1、x 2是ax 2+bx+c=0（a ≠0）的两根，∴x 1x 2∴x 1+x 2=2b b a -+-ba ，x 1·x 2=2b a -+·2b a --=ca即这就是一元二次方程根与系数的关系，它是由法国的数学家韦达发现的，所以我们又称之为韦达定理。

2.使用一元二次方程ax 2+bx+c=0的根与系数的关系时需注意：(1)先把方程化为一般形式，并要注意隐含条件a ≠0； (2)应用时一定要记住根的判别式Δ=b 2-4ac ≥0这个前提条件； (3)写时不要弄错符号. 【营养快餐】快餐一经典基础题例1：若1x ，2x 是一元二次方程0322=--x x 的两个根，则21x x 的值是（） A ．－2 B ．－3 C ．2 D ．3 分析：由有根与系数的关系12cx x a=＝－3。

解：因为0322=--x x ，中a ＝1，c ＝－3，所以12-31x x =＝－3 故选B点拨：本题利用两根之积与系数的关系.例2．1x 、2x 是方程05322=--x x 的两个根，不解方程，求下列代数式的值：（1）2221x x + （2）21x x - （3）2222133x x x -+分析：由根与系数的关系可建立关于1x 和2x 的方程组12123252x x x x ⎧+=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩g ，再把所求式子用它们表示出来，代入化简即得解：由一元二次方程根与系数的关系，得12123252x x x x ⎧+=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩g ，进而（1）2221x x +＝212212)(x x x x -+＝417（2）21x x -＝212214)(x x x x -+＝213（3）原式＝)32()(2222221x x x x -++＝5417+＝4112点拨：本题考查的是一元二次方程根与系数的关系、完全平方公式、恒等式的变形等知识。

九年级上册数学：21.2.4一元二次方程的根与系数的关系

本节课是新人教版教材九年级数学（上）P15—16页选学内容，学生是在学习了一元二次方程的解法和根的判别式之后引入的。

它深化了两根与系数之间的关系，是我们今后继续研究一元二次方程根的情况的主要工具，可以用来解决一元二次方程快速验根的问题，还可以解决其他一些相关的简单问题，是方程理论的重要组成部分。

一元二次方程的根与系数的关系，在中考中多以填空，选择，解答题的形式出现，也常与几何、二次函数等问题结合，利于数学问题的解决。

多数学生基本熟练了一元二次方程的解法，并能正确地求出方程的根，为二、学情分析探索、验证一元二次方程的根与系数的关系奠定了基础。

一、复习引入1. 复习一元二次方程一般形式及求根公式。

2. 一元二次方程的根与方程中的系数之间有怎样的关系？(出示问题，引出课题学生初步了解本课所要研究的问题)二、探究新知思考1：问题1：一元二次方程的根与方程中的系数之间有怎样的关系？问题2：猜想二次项系数为1时，根与系数的关系分析：将（x- x1）（x-x2）=0化为一般形式x2-( x1 +x2)x+ x1 x2=0与x2+px+ q=0对比,易知p=-( x1 +x2)， q= x1 x2. 即二次项系数是1的一元二次方程如果有实数根，则一次项系数等于两根和的相反数，常数项等于两根之积.(学生通过去括号、合并得到一般形式的一元二次方程，教师适时点拨，分析总结得到结论.)问题3：跟踪练习1求下列方程的两根x1、x2. 的和与积.x2+3x+2=0； x2+2x-3=0; x2-6x+5=0; x2-6x-15=0思考2：问题:4. 方程2x2-3x+1=0的两根的和、积与系数之间有类似的关系吗？分析：这个方程的二次项系数等于2，与上面情形有所不同，求出方程两根，再通过计算两根的和、积，检验上面的结论是否成立，若不成立，新的结论是什么？问题5. 猜想、验证一元二次方程根与系数的关系一般的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）中的a不一定是1，它的两根的和、积与系数之间有第3题中的关系吗？分析：利用求根公式，求出方程两根，再通过计算两根的和、积，得到方程的两个根x1、x2和系数a，b，c的关系，即韦达定理，也就创设问题情境，激发学生好奇心，求知欲。

人教版数学九年级上册 21.2.4一元二次方程的根与系数的关系教案设计

人教版九年级数学第二十一章2.4节21.2.4 一元二次方程的根与系数关系一教学目标知识与技能：1.理解一元二次方程根与系数之间关系的推导过程2.掌握一元二次方程根与系数的关系3.能够不解方程，应用根与系数关系解决问题过程与方法：1.通过学生探究、发现根与系数的关系，培养学生观察能力，思考归纳概括能力和探究精神2.通过探究学习，让学生体会从特殊到一般，再从一般到特殊的解决问题的思路。

3.让学生经历观察、实验、猜想、证明的数学活动，发展推理能力，培养创新精神。

情感态度与价值观：1.通过情境教学，激发学生的求知欲望，培养积极的学习态度2.通过对根与系数之间的关系探究，体会事物之间的联系，更好的认识世界。

3.体验教学活动充满着探究和创造，享受成功快乐。

二教学重点难点重点：一元二次方程根与系数关系及应用难点：探究根与系数之间关系过程三教学过程教师准备：多媒体课件1-4 学生准备：预习学习内容 1.新课导入课件1 完成下列表格2.新知构建一探究活动观察以上表格，思考问题 ⑴通过观察你发现了什么规律？ ⑵语言叙述你发现的规律？ ⑶设x ²+px+q=0的两根为x ₁，x ₂ 用式子表示发现的规律【师生活动】：小组讨论，共同探究，对有困难学生进行指导二探究活动课件2 完成下列表格填表，思考下列问题：⑴上面发现的结论在这里成立吗？⑵你能发现两根之和、两根之积与方程的系数有何关系？ ⑶用语言表述你的发现。

⑷进一步猜想：方程ax ²+bx+c=0（a ≠0）的根x ₁，x ₂与a ，b ，c 之间的关系 ⑸你能证明上面的猜想吗？【师生互动】：小组合作交流，公同探究，教师及时指导学生把证明过程写板书。

课件3：一元二次方程ax ²+bx+c=0（a ≠0）a2ac 4b b x 21-+-= a 2ac 4b b x 22---=∴ x ₁+x ₂=a 2ac 4b b 2-+-+a 2ac 4b b 2--- = -abx ₁• x ₂=a 2ac 4b b 2-+- • a 2ac 4b b 2--- = ac【设计意图】：学生经历“实践、观察、发现、猜想、证明”的过程，使学生既动手、动脑又动口，教师引导启发，体现学生的主体学习特征，培养学生的创新精神。

21.2.4一元二次方程的根与系数的关系

Page 8
例2
已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一个根是2 , 求它的另一个根及k的值。
解：设方程的另一个根为x1. x1 ＋2= k+1 由韦达定理，得 x1 ●2= 3k
解这方程组，得
x1 =－3 k =－ 2
答：方程的另一个根是－3 , k的值是－2。
Page 9
例2
已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一个根是2 , 求它的另一个根及k的值。
1 2
3
5
3 2
2
4
6
1 2
b x1 x2 a
3
5
4
6
1 2
2 x 3x 1 0
2
1
2
猜想：如果一元二次方程 ax bx c 0(a 0) 的两个根分别是 x1 、 x 2 ，那么，你可以发现什么结论？
Page 3
已知：如果一元二次方程 ax2 bx c 0(a 0) 的两个根分别是 x1 、x 2 。
b 求证： x1 x 2 a
2
c x1 x2 a
b b 4ac b b 4ac 证明：x1 x2 2a 2a
2

b
b 2 4ac b b 2 4ac 2a
2b 2a
b . a
Page 4
b b 2 4ac b b 2 4ac x1 x2 2a 2a
解法二：设方程的另一个根为x1. 把x=2代入方程，得 4-2(k+1)+3k=0 解这方程，得 k= - 2 由韦达定理，得x1●2＝3k 即2 x1 ＝－6 ∴ x1 ＝－3 答：方程的另一个根是－3 , k的值是－2。

人教版数学九年级上册 21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系课件(共19张PPT)

的关系进行简单计算。
情感态度与价值观：
1）培养学生主动探究知识、自主学习和合作交流的意识。
2）激发学生对学数学的兴趣，体会学数学的快乐，培养用数学的意
识。
教学重难点
掌握一元二次方程根与系数的关系。
利用一元二次方程根与系数的关系进行简单
计算。
复习引入：
1.一元二次方程的一般式：ax2＋bx＋c＝0(a≠0).
b2-6b+4=0，且
A.

B.

a≠b，则 + 的值是( A )

−

C.

D.

−

解：∵ a2-6a+4=0 和 b2-6b+4=0 两个等式的
形式相同，且 a≠b，∴ a，b 可以看成是方
程 x2-6x+4=0 的两个根，∴ a+b=6，ab=4，

∴

+ =

+

=
+
巩固练习：
1.不解方程，求下列方程两个根的和与积.
(1) x2－3x＝15；
(2) 3x2＋2＝1－4x；
(3) 5x2－1＝4x2＋x；
(4) 2x2－x＋2＝3x＋1.
解：(1)方程化为 x2－3x－15＝0，
x1＋x2＝－(－3)＝3，x1x2＝－15.
(2)方程化为 3x2＋4x＋1＝0，
2.判断一元二次方程根的情况.
b2 - 4ac > 0 时，方程有两个不相等的实数根.
b2 - 4ac = 0 时，方程有两个相等的实数根.
b2 - 4ac < 0 时，方程无实数根.

人教版数学九年级上册《21.2.4一元二次方程的根与系数的关系》教案

3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“一元二次方程根与系数关系在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
c.通过分组讨论和教师引导，让学生在解决含参数的一元二次方程时，学会分类讨论，并掌握一般解题步骤。
-举例解释：例如，在解决“一个数的平方比这个数多3，求这个数”的问题时，学生需要将问题转化为方程x^2 - x - 3 = 0，并运用根与系数关系来得出答案。对于含有参数的方程，如ax^2 + bx + c = 0，学生需要讨论a、b、c的取值对根的影响，以及如何根据不同情况进行求解。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-核知识：一元二次方程的根与系数的关系，包括根的判别式Δ、根与系数的关系公式。
-学生需掌握的内容：
a.理解并记住根的判别式Δ= b^2 - 4ac的含义及其与方程根的关系。
b.掌握根与系数的关系公式：x1+x2=-b/a和x1x2=c/a，并能够灵活运用。
c.能够通过根与系数的关系解决实际问题，如给定方程的一个根，求另一个根或系数等。
3.通过具体例题，让学生掌握运用根与系数的关系解决实际问题，提高解题能力。
本节课的重点是让学生掌握一元二次方程根与系数的关系，并能运用此关系解决相关问题。
二、核心素养目标
本节课的核心素养目标主要包括以下几方面：
1.培养学生的逻辑推理能力：通过引导学生发现并证明一元二次方程的根与系数之间的关系，提高学生运用逻辑推理解决问题的能力。

人教版九年级数学上册(RJ)第21章一元二次方程一元二次方程的根与系数的关系

第二十一章一元二次方程21.2 解一元二次方程*21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系学习目标：1.探索一元二次方程的根与系数的关系.2.不解方程利用一元二次方程的根与系数的关系解决问题. 重点：探索一元二次方程的根与系数的关系.难点：不解方程利用一元二次方程的根与系数的关系解决问题.一、知识链接1.一元二次方程的求根公式是什么？2.如何用判别式b2－4ac来判断一元二次方程根的情况？算一算解下列方程并完成填空：(1)x2+3x－4=0； (2)x2－5x+6=0； (3)2x2+3x+1=0.想一想方程的两根x1，x2与系数a，b，c有什么关系？二、要点探究探究点1：探索一元二次方程的根与系数的关系猜一猜（1）一元二次方程 (x－x1)(x－x2) = 0 (x1，x2为已知数) 的两根是什么？若将此方程化为x2 + px + q = 0 的形式，你能看出 x1，x2与 p，q 之间的关系吗？（2）通过上表猜想，如果一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根分别是x1、 x2，那么，你可以发现什么结论？证一证：x1 + x2= x1·x2=归纳总结：一元二次方程的根与系数的关系如果ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根为x 1、x2，那么12bx xa ，12cx xa.(前提条件是b2－4ac≥0).(1) x2–6x–15 = 0； (2) 3x2+7x－9 = 0； (3) 5x–1 = 4x2.归纳：在求两根之和、两根之积时，先把方程化为一般式，判别Δ≥0，如是则代入 a、b、c的值即可.例2 已知关于x的方程5x2+kx－6=0的一个根是2，求它的另一个根及k 的值.变式题已知关于的值.例3 不解方程，求方程2x2+3x－1=0的两根的平方和、倒数和.练一练设x1，x2为方程x2－4x+1=0的两个根，则：(1) 12x x ， (2)12xx ，(3) 2212x x ， (4)212()x x .归纳：求与方程的根有关的代数式的值时，一般先将所求的代数式化成含两根之和，两根之积的形式，再整体代入.常见的求值式子如下： 12111.x x +=22122.x x += 12213.=x x x x + 124.(1)(1)x x ++= 125.||=x x -例4 设x 1，x 2是方程 x 2－2(k －1)x + k 2 =0的两个实数根，且2212x x 4，求k 的值.方法总结：根据一元二次方程两实数根满足的条件，求待定字母的值时，务必要注意方程有两实数根的条件，即所求的字母代入方程中，方程应该满足Δ≥0 .2b x a，1c x a.2221212()2x x x x x 2221212)()4x x x x x122121x x x x x......1.如果－1是方程2x 2－ = .2.已知一元二次方程x 2+px+q=0的两根分别为－2和1，则p = ， q = .3.已知关于的值.4.已知x 1，x 2是方程2x 2+2kx+k －1=0的两个根，且(x 1+1)(x 2+1)=4.(1)求k的值； (2)求(x1－x2)2的值.5.设x1，x2是方程3x2+4x－3 = 0的两个根.利用根系数之间的关系，求下列各式的值：(1) (x 1 + 1)(x2 + 1)； (2)2112.x xx x拓展提升6. 当k为何值时，方程2x2－kx+1=0的两根之差为1.7.已知关于-2=0(1)若方程有实数根,求实数m的取值范围；(2)若方程两根x1，x2满足|x1-的值.242bb ac xa.时，方程有两个相12-132课堂探究二、要点探究探究点1：探索一元二次方程的根与系数的关系猜一猜=b a，x 1x 2证一证：（注：b221242b b ac x x a +-+=2b b a -+--= 22b a -=.ba=- 1222b b x x a a•-+--⋅=()()22244b b ac a ---=244ac a=.ca =例1 解：（1） a=1 , b= – 6 , c= – 15. Δ = b 2– 4ac =( – 6 )2 – 4 × 1 ×(– 15) = 96 > 0. ∴方程有两个实数根.设方程的两个实数根是x 1，x 2，那么x 1 + x 2 = –( – 6 ) =6，x 1 x 2 = – 15 .（2）a = 3 , b =7, c = –9. Δ= b 2 - 4ac = 72 –4×3×(-9) =157 > 0，∴方程有两个实数根.设方程的两个实数根是x 1，x 2，那么x 1 + x 2 =73， x 1 x 2 =933.（3）方程可化为4x 2–5x +1 =0，a =4，b = – 5，c = 1.Δ = b 2- 4ac =(– 5)2 – 4×4×1=9>0.∴方程有两个实数根.设方程的两个实数根是x 1， x 2，那么x 1 + x 2 =5544，x 1 x 2 =1.4=6.5=3.5+ x 2=2+ 35=.5k 得k=答：方程的另一个根是3,5k=－解：设方程的两个根分别是+ x 2=1+ x =5 .121231,.22x x x 222121122)2,x xx x x ∴22221212123113()22.224xxx x x x 121212131 3.22x x x x x练一练（1）4 （2）1 （3）14 （4）12例4 解：由方程有两个实数根，得22221212()2x x x x x = 4(k 222x 4，得 2k +4 =4，解得k 1=0，k 2=4 . 当堂检测1.；-3. 2. 1 ； -2.1161.3c x a116.3x 12121,.2k x k x x 1()1 4.2kk 解得k = -7；4.-则222121212)()474(4)65.x x x x x12124, 1.3b c x x x aa)+1=441()1.33122221121221212()234.9x x x x x x x x x x x x 12121,.22kx x x 22121212()()4 1.x x x x x x 22141,3,2 3.222k k k7.解：（1）方程有实数根，所以Δ=b 2-4ac=(-2m)2-4·m·（m-2=4m 2-4m 2+8m=8m ≥0.∵m≠0，∴m 的取值范围为m ＞0. 121222,.m x x x m22121212()()4 1.x x x x x x 22241.m m解得m=8.经检验，解.。

21.2.4(1)一元二次方程的根与系数的关系

(1) x 6 x 15 0
2
(2)3 x 7 x 9 0
2
(3)5 x 1 4 x
2
知识源于悟
在使用根与系数的关系时，应注意：
⑴不是一般式的要先化成一般式；
b ⑵在使用X1+X2=－时， a
注意“－ ”不要漏写.
二、求关于两根的对称式或代数式的值 2 例2、设 x1 , x2是方程 2x 4x 3 0 的两个
解：设方程两根分别为x1,x2(x1>x2)，则x1-x2=1 ∵ (x2-x1)2=(x1+x2)2-4x1x2 由根与系数的关系得x1+x2= ∴
k 1 2 k 3 ( ) 4 1 2 2
解得k1=9,k2= -3
k 1 2
, x 1x2=
k 3 2
当k=9或-3时，由于△≥0，∴k的值为9或-3。
即
m>0 m-1<0
∴0<m<1
两个正根
△≥0
X1X2＞0 X1+X2＞0
两个负根一正根，一负根
△≥0
X1X2＞0 X1+X2＜0 △＞0 X1X2＜0
三、构造新方程
例3、求一个一元二次方程，使它的两个根是2和3，且二次项系数为1.
变式：且二次项系数为5
三、构造新方程
练习、甲、乙二人解同一个一元二次
2
注：能用根与系数的关系的前提条件为 b2-4ac≥0
*求未知系数的取值范围
*例题:已知关于x的方程9x2+(m+7)x+m-3=0.
(1)求证:无论k取何值时,方程总有两不相等的实数根. (2)当k取何值时,方程的一根大于1,另一根小于1?

21.2.4 一元二次方程根与系数的关系课件(共17张PPT) 人教版数学九年级上册

求 a 的值及该方程的另一个根.
解：由方程有两个实数根，得 Δ = a2 - 4 ≥0，
即 a ≥ 2或a ≤ -2.
由根与系数的关系得 x1 + x2 = 2a，x1 x2 = 16.
∴
x1 x2
x1 x2
1
1

1
x1
x2
x1 x2
16
解得 a = 8
21.2.4 一元二次方程根与系数的关系
x1 x2 x12 x22 ( x1 x2 )2 2 x1 x2
3.

;
x2 x1
x1 x2
x1 x2
4.( x1 1)( x2 1) x1 x2 ( x1 x2 ) 1;
5. x1 x2 ( x1 x2 )2 ( x1 x2 )2 4 x1 x2 .
21.2.4 一元二次方程
的根与系数的关系
九年级上
学习目标
目
录
新课引入
新知学习
随堂练习
课堂小结
21.2.4 一元二次方程根与系数的关系
学习目标
1. 了解一元二次方程的根与系数的关系. （2022年版课标将*删除）
2. 会用一元二次方程的根与系数的关系解决简单问题.
21.2.4 一元二次方程Βιβλιοθήκη 与系数的关系7－9
(2) x1＋x2＝－，x1 x2＝＝－3.
3
3
(3)方程化为 4x2－5x＋1＝0，∴
x1＋x2＝－
1
5 5
= ， x1 x2＝ .
4
4 4
21.2.4 一元二次方程根与系数的关系
1
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人教版九年级数学上册21.2.4《一元二次方程的根与系数的关系》教案

《一元二次方程的根与系数的关系》教案教学目标1、掌握一元二次方程a 2x ＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两根和系数之间的关系，了解关系式的推导过程.2、会正确写出根与系数的关系式.3、会利用根与系数的关系式解题.教学重点熟练利用一元二次方程根与系数的推导过程教学难点利用一元二次方程根与系数的关系式解题教学过程一、回顾与复习1、解一元二次方程的基本策略是，把二次方程转化为来解2、一元二次方程有四种解法(1)、因式分解法，方程一边是两个一次式的的形式，另一边为 .(2)、直接开平方法，方程一边是形式，另一边是 . (3)、配方法，通过配方配成完全平方形式来解一元二次方程的方法.(4)、公式法：关于x 的一元二次方程a 2x ＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的根的判别式为∆= 当0∆≥时，实数根可写成1,2x = ；3、在用适当方法解一元二次方程时，先考虑用、；再考虑用配方法和公式法.4、一元二次方程最多有个实数根. 二、新课讲授：(一)、解方程求出两个解12x x ，，并计算两个解的和与积，填入下表：方程1x2x12x x +12x x ⋅230x x -= 2320x x -+=2210x x ++= 2490x -= 2250x x +=22310x x -+=观察表格中方程的两个解的和、两个解的乘积，与原方程中的系数之间的关系有什么规律？写出你的结论： .猜测：一元二次方程a 2x ＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两根12x x ，和系数a b c ，，之间的关系 (二)、推导过程.一元二次方程的一般形式为a 2x ＋bx ＋c ＝0(a ≠0)，根据求根公式可知，方程的两根为：221244,22b b ac b b ac x x a a-----==计算12x x += = ；因此，方程的两根12,x x 和系数,,a b c 有如下关系：用文字叙述一元二次方程的根与系数的关系为：两根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两根的乘积等于常数项与二次项系数的比.(三)、例题和练习例一、根据一元二次方程根与系数的关系，求下列方程两根12,x x 的和与积 (1)、26150x x --= (2)、2397x x =- (3)、2514x x -= 解:(学生独立完成)1、练习：求下列方程两根12,x x 的和与积(1)、2315x x -= (2)、22514x x x -=+ (3)、2320x x -+= (4)、2550x x +-= (5)、256x x x +=+ (6)、2758x x -=+ 2、练习(1)、已知关于x 的方程20x mx n ++=的两个根为5,7-，求m n -的值. (2)、已知关于x 的方程260x kx +-=的一个根为3，求k 的值和方程的另一个根. (3)、已知关于x 的方程2240x x m ++=的两个根的和等于两个根的积，求m 的值. (4)、已知关于x 的一元二次方程220x mx --=①、若1x =-是方程的一个根，求m 的值和方程的另一根.②对于任意实数m ，判断方程的根的情况，并说明理由.3、练习(1)、已知12,x x 是方程2420x x -+=的两根，求下列式子的值(2)、已知关于x 的一元二次方程2(1)10x k x k --++=的两个实数根的平方和等于4，求实数k 的值.(3)、已知关于x 的一元二次方程2210x x m -+-=，①、当m 取何值时，方程有两个不相等的实数根？②、设12,x x 是方程的两个实数根，且满足2211221x x x x ++=，求m 的值.。

人教版九年级数学上册 21.2.4一元二次方程根与系数的关系

一元二次方程根与系数的关系【基础知识精讲】1．一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）：设21x x 、是一元二次方程ax 2＋bx+c=0 (a ≠0)的两根，则12b x x a+=-，a c x x =•21 2．设21x x 、是一元二次方程ax 2＋bx+c=0 (a ≠0)的两根，则：0,0)1(21>>x x 时，有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>=•>-=+002121a c x x a b x x 0,0)2(21<<x x 时，有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>=•<-=+002121a c x x a b x x0,0)3(21<>x x 时，有021<=•acx x3．以两个数21x x 、为根的一元二次方程（二次项系数为1）是：212120x (x x )x x x -++= 【例题巧解点拨】1．探索韦达定理例1：一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的两根为21,x x ，求21x x +， 21x x •的值。

例2.已知关于x 的一元二次方程x 2+（2m-1）x+m 2=0有两个实数根x1和x2．（1）求实数m 的取值范围；（2）当x 12-x 22=0时，求m 的值．2．已知一个根，求另一个根.例3.已知2+3是x 2－4x+k=0的一根，求另一根和k 的值。

3．求根的代数式的值例4：设x 1，x 2是方程x 2-3x ＋1=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：(1) x 13 x 24+ x 14 x 23；2112)2(x x x x +4．求作新的二次方程例4：1．以2，－3为根的一元二次方程是_________________________.2．已知方程2x 2－3x －3=0的两个根分别为a ，b ，利用根与系数的关系，求一个一元二次方程，使它的两个根分别是：a+1、b+1 5．由已知两根和与积的值或式子，求字母的值。

21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系

21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系教学目标：
知识与技能：
掌握一元二次方程根与系数的关系，会运用关系定理求已知一元二次方程的两根之和及两根之积，并会解一些简单的问题。

过程与方法：
经历一元二次方程根与系数关系的探究过程，培养学生的观察思考、归纳概括能力，在运用关系解决问题的过程中，培养学生解决问题能力，渗透整体的数学思想，求简思想。

情感态度与价值观：
通过学生自己探究，发现根与系数的关系，增强学习的信心，培养科学探究精神。

教学重点：根与系数关系及运用教学难点：定理的发现及运用。

教学重难点：
重点：根与系数关系及运用教学
难点：定理的发现及运用。

教学过程：
一、板书课题
二、出示目标
三、自学指导
自学课本第15—16页的内容，注意：
1、回答15页中思考一中问题，理解根与系数之间存在关系；
2、回答思考2的问题，理解根与系数的关系的得出方法，识记
根与系数之间的关系公式；
3、理解例4的解题方法和步骤。

四、先学
1、学生按照自学指导先自学课本内容，教师巡视督促学生
自学
2、检测：
课本第16页练习题
五、后教
更正：发现错误的同学举手更正，教师点拨
六、课堂小结
让学生谈谈本节课的收获与体会：知识？方法？思想？等，教师可适当引导和点拨。

七、当堂训练
布置作业：课本第17页第7、11题
板书设计：
21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系
x1＋x2= 即：两根之和等于
x1•x2= 即：两根之积等于
教学反思：
关键是在题目中的应用。

数学人教版九年级上册21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系.2.4 一元二次方程的根与系数的关系

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猜想 :如果方程 x px q 0 的根是 x 和 x , 1 2 ).
则 x x ( -p ), x x (q 1 2 1 2
问题 : 方 4 程5 3 xx 20 的根与系数
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有上述关系吗?
3 x1 x2 5
2 x1 x2 5
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问题5 :写出一元二次方程a x bx c 0(a 0 两根与系数的关系.
你能证明吗
例 : 1 求下列方程 , x 的两和根与 x : 积 1 2
2 2 (1) x 6x 15 0 ( 2 ) 3 7 xx 90
( 3 ) 5 1 x 4 x (1)由于根与系数的关系可知： x x 15 1 x 2 6, 1x 2 (2)由根与系数的关系可知： 7 x1 x2 , x1x2 3 3
二次方程的一般形式；（2）方程必须有实根。两
3.对于一些数学思想，譬如特殊到一般的想，转的思想，方程的思想等有初步的认识.
作业布置
《学习辅导》P12-13
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解得：x 1, x2 3 1 故方程的另一个根为 -1，c的值为 -3.
例 2 : 已知方程 x 2 x c 0 的一个根 3 ,
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求方程的另一个根及 c 的值 .
解(二）：设方程的另一个根为x 则由 0, 根与系数的关系可知 x0 3 2 x0 1 , 解得： c 3 x0 3 c 答：方程的另一个根为 -1，c的値为 -3.
(4 ) x x ( 原 x ) 6 式 5 30 1 2 1 2
(5)原式 x x (x x ) 1 6 5 1 10 1 2 1 2