《直线与圆》变式题111

合集下载

直线与圆的相交问题

a 1
2、（2010.江西.10）直线 y kx 3与圆
( x 2) 2 ( y 3) 2 4 相交于 M、N两点
若 MN 2 3 ，则 k 的取值范围就（B ）
3 ( A)[ ,0] 4 2 3 3 ( B)[ , ] (C)[ 3, 3] ( D)[ ,0] 3 3 3
y 3 4 x x 有公共点，则 b 的取值范
2
围是______.
解释：曲线
1 y 3
2
y 3 4 x x 2 3 ( x 2) 2 4
所以原曲线方程化简为
2
( x 2) ( y 3) 4 （1 y 3）
表示的是直线y=3下方的半圆（包括边界）
解释：圆心（2,3）到直线 y kx 3 的距离
2 4 k 2 2 d MN 2 r d 2 4 2 2 3 2 k 1 k 1 3 3 2 3k 1 k 3 3
2k
故选B
还有其他解法吗？
y
3
o
2
x
题型三：由相交求参数
例3、(2010· 湖北，9)若直线 y x b 与曲线
2 2
故选D
还有其他解法吗？
练一练：
1、设直线 ax y 3 0 与圆 ( x 1) ( y 2) 4
2 2
相交于 A、B 两点，且 AB 2 3 ，则
a _____ .
解释：由题知，弦心距
d a1
2 2
2tx y 2 t 0
(t R) 的位置关系为（
）
（A）相离（B）相切（C）相交（D）以上情况均有可能 2 2 解释：圆方程变为 ( x 1) ( y 2) 9 圆心到直线的距离

直线与圆的综合运用练习题

直线与圆的综合运用练习题直线与圆的关系是数学中的基础知识点，不仅在几何学中有广泛应用，而且在实际问题中也能发挥重要作用。

本文将给出一些直线与圆综合运用的练习题，帮助读者巩固和应用所学知识。

问题一：已知直线与圆的交点坐标，求直线方程和圆的方程。

解析：设已知直线方程为y = kx + b，圆的方程为(x - m)² + (y - n)² = r²。

设交点坐标为(x₁, y₁)，代入直线方程得y₁ = kx₁ + b，代入圆的方程得(x₁ - m)² + (kx₁ + b - n)² = r²。

化简后即可得到直线方程和圆的方程。

问题二：已知直线与圆的交点坐标，求该直线过圆心的垂线方程。

解析：设已知直线方程为y = kx + b，圆心坐标为(m, n)。

由于直线过圆心的垂线与直线的斜率为k的负倒数，故直线过圆心的垂线的斜率为-1/k。

设垂线方程为y = mkx + c，代入圆心坐标(m, n)得c = n -k*m。

因此，该直线过圆心的垂线方程为y = -x/k + (n - k*m)。

问题三：已知直线与圆的交点坐标，求直线与圆的切线方程。

解析：设已知直线方程为y = kx + b，圆的方程为(x - m)² + (y - n)² = r²。

通过求导可得直线的斜率为k。

根据切线的性质，直线与圆的切线垂直于通过切点与圆心的半径。

设直线与圆的切点坐标为(x₁, y₁)，圆心坐标为(m, n)，切线方程为y = mx + c。

由于切线垂直于半径，故直线与切线的斜率乘积为-1，即k * m = -1。

代入切点坐标(x₁, y₁)和圆心坐标(m, n)可得c = y₁ - m*x₁。

因此，直线与圆的切线方程为y = -1/k * x + (y₁ - m*x₁)。

问题四：已知圆的半径和切点坐标，求切线方程。

解析：设圆的方程为(x - m)² + (y - n)² = r²，切点坐标为(x₁, y₁)。

直线和圆基础习题(答案版)教程文件

直线和圆基础习题（答案版）直线和圆的位置关系基础练习命题人：杨健文一、【直线与圆相切】51.过坐标原点且与圆X2+ y2—4x + 2y+ q =0相切的直线的方程为（）亠1A . y= —3x 或y=3 x1 C. y=—3x 或y= —3 x亠1B. y=3x 或y= —3 x1 D. y=3x 或y=3 xA.提示：依据圆心到直线的距离求直线的斜率.2 .圆（x —1）2+ （y+3 ）2=1的切线方程中有一个是（）A. x —y=0B. x+ y=0C. x=0D. y=0C.提示：依据圆心和半径判断.3.已知直线5x+ 12y+ a=0与圆x2+ y2—2x=0相切，则a的值为 _____ .—18或8.提示：用点到直线的距离公式，注意去绝对值符号时的两种可能情况.仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢24.设直线过点(0, a),其斜率为1,且与圆x2+ y2=2相切，贝U a的值为()A. ±.2B. ±C. ± 2D. ±4B.提示：用点到直线的距离公式或用△法.二、【直线与圆相交】1.设直线2x 3y 1 0和圆x2y22x 3 0相交于点A、B,则弦AB的垂直平分线方程是______ .3x 2y 3 0 .提示：弦的垂直平分线过圆心.2.设直线ax—y + 3=0与圆(x —1)2+ (y —2)2=4有两个不同的交点A , B,且弦AB的长为2 3，则a等于 ______ .仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢3精品资料0.提示：依据半径、弦长、弦心距的关系求解.精品资料3 .设圆上点A (2, 3)关于直线x+ 2y=0的对称点仍在圆上，且圆与直线x —y+ 1=0相交的弦长为2 2，求圆的方程.设圆的方程为(x—a)2+ (y —b)2=r2，点A (2, 3)关于直线x + 2y=0的对称点仍在圆上，说明圆心在直线x + 2y=0上，a+ 2b=0，又(2 —a)2+ (3 —b)2=r2，而圆与直线x—y +仁0相a b 1交的弦长为2 2 ,，故r2— ( —)2=2,依据上述方程解得：b i = —3 b2= —7a i =6 或a2=14r i2=52 r22=244•••所求圆的方程为(x —6)2+ (y + 3)2=52，或(x—14)2+ (y + 7)2=224 .二、【对称冋题】1.圆(x —2)2+ y2=5关于原点(0,0)对称的圆的方程为()A. (x+ 2)2+ y2=5B. x2+ (y —2)2=5C. (x—2)2+ (y —2) 2=5 D . x + (y+ 2)2=5A.提示：求圆心关于原点的对称点.2.对曲线|x|—|y|=1围成的图形，下列叙述不正确的是()仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢4仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢5精品资料A •关于x轴对称B •关于y轴对称C •关于原点轴对称D •关于y=x轴对称D.提示：画张图看，或考虑有关字母替代规律.3._____________________________________________________ 直线l i：y= —2x+ 4关于点M (2, 3)的对称直线方程是____________________ .2x + y—10=0.提示：所求直线上任意一点(x,y)关于(2, 3)的对称点(4 —x,6 —y)在已知直线上.4.求直线l i：x+ y—4=0关于直线1: 4y+ 3x—仁0对称的直线12的方程.17x + 31y+ 86=0.提示：求出两直线的交点，再求一个特殊点关于I的对称点，用两点式写12的方程；或直接设12上的任意一点，求其关于I的对称点，对称点在直线11上.求对称点时注意，一是垂直，二是平分.5.光线经过点A (1, 7)，经直线I: x + y +仁0反射，反射线经过点B精品资料仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢6(1, 1).(1) 求入射线所在的方程；(2) 求反射点的坐标.2(1)入射线所在直线的方程是：5x — 4y + 2=0;( 2)反射点(—3，— 13) •提示：用入射角等于反射角原理.四、【轨迹方程】1.已知两定点A (-2, 0), B (1, 0),如果动点P 满足|PA|=2|PB|,则点 P 的轨迹所包围的图形的面积等于 ()A . nB 4 nC 8 nD 9 nB •提示：直接将动点坐标代如等式，求得点的轨迹是一个以( 2, 0)为圆心，2为半径的圆.。

直线和圆综合练习题集附答案解析

直线与圆的方程训练题一、选择题:1．直线1x =的倾斜角和斜率分别是（）A ．B ．C ．，不存在D ．，不存在 2．设直线0ax by c ++=的倾斜角为α，且sin cos 0αα+=，则,a b 满足（） A ．1=+b aB ．1=-b aC ．0=+b aD ．0=-b a3．过点(1,3)P -且垂直于直线032=+-y x 的直线方程为（） A ．012=-+y x B ．052=-+y x C ．052=-+y x D ．072=+-y x 4．已知点(1,2),(3,1)A B ，则线段AB 的垂直平分线的方程是（） A ．524=+y x B ．524=-y x C ．52=+y x D ．52=-y x 5．直线cos sin 0x y a θθ++=与sin cos 0x y b θθ-+=的位置关系是（）A ．平行B ．垂直C ．斜交D ．与的值有关 6．两直线330x y +-=与610x my ++=平行，则它们之间的距离为（）A ．4 BCD7．如果直线l 沿x 轴负方向平移3个单位再沿y 轴正方向平移1个单位后，又回到原来的位置，那么直线l 的斜率是（）A ．-13B ．3-C ．13D ．38．直线l 与两直线1y =和70x y --=分别交于,A B 两点，若线段AB 的中点为(1,1)M -，则直线l 的斜率为（）A ．23 B ．32 C ．32- D ． 23-9．若动点P 到点(1,1)F 和直线340x y +-=的距离相等，则点P 的轨迹方程为（） A ．360x y +-= B ．320x y -+= C ．320x y +-= D ．320x y -+=10．若为圆的弦AB 的中点，则直线AB 的方程是（） A. 03=--y x B. 032=-+y x C. 01=-+y x D. 052=--y x11．圆012222=+--+y x y x 上的点到直线2=-y x 的距离最大值是（） A ．2 B ．21+ C ．221+D ．221+ 12．在坐标平面，与点(1,2)A 距离为1，且与点(3,1)B 距离为2的直线共有（）0135,1-045,10900180,,a b θ(2,1)P -22(1)25x y -+=A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条 13．圆0422=-+x y x 在点)3,1(P 处的切线方程为（）A ．023=-+y xB ．043=-+y xC ．043=+-y xD ．023=+-y x14．直线032=--y x 与圆9)3()2(22=++-y x 交于,E F 两点，则∆EOF （O 是原点）的面积为（）Ａ．23 Ｂ．43Ｃ．52 Ｄ．55615．已知圆C 的半径为2，圆心在x 轴的正半轴上，直线0443=++y x 与圆C 相切，则圆C 的方程为（）A ．03222=--+x y x B ．0422=++x y xC ．03222=-++x y xD ．0422=-+x y x16．若过定点)0,1(-M 且斜率为k 的直线与圆05422=-++y x x 在第一象限的部分有交点，则k 的取值围是（）A. 50<<k B. 05<<-k C. 130<<k D. 50<<k 17．圆：06422=+-+y x y x 和圆：0622=-+x y x 交于,A B 两点，则AB 的垂直平分线的方程是（） A.30x y ++= B ．250x y --= C ．390x y --= D ．4370x y -+=18．入射光线在直线1:23l x y -=上，经过x 轴反射到直线2l 上，再经过y 轴反射到直线3l 上，若点P是1l 上某一点，则点P 到3l 的距离为（）A ．6 B ．3 C D 二、填空题:19．已知直线,32:1+=x y l 若2l 与1l 关于y 轴对称，则2l 的方程为__________; 若3l 与1l 关于x 轴对称，则3l 的方程为_________; 若4l 与1l 关于x y =对称，则4l 的方程为___________;20．点(,)P x y 在直线40x y +-=上，则22x y +的最小值是________________.21．直线l 过原点且平分ABCD 的面积，若平行四边形的两个顶点为(1,4),(5,0)B D ，则直线l 的方程为________________。

(完整版)直线与圆的方程测试题(含答案)

直线与圆的方程测试题（本试卷满分150分，考试时间120分钟）一、单项选择题(本大题共18小题，每小题4分，共72分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其选出，错选、多选或未选均无分.1.点M 1(2,-5)与M 2(5,y)之间的距离是5，则y=（）A.-9B.-1C.-9或-1D. 122. 数轴上点A 的坐标是2，点M 的坐标是-3，则|AM|=（）A.5B. -5C. 1D. -13. 直线的倾斜角是32π，则斜率是（） A.3-3B.33C.3-D.34. 以下说法正确的是（）A.任意一条直线都有倾斜角B. 任意一条直线都有斜率C.直线倾斜角的范围是(0,2π) D. 直线倾斜角的范围是(0,π)5. 经过点(4, -3)，斜率为-2的直线方程是（）A. 2x+y+2=0B.2x-y-5=0C. 2x+y+5=0D. 2x+y-5=06. 过点(2,0)且与y 轴平行的直线方程是（）A.x=0B.y=0C.x=2D.y=27. 直线在y 轴上的截距是-2，倾斜角为0°，则直线方程是（） A.x+2=0 B.x-2=0 C.y+2=0 D.y-2=08. “B ≠0”是方程“Ax+By+C=0表示直线”的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充分且必要条件D.非充分非必要条件9. 直线3x-y+21=0与直线6x-2y+1=0之间的位置关系是（）A.平行B.重合C.相交不垂直D.相交且垂直10.下列命题错误．．的是（）A. 斜率互为负倒数的两条直线一定互相垂直B. 互相垂直的两条直线的斜率一定互为负倒数C. 两条平行直线的倾斜角相等D. 倾斜角相等的两条直线平行或重合11. 过点(3,-4)且平行于直线2x+y-5=0的直线方程是（）A. 2x+y+2=0B. 2x-y-2=0C. 2x-y+2=0D.2x+y-2=012. 直线ax+y-3=0与直线y=21x-1垂直，则a=（）A.2B.-2C. 21D. 21-13. 直线x=2与直线x-y+2=0的夹角是（）A.30°B. 45°C. 60°D. 90°14. 点P (2,-1)到直线l ：4x-3y+4=0的距离是（）A.1B.511 C.53 D.3 15. 圆心在( -1,0)，半径为5的圆的方程是（）A.(x+1)2+y 2=5B. (x+1)2+y 2=25C. (x-1)2+y 2=5D. (x-1)2+y 2=2516. 直线3x+4y+6=0与圆(x-2)2+(y+3)2=1的位置关系是（）A.相交不过圆心B.相交且过圆心C.相切D.相离17. 方程x 2+y 2-2kx+4y+3k+8=0表示圆，则k 的取值范围是（）A.k<-1或k>4B. k=-1或k=4C. -1<k<4D. -1≤k ≤418. 直线y=0与圆C:x 2+y 2-2x-4y=0相交于A 、B 两点，则△ABC 的面积是（）A.4B.3C.2D.1二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分)请在每小题的空格中填上正确答案。

2014届高二第一学期期末数学复习--直线与圆答案

直线与圆【知识梳理】1．圆的方程：（1）圆心为C(a 、b)，半径为r 的圆的标准方程为_________________．（2）圆的一般方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(其中D 2＋E 2－4F>0)，圆心为，半径r ＝．（3）二元二次方程Ax 2＋Bxy ＋Cy 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆的充要条件是．（4）圆x 2＋y 2＝r 2的参数方程为__________．2．过两圆的公共点的圆系方程：设⊙C 1：x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＝0，⊙C 2：x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2＝0，则经过两圆公共点的圆系方程为．3．直线与圆的位置关系：相切⇔d ＝r ⇔△＝0，相交⇔ ⇔ ，相离⇔ ⇔ 4．圆与圆的位置关系：外离⇔d > R ＋r ；外切⇔ ；相交⇔ 内切⇔ ；内含⇔ 。

5. 圆的切线方程：圆x 2＋y 2＝r 2上一点p(x 0, y 0)处的切线方程为l: 。

【基础过关】1．经过A(6，5)，B(0，1)两点，且圆心在直线3x ＋10y ＋9＝0上的圆方程为。

2．若方程02)2(222=++++a ax y a x a 表示圆，则a 的值为。

3．若直线y =x +k 与曲线x =21y -恰有一个公共点，则k 的取值范围是。

4．已知以)3,4(-C 为圆心的圆与圆122=+y x 的相切，则圆C 的方程为。

【典型例题】例1．在平面直角坐标系xOy 中,设二次函数f (x )=x 2+2x +b (x ∈R)的图象与两坐标轴有三个交点,经过这三个交点的圆记为C 。

(1)求实数b 的取值范围； (2)求圆C 的方程； (3)问圆C 是否经过某定点(其坐标与b 无关)？请证明你的结论．【变式】在平面直角坐标系xOy 中,设二次函数f (x )=x 2+2x +b (x ∈R)的图象与两坐标轴有三个交点,经过这三个交点的圆记为D .问是否存在b 使三个交点构成的三角形为圆D 的内接直角三角形？若存在,求出b 的值；若不存在,说明理由．例2．已知圆x 2+y 2+x-6y+m=0和直线x+2y-3=0交于P ，Q 两点，且OP ⊥OQ （O 为坐标原点），求该圆的圆心坐标及半径。

2020年高考全国1数学理高考真题变式题11-15题-(学生版)

2020年高考全国1数学理高考真题变式题11-15题原题111．已知⊙M ：222220x y x y +---=，直线l ：220x y ++=，P 为l 上的动点，过点P 作⊙M 的切线,PA PB ，切点为,A B ，当||||PM AB ⋅最小时，直线AB 的方程为（） A ．210x y --= B ．210x y +-= C ．210x y -+= D ．210x y ++=变式题1基础2．已知圆22:2O x y +=，过直线:24l x y +=在第一象限内一动点P 作圆O 的两条切线，切点分别是A ，B ，直线AB 与两坐标轴分别交于M ，N 两点，则OMN 面积的最小值为（） A ．12B ．1C 2D ．2变式题2基础3．已知圆22:410C x y x +++=，过圆外一点P 作圆C 的切线，切点为A ，若||2|PA PO =（O 为坐标原点），则||PC 的最小值为（） A ．4 B ．42C ．43 D ．45变式题3巩固4．已知圆22:1O x y +=，直线:20l x y ++=，点P 为l 上一动点，过点P 作圆O 的切线PA ，PB （切点为A ，B ），当四边形PAOB 的面积最小时，直线AB 的方程为（）A ．10x y -+=B ．20x y -=C ．10x y ++=D ．20x y +=变式题4巩固5．设(){},512160A x y x y =++≤，点P A ∈，过点P 引圆()()22220y x r r +=->的两条切线PA ，PB ，若APB ∠的最大值为2π3，则r 的值为（） A ．2 B 3C 2D ．1变式题5巩固6．在平面直角坐标系xOy 中，过点()0,A a 向圆()()22:213C x y -+-=引切线，切线长为1d .设点A 到直线40x y -+=的距离为2d ，当12d d +取最小值时，a 的值为（） A ．1 B ．2 C 52D 32变式题6提升7．已知点M 为直线30x y +-=上的动点，过点M 引圆221x y +=的两条切线，切点分别为A ，B ，则点()0,1P -到直线AB 的距离的最大值为（）A ．32B ．53C 11D 17原题128．若242log 42log a b a b +=+，则（） A ．2a b > B ．2a b < C ．2a b > D ．2a b <变式题1基础9．已知正实数a ，b ，c 满足123log a a =，122log b b =，121log 2cc ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则（）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c b a <<D ．b a c <<变式题2基础10．已知3log 1a a ⋅=，31b b ⋅=，21c c ⋅=，则a b c ，，的大小关系为（） A ．a b c << B ．c a b << C ．b c a << D ．b a c <<变式题3巩固11．已知2772x y x y +=+，则下列关于x ，y 的关系中一定不正确的是（） A ．0y x << B ．x y =C ．01y x <<<D ．1x y >>变式题4巩固12．设,,a b c分别满足等式3111,2,222b a bc c +=+=，则（） A ．a b c << B ．a c b << C ．c a b << D ．b a c <<变式题5巩固13．设,,x y z 为正数，且235log log log 0x y z ==>，则下列关系式不能成立的是 A ．235x y z << B ．532z y x <<C ．352y z x << D ．235x y z == 变式题6提升14．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，对任意两个不相等的正数12,x x 都有()()2112120x f x x f x x x -<-，记()()()0.20.20.2022.240.4log ,,40.44log 4f f f a b c ===，则（）A ．c b a <<B ．a b c <<C ．a c b <<D ．c b a <<原题1315．若x ，y 满足约束条件220,10,10,x y x y y +-≤⎧⎪--≥⎨⎪+≥⎩则z =x +7y 的最大值为______________.变式题1基础16．已知实数,x y满足210xyx y≥⎧⎪≤⎨⎪-+≤⎩，则12x y-的最大值为_______________________．变式题2基础17．若实数x，y满足不等式组311x yx yx+≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，则2x y+的最大值是___________.变式题3巩固18．若实数x，y满足约束条件2601x yx yy-≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥-⎩，则x y+取最大值时最优解为________．变式题4巩固19．若,x y满足约束条件4714085480360x yx yx yx Z-+⎧⎪+-⎪⎨+-⎪⎪∈⎩，则z x y=+的最大值为（）A．152B．7C．477D．365变式题5巩固20．已知点(x，y)的坐标满足条件30{2602290x y ax yx y--<+->-+>，且x，y均为正整数．若4x－y取到最大值8，则整数a的最大值为（）A．4B．5C．6D．7变式题6提升21．已知,x y满足不等式组20110x yxx ay+≥⎧⎪≤⎨⎪--≥⎩，3z x y=-+只过(1,0)时有最大值，求a的取值范围_____________原题1422．设,a b为单位向量，且||1a b+=，则||a b-=______________.变式题1基础23．已知平面向量a，b的夹角为π3，且2=a，1=b，则a b-=_______.变式题2基础24．设向量a､b的长度分别为4和3，夹角为60︒，则a b+=______.25．已知||3a =、||4=b ，求||a b -的取值范围是________. 变式题4巩固26．已知平面向量a ，b 都是单位向量，且12a b ⋅=-，则2a b -的值为______．变式题5巩固27．设向量a ，b 满足||3a =，||1b =，且1cos 3a <<，12b ><，则|2|-a b 的取值范围是__．变式题6提升28．已知平面向量a ，b ，c 满足3a b ⋅=-，4a b -=，c a -与c b -的夹角为3π，则c a b --的最大值为___________．原题1529．已知F 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点，A 为C 的右顶点，B 为C 上的点，且BF 垂直于x 轴.若AB 的斜率为3，则C 的离心率为______________. 变式题1基础30．已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为F 1，F 2，左、右顶点分别为A1，A 2，点P 是双曲线C 上不同于A 1，A 2的任意一点，若12PF F △与12PA A △，则双曲线C 的离心率为__．变式题2基础31．已知F 是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点，以OF （O 为坐标原点）为直径的圆与双曲线的一个交点为A ，若OA 的倾斜角为π6，则该双曲线的离心率为______．变式题3巩固32．已知双曲线22221x y a b -=（0a >，0b >）的右焦点为F ，右顶点为A ，虚轴的一个端点为B ，若点F 到直线AB 的距离为3b，则双曲线的离心率为______．变式题4巩固33．设12,F F 分别是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点，A 是双曲线的左顶点，点P在过点A 若12PF F ∆为等腰三角形，且12120F F P ︒∠=，则双曲线C 的离心率为___________.34．已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，若以12F F 为直径的圆和曲线C 在第一象限交于点P ，且2POF 恰好为正三角形，则双曲线C 的离心率为______. 变式题6提升35．已知双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>，点F 为E 的左焦点，点P 为E 上位于第一象限内的点，P 关于原点的对称点为Q ，且满足||3||PF FQ =，若||OP b =，则E 的离心率为_________.。

第09章直线与圆的方程变式题答案

第九章直线与圆的方程【例9.1变式1】解析解法一：容易判断直线与x 轴不垂直，故可设:l y kx b =+,由题意可知直线y kx b =+与直线(1)2y k x b =+++重合，即直线y kx b =+与直线2y kx b k =+++重合，故2,2b b k k =++=-.解法二：不妨设点()00,,P x y l l ⊂先向左平移一个单位，得点()1001,P x y -，再向上平移两个单位，得点()2001,2,P x y -+且()2001,2,P x y l -+∈故20000221PP y y k k x x +-===---.评注本题请读者注意函数图像（或方程的曲线）平移与点平移的区别【例9.1变式2】解析由题设可知0,ABk >即2210,10,(1,1)12m m m ->-<∈--，故m 的取值范围是y kx b =+ 【例9.2变式1】解析选项A 错误，比如1α为锐角，2α为钝角是不成立，同理选项C 错误.当1290α=α=︒时，两斜率都不存在，选项B 错误，故选D . 【例9.2变式2】分析斜率的取值范围有正有负的情况，要注意分段.如本题需把k ⎡∈-⎣分为[)1,0k ∈-和k ⎡∈⎣两段.解析当10k -≤<时，倾斜角的范围是)3,4π⎡π⎢⎣；当0k ≤≤0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故所求倾斜角的范围是)30,,34ππ⎡⎤⎡π⎢⎥⎢⎣⎦⎣U ，故选D . 评注（1）研究斜率的变化要与倾斜角的变化结合起来考虑，因为倾斜角的范围是[]0,π，该范围不是正切函数的单调区间，往往要分段，即分为)0,2π⎡⎢⎣和,2π⎡⎤π⎢⎥⎣⎦讨论解决，相对应的，对斜率多分成0k ≥和0k <两段来讨论.（2）沟通直线斜率与倾斜角的关系的工具是正切函数tan y x =在区间)0,,22ππ⎡⎡⎤π⎢⎢⎥⎣⎣⎦U 上的图像，通过此图像（如图()918a -所示）能很好的理解斜率的变化与倾斜角变化的联系，当tan k a ⎡=∈-⎣时，易见对应的倾斜角的取值范围是)30,,34a ππ⎡⎤⎡∈π⎢⎥⎢⎣⎦⎣U . (3)由斜率范围确定倾斜角的范围，求解时要注意：①斜率不存在时，倾斜角为2π；②熟记倾斜角的取值范围是[]0,π；③由斜率k 的范围求倾斜角的范围时，利用数形结合法（结合正切函数tan y x =在区间[]0,π上的图像），有利于问题的求解.【例9.2变式3】解析直线l 经过()2(2,1),1,A B m 两点，则221111l m k m -==-≤-，如图918()b -所示，知倾斜角的取值范围是()0,,42ππ⎡⎤π⎢⎥⎣⎦U ，故选D . 【例9.3变式1】解析解法一：如图9-19所示，直线0=++m my x 恒过点()10-，A ,,232021,21011=---=-=+--=AQ AP k k 当0=m 时，直线0=x l ：与线段PQ 有交点；当0≠m 时，则231-≥m 或21--≤m ，所以2132-≤≤m 且0≠m .故所求m 的取值范围是⎥⎦⎤⎢⎣⎡2132-，.解法二：由线性规划知，要使l 与线段PQ 有公共点，只需Q P ,落在直线l 两侧或直线l 上，即()()03231-≤++m m ，解得2132-≤≤m ，故m 的取值范围为⎥⎦⎤⎢⎣⎡2132-，. 【例9.3变式2】解析由23y ++x 的几何意义可知，它表示经过定点()32，-P 与曲线AB 上任一点()y x ,的直线的斜率k ,由图9-20可知：PB PA k k k ≤≤，由已知可得：()()8,34,51,11==-PB PA k k B A ，，,所以,834≤≤k 故23y ++x 的最大值为8，最小值为34.评注当条件为y x ,的关系式时，要求的结论有三种类型：（1）二元一次型by ax +，令t by ax =+，转化为直线的截距问题；（2）二元二次型()()22n y m x -+-，令()()t n y m x =-+-22转化为两点间的距离问题；（3）比例型m x n ++y ，令k mx n=++y 转化为斜率问题求本题.【例9.4变式1】解析（1）;062=+-y x （2）033=+-y x ；（3）152=-+yx ，即01025=--y x . 【例9.4变式2】解析设直线21,l l 的倾斜角分别为βα，，斜率分别为,,21k k 则43tan 1tan 22tan tan ,3tan 221-=-=====αααβαk k ，故()1430:2--=-x y l ，即0343:2=-+y x l .【例9.5变式1】解析由截距式可得直线1:=+ayb x l AB ，直线,1=+p yc x l CP ：设()00,y x F ，直线AB 与直线PC 相较于点F ，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+110000p y cx a y b x ，作差得0111100=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫⎝⎛-y a p x b c ，故点()00,y x F 及原点O 同时满足此方程01111=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫⎝⎛-y a p x b c ，所以直线OF 的方程为01111=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-y a p x b c . 评注由类比推理也可直接得到直线OF 的方程. 【例9.6变式1】解析依题意，直线l 的方程有如下两种情形： ①直线l 经过点()0,0，即过坐标原点，直线方程为x y 32=，即032=-y x ； ②直线l 不经过点()0,0，设直线方程为1=+a y a x 过点()2,3，则,123=+aa 即15=a ，得5=a ，故05=-+y x ，因此直线l 的方程为05=-+y x 或032=-y x .【例9.6变式2】解析依题意，直线l 的方程有如下两种情形①直线l 经过点()0,0，即过坐标原点，直线方程为12y x =即20x y -=；②直线l 不经过点()0,0，设直线方程为1yx a b +=，过()2,1P ,又2b a =，得2112a a+=解得5,52a b ==，故1552yx +=即250x y +-=.因此，直线l 的方程为20x y -=或20x y -=. 【例9.7变式1】解析（1）由题意可设直线l 的方程为1(0,0)yx a b a b+=>>，则,OA a OB b ==，所以12AOB S ab =V ，又点(2,1)P 在直线l 上，所以211a b+=，因为0,0a b >>，所以21a b +≥即1.当且仅当2112a b ==，即4,2a b ==时取“=”.此时，AOB V 的面积取得最小值，直线方程为240x y +-= （2）设l 的方程为1(0,0)yx a b a b+=>>，由点P 在直线l 上取得211,OA OB a b a b+=+=+，所以()()21332a b a b a b a b b a +=++=++≥+2a b b a =，即a =时等号成立.又因为211a b +=，所以21a b ==,所以直线方程为(20x -= （3）如图9-21所示，过点P 作x PM ⊥轴，y PN ⊥轴，设,α=∠BAO在PAM Rt ∆中，αsin 11==PA PM ，，在PAN Rt ∆中，αcos 21==PA PN ，，所以,2sin 4cos 2sin 1ααα=⋅=PB PA 又因为⎪⎭⎫⎝⎛∈20πα，，当22πα=时，即当4πα=时，PB PA 取最小值，此时直线向量为-1，所以直线方程为03=-+y x .评注本题也可将直线l 的方程设为()()021<-=-k x k y ，易知(),21,0,0,12k B k A -⎪⎭⎫⎝⎛-如（1）中⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=--=∆k k k k S AOB 14421211221. 因为0k <,所以1142(4)()4k k k k--≥--=. (当且仅当12k =-时取“=”)，因此AOB S ∆的最小值为4. 此时直线方程为11(2),2y x -=--即240.x y +-=如(2)中，11|||||2||12|3(2)(0),OA OB k k k k k+=-+-=-+<u u u r u u u r因为1(2)()22k k -+-≥(当且仅当22k =-时取“=”)，所以||||OA OB +u u u r u u u r 取最小值322+时，直线方程为21(2)2y x -=--，即2(22)0.x y +-+=如(3)中，12||||,1(2,121)2(0),PA PB AP PB k k k k k ⎛⎫=⋅=⋅---=--< ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r因为224k k --≥=，(当且仅当1k =-时取“=”). 所以||||PA PB u u u r u u u r取得最小值4时，直线方程为1(2)y x -=--，即30.x y +-=【例9.8变式】解析解法一：设所求直线为l ，则①当直线l x ⊥轴时，l 为0,x =则l 与1l 的交点为10(0,),3A l 与2l 的交点为(0,8),B AB 的中点为17(0,),3不与(0,1)M 重合，故舍去；②当直线l 的斜率存在时，设:1,l y kx =+由1,3100y kx x y =+⎧⎨-+=⎩得731,10131x k k y k ⎧=⎪⎪-⎨-⎪=⎪-⎩由1,280y kx x y =+⎧⎨+-=⎩得72,822x k k y k ⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩又(0,1)M 为两交点的中点，则370,312k k +=-+解得1,4k =-则l 为11,4y x =-+即440.x y +-=解法二：设过点(0,1)M 的直线l 与直线2l 分别交于点,A B .因为点A 在直线1l 上，故可设(310,)A b b -；点B 在2l 上，故可设(,82)B a a -. 又点(0,1)M 是,A B 的中点，则3100822b a b a -+=⎧⎨+-=⎩，解得4,2a b =⎧⎨=⎩故201(4,2),(4,0),84AB A B k --==-- 直线AB 的方程为114y x =-+，即440x y +-=. 【例9.9变式1】解析 1l 整理成点斜式可求出过定点(3,2)--，2l 与x 轴正半轴交点为(4,0)，与y 轴正半轴交点为(0,4),定点分别与这两点连线，那么要使交点在第一象限，只须1l 的斜率0(2)4(2),4(3)20(3)a ----<-<----解得4(4,).7a ∈--【例9.10变式1】解析当1l //2l 时，(1)12,a a +=⨯解得1a =或 2.a =- 当1a =时，1212:210,:240,l x y l x y l l +-=++=∥；当2a =-时，12121:0,:40,.2l x y l x y l l -+=-+=∥ 故121l l a ⇔=∥或 2.-又{1}{-2,1},⊄“小推大”，故选.A【例9.10变式2】分析两直线1112220,0A x B y C A x B y C ++=++=垂直的充要条件是12120.A A B B +=解析由两条直线垂直的等价条件12120A A B B +=得，(2)(2)3(2)0,m m m m +-++= 即(2)(42)0,m m +-=得2m =-或1.2m =因此，“12m =”是“直线(2)310m x my +++=与直线(2)(2)30m x m y -++-= 相互垂直”的充分不必要条件.故选B.【例9.11变式1】解析因为直线250x y -+=与直线260x my +-=相互垂直，所以12(2)0,m ⨯+-⨯=得 1.m =【例9.11变式2】解析 (1)由(3)(5)80,m m ++-=得1m =-或7.-当1m =-时，12:2480,:2480,l x y l x y +-=+-=即12,l l 重合；当7m =-时，12:22130,:40,l x y l x y -+=--=即12,l l ∥故12l l ∥时，7m =-. (1)当7m =-时，12l l ∥； (2)当1m =-时，12,l l 重合； (3)由34(5)25m m m +≠≠-+得1m ≠-且7,m ≠-所以当1m ≠-且7m ≠-时，12,l l 相交；当5m =-时，12,l l 也相交，即1m ≠-且7m ≠-时，12,l l 相交. (4)由2(3)4(5)0m m +++=得13,3m =-所以当133m =-时，12,l l 垂直.评注运用有斜率的两直线平行或垂直的条件处理两直线的位置关系时，要紧紧抓住12,k k 及12,b b 之间的关系，需要注意的是“有斜率”这一前提条件，否则回事解题不严谨甚至导致错误.判断两直线平行，垂直，重合时，不要忘记考虑两条直线中有一条或两条直线的斜率不存在的情况，在两条直线的斜率均存在且均不重合的条件下有：12l l ⇔∥1212,k k b b ==与1212 1.l l k k ⊥⇔=-在斜率不存在或为零的情况下讨论两直线的位置关系宜用数形结合法求解.【例9.12变式1】解析依题意可设点P 的坐标为(,53),a a - 则d ===所以|23|1,a -=得2a =或 1.a =所以点P 坐标是(2,1)-或(1,2).故选.C评注本题也可求出与直线10x y --=350x y +-=联立，求得交点坐标.【例9.12变式2】解析由平面几何知识知，l AB ∥或 l 过AB 的中点. ①若l AB ∥，则021,3(1)2AB k -==---由点斜式可得直线方程为12(1),2y x -=--即250.x y +-=②若l 过AB 的中点(1,1),M 则直线方程为 1.x =综上所述，所求直线方程为1x =或250.x y +-= 【例9.12变式3】解析解法一：22222699(32)5()555x y y y y +=-+=-+≥，故当65y =时，22min 9().5x y += 解法二：设原点为(0,0),O 则2222min 9()((,)).5x y d O l +===【例9.13变式1】解析112:2220,(,)4l x y d l l +-====故选D . 评注在运用平行线间距离公式时，应使得两直线x 和y 的对应系数相等.【例9.13变式2】解析解法一：设动点(,)P x y=即|21|1,x y ++=则有 20x y +=或220.x y ++=解法二：由题设可知，所求轨迹是与直线l 平行的直线,l '且(,)5d l l '=故其方程可设为:20,l x y C '++==解得0C =或2. 故:20l x y '+=或220.x y ++=故选.D【例9.13变式3】解析 (1) 21:20,2l x y --=所以1l 与2l 之间的距离为：1|()|a d --== 因为0,a >所以 3.a =(2)设存在点00(,)P x y 满足②，则点P 在与12,l l 平行的直线l '，可设:20,l x y C '-+=1||12C +=即132C =或11,6所以0011206x y -+=或001320.2x y -+= 若点P 满足条件③，则由点到直线的距离公式有：=即0000|23||1|,x y x y -+=+- 所以00240x y -+=或0320x +=(舍去，因为点P 在第一象限)，由00001320,2240x y x y ⎧-+=⎪⎨⎪-+=⎩得00312x y =-⎧⎪⎨=⎪⎩(舍)；由00001120,6240x y x y ⎧-+=⎪⎨⎪-+=⎩得0019.3718x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以点由137(,)618P 即为同时满足条件的点. 【例9.14变式1】解析设线段AB 与直线1l 的夹角为([0,]),2πθθ∈则距离||sin ||5,d AB AB θ=≤==当且仅当2πθ=时取等号.此时1,l AB ⊥故直线1l 的斜率为11123,224AB k k ---==-=--- 所以直线13:2(1),4l y x +=-+即1:34110.l x y ++= 又12,l l ∥故23:2(2),4l y x -=--即2:34140.l x y +-=【例9.15变式1】解析 (1)设点Q 的坐标为(,),x y 则432,522x y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=-⎪⎩得2,9x y =⎧⎨=-⎩故点Q 的坐标为(2,9).- (2)设点(4,5)P 关于直线l 的对称点为(,),x y 则5143,4533022y x x y -⎧=-⎪⎪-⎨++⎪⨯-+=⎪⎩ 得2,7x y =-⎧⎨=⎩故点Q 的坐标为(2,7).- (3)依题意，点(4,6)A 到直线1l 与直线2l= 得|4||4|,b b -=+即0.b =(4)解法一：联立330,20x y x y -+=⎧⎨-+=⎩解得12,32x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩则1l 与l 的交点为13(,).22P - 在1l 上取一点(1,0)A -关于l 对称点00(,),Q x y 则有：000012022,111x y y x -⎧-+=⎪⎪⎨⎪⨯=-+⎪⎩解得002.1x y =-⎧⎨=⎩由两点式得31112,12322y x --==+-+即350.x y -+= 解法二：因为对称轴直线的斜率为1，故利用“一解一代法”.设直线1:330l x y -+=上点的坐标为00(,),x y 关于直线:20l x y -+=对称的点坐标为(,),x y 则002,2x y y x =-⎧⎨=+⎩将0022x y y x =-⎧⎨=+⎩代入直线方程330x y -+=得：3(2)(2)30,y x --++=即350.x y -+=【例9.16变式1】解析分别求点(2,0)P 关于直线4x y +=及y 轴的对称点12(4,2),(2,0)P P -，由光学知识知，光线所经路程即12||PP =故选.A【例9.16变式2】分析以点A 为原点，建立平面直角坐标系求解，利用点P 关于直线对称性求解.解析分别以,AB AC 所在直线为A 轴，y 轴，A 为原点建立如图9—23所示的平面直角坐标系.因为4,AB AC ==故(4,0),(0,4),B C 设点(,0)(0)P t t >为线段AB 上的点，点P 关AC 的对称点(,0)P t '-，点P 关于BC 的对称点(4,4).M t -由光的反射原理知，点,P 'M 一定在直线RQ 上，又ABC ∆的重心坐标为44(,),33G 由题意知点G 在线段RQ 上，即,,P G M '三点共线.因为44(,),(4,4),33P G t MP t t P G MP ''''=+=---u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r ∥，所以44()(4)(4)033t t t +----=，解得4,3t =即4||.3AP =u u u r 故选.D【例9.17变式1】解析解法一：设所求圆的方程为222()().x a y b r -+-=图9—23t )由题意得222222(6)(0)(1)(5),2780a b r a b r a b ⎧-+-=⎪-+-=⎨⎪-+=⎩解得232,13a b r ⎧=⎪=⎨⎪=⎩所以所求圆的方程为22(3)(2)13.x y -+-= 解法二：线段AB 的垂直平分线方程为57,22y x -=-得10.x y --= 联立方程10,2780x y x y --=⎧⎨-+=⎩得圆心坐标为(3,2).则222(63)(02)13.r =-+-=故所求圆的方程为22(3)(2)13.x y -+-=【例9.17变式1】解析曲线261y x x =-+与y 轴的交点为(0,1),与x轴的交点为(3A +(3B -C 的圆心一定在AB 的垂直平分线3x =上.故可设C 的圆心为(3,),t则有22223(1),t t +-=+解得 1.t =则圆C3,=所以圆C的方程为22(3)(1)9.x y -+-=【例9.18变式1】解析依题意，设所求圆的方程为222()(3)9,x a y a a -+-= 则圆心(,3)a a 到直线0x y -=|,a =所以222279,r a a =+= 故21,1a a ==或21,9.a r =-=因此所求圆的方程为22(1)(3)9x y -+-=或22(1)(3)9.x y +++=【例9.19变式1】解析解法一：311, 1.3PQ l PQa b k k b a k ---====---因为线段PQ 的中点为33(,),22a b a b+--+则所以33:(),22a b a bl y x -++--=--即:30.l x y +-=设圆心(2,3)的对称点为(,),m n3102,1233022n m m n m n -⎧=⎪=⎧⎪-⇒⎨⎨=++⎩⎪+-=⎪⎩故所求对称圆：22(1) 1.x y +-= 解法二：(特殊法)由,a b 的任意性，不妨设(0,0),(3,3),P Q 则00(2,3),(0,1)P Q 也关于l 对称.故所求对称圆：22(1) 1.x y +-=【例9.20变式1】解析解法一：因为通过两个定点的动圆中，面积最小的是以这两个定点为直径端点的圆，于是解方程组222402410x y x y x y ++=⎧⎨++-+=⎩得交点112(,),(3,2).55A B --因为AB 为直径，其中点为圆心，即为136(,),55-半径1||2r AB ==所以圆的方程为221364()().555x y ++-= 解法二：设过直线240x y ++=与圆222410x y x y ++-+=的交点的圆系方程为22241(24)0.x y x y x y λ++-++++=整理得22(22)(4)410,x y x y λλλ++++-++=圆心为(1,2),2λλ---代入直线方程240x y ++=中得22240,2λλ--+-+=得8.5λ=故圆的方程为222612370,555x y x y ++-+=即221364()().555x y ++-=【例9.20变式2】解析 (1)解法一：由0,40x y x y -=⎧⎨+-=⎩得(2,2).P因为43:3450,l l x y ⊥++=故设4:430.l x y C -+=又4l 过点(2,2),P 故42320,C ⨯-⨯+=得2,C =-即4:4320.l x y --== 解法二：设4:345()0,l x y x y λ+++-=即4:(1)(1)40.l x y λλ++--= 因为43:3450,l l x y ⊥++=所以3(1)4(1)0,λλ++-=得7.λ=- 故4:4320.l x y --==(2)解法一：设1122(,),(,),A x y B x y 线段AB 的中点00(,).D x y由22240,20x y x y m x y ⎧+---=⎨+-=⎩消y 得22240.x x m ---= 8360.m ∆=+> ①12121.42x x m x x +=⎧⎪⎨+=-⎪⎩ ② 由OA OB ⊥u u u r u u u r 得12120,x x y y +=即：1212(2)(2)0,x x x x +--=即121222()40x x x x -++=③把②代入③得42()2140,2m +--⨯+=得2,m =-符合①. 因为12000113,22,2222x x x y x +===-=-=圆心13(,),22D 因为,OA OB ⊥所以O在圆D上，所以半径||2OD =故得圆22135:()().222D x y -+-= 解法二：设AB 为直径的圆22:24(2)0,D x y x y m x y λ+---++-=即：22:(2)(4)20D x y x y m λλλ++-+---= ① 因为,OA OB ⊥，所以圆D 经过原点，故2.m λ=-又圆D 的圆心24(,)22D λλ----在直线l 上，故22()20,1,2,22m λλλ---+--===-代入①得圆22135:()().222D x y -+-= 解法三：设线段AB 的中点为00(,),D x y 则以AB 为直径的圆为圆.D 圆22:(1)(2)5,C x y m -+-=+则圆心(1,2).C 由垂径定理得，,CD AB ⊥ 则1,CD AB k k ⋅=-即002(1) 1.1y x -⋅-=--又点D 在直线l 上，则有 000022131,,122x x y x --=⇒==-即13(,),||22D CD =又因为,OA OB ⊥所以点O 在圆D上，故||||2DA DO == 所以22155||||3,22m CD AD +=+=+=得 2.m =-圆22135:()().222D x y -+-= 【例9.21变式1】分析利用数形结合的思想求解ABC ∆面积的最大值.解析如图9—24所示，以AB 的中点为坐标原点O ，AB 所在直线为x 轴，AB 的中垂【例9.21变式2】解析由题意可知平面,αβ⊥且DAP ∆与CBP ∆均为直角三角形. 又,APD BPC ∠=∠故tan tan ,APD BPC ∠=∠即,DA CB PA PB =即48,PA PB=即1.2PA PB =故动点P 的轨迹是圆(阿波罗尼奥斯圆). 在平面α内以A 为原点，AB u u u r方向为x 轴正半轴，垂直于AB 的直线为y 轴建立直角坐标系.依题意可设(,),(0,0),(6,0).P x y A B则=即22(2)16.x y ++= 所以动点P 到直线AB 的最大距离是4.故—max 4448()648.332P ABCD ABCD V S +==⨯⨯=故选.C 【例9.21变式2】解析 (1)解法一：(相关点法)设00(,),(,),M x y P x y 则由中点坐标公式可知0022,02x x y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩解得0022,2x x y y =-⎧⎨=⎩即点P 坐标为(22,2).x y - 因为点P 在圆224x y +=上，所以22(22)(2) 4.x y -+=整理化简得22(1) 1.x y -+= 故线段AP 中点M 的轨迹方程为22(1) 1.x y -+=解法二：(几何法)取OA 的中点(1,0),C 连接,CM 因为点C 为OA 的中点，点M 为AP 的中点，所以CM 为POA ∆的中位线，得CM ∥1,,2OP CM OP =即1,(1,0),CM C =故点M 的轨迹方程为22(1) 1.x y -+=(2)设N 点坐标为(,),x y 如图9—25所示，则在Rt PBQ ∆中，有1||||||,2BN PQ QN ==在Rt ONQ ∆中，有222||||||,ON QN OQ += 即222||||4,ON BN r +==所以有2222(1)(1)4,x y x y ++-+-= 即2210,x y x y +---=故线段PQ 的中点N 的轨迹方程为2210,x y x y +---= 即22113()().222x y -+-=评注本题是关于轨迹(方程)的问题，其实质即为探求所求动点的两个坐标,x y 的等量关系式.根据题目条件，直接找到或转化得到与动点有关的数量关系，是解决此类问题的关键所在【例9.22变式2】分析 (1)根据弦长求法，求直线方程中的参数；(2)由垂直关系找等量关系. 解析解法一：(几何法)圆的方程化为22(2)(6)16,x y ++-=故圆心为(2,6),-半径4.r =如图9—26所示，因为||,AB CM AB =⊥在Rt CMB ∆中，BM =4,BC r ==所以|| 2.CM ==设直线斜率为,k 则直线的方程为5(0),y k x -=-即50.kx y -+=由于点C到直线的距离为2,d ==解得3.4k =所以方程为34200.x y -+=又直线l 的斜率不存在时也满足题意，此时方程为0.x = 综上可知，所求直线的方程为0x =或34200.x y -+=解法二：(利用弦长公式)设所求直线l 的斜率为,k 则直线的方程为5(0),y k x -=-即50.kx y -+=联立直线和圆的方程方程为225,412240y kx x y x y =+⎧⎨++-+=⎩ 消去,y 得 22(1)(42)110,k x k x +++-=设方程的两根为21,,x x 可得122122241,111k x x k x x k -⎧+=⎪⎪+⎨⎪=-⎪+⎩由弦长公式=将上式代入，解得3,4k =此时直线方程为34200.x y -+=又直线l 的斜率不存在时也满足题意，此时方程为0.x = 综上可知，所求直线的方程为0x =或34200.x y -+=(2)解法一：设过点(0,5)P 的圆C 的动弦AB 的中点为(,),M x y 则有.CM AB ⊥ ①若直线AB 的斜率存在，且斜率0,AB k ≠则直线AB 和直线CM 的斜率分别为 56,,02AB PM CM y y k k k x x --===-+由CM AB ⊥得，1,CM AB k k ⋅=-即：561,02y y x x --⋅=--+整理可得22211300();x y x y ++-+=* ②若直线AB 的斜率不存在，则(0,6),M 代入(),*符合； ③若直线AB 的斜率0,AB k =则(2,5),M -代入(),*符合；综上可知，所求动弦中点的轨迹方程为22211300.x y x y ++-+=解法二：设过点(0,5)P 的圆C 的动弦AB 的中点为(,),M x y 则有,CM AB ⊥,CM PM ⊥则有0,CM PM ⋅=u u u u r u u u u r即(2,6)(,5)0,x y x y +-⋅-=整理可得所求轨迹方程为22211300.x y x y ++-+=评注运用CM PM ⊥可转化为0(2)(6)(5)0,CM PM x x y y ⋅=⇔++--=u u u u r u u u u r再结合韦达定理可简化运算过程，这在解决垂直关系中是常用的，若把垂直关系转化为斜率关系，则需要必要的分类讨论，过程较复杂.【例9.23变式1】分析利用2240D E F +->求解.解析由2216(2)450,m m +--⨯>得24510,m m -+>解得1m >或1.4m <故选.D 【例9.23变式2】解析由题意知，直线10x y -+=经过圆222(1)20x y a x ay a ++-+-=的圆心21(,),2a a ---所以有2110,2a a --++=解得3a =或1,a =-经验证，3a =.评注方程220x y Dx Ey F ++++=表示圆的充要条件是2240D E F +->，故在解决圆的一般式方程有关问题时，必须注意这一隐含条件，如本题中得到a 的两个值后，一定要根据上述条件进行检查，看其是否满足条件.【例9.24变式1】分析由点与圆的位置关系容易求出参数的范围，但应注意到圆的一般方程的充要条件对参数范围的制约.解析由点(1,0)A 在圆上，可得212330,a a a -++-=即220,a +-=解得1a =或2,a =-同时考虑到远的一般方程的充要条件2240D E F +->，故有2244(33)0,a a a -+->整理可得1,a <故满足条件的a 的值为 2.-【例9.24变式2】分析注意使用点与圆的位置关系解题的同时，还要注意到隐含条件：一般方程表示圆的充要条件是2240D E F +->.解析由已知有2240D E F +->，即4164(2)0,k +-->得7.k < 又知P 必在圆外，即有212214220,k ++⨯-⨯+->得3,k > 所以k 的取值范围是37.k <<故选.C评注若题目中给出的圆是一般方程220x y Dx Ey F ++++=，应注意其充要条件2240D E F +->的限制，在此条件下，再根据已知的其它条件求解，深刻理解圆的一般方程具有的特点，才能避免失误.【例9.25变式1】解析解法一：0x y m +-≥恒成立，故只需m x y ≤+的最小值.设,x y b +=即有,y x b =-+可知当直线0x y b +-=与圆相切时，截距b 取得最值.而圆心(0,1)到直线0x y b +-=的距离为d =所以当1,d ==即1b =±切，故b 的范围是11b ≤≤故1m ≤注：设,x y b +=则此直线和圆22(1)1x y +-=有公共点，故可得圆心到直线的距离小1|1|b≤⇒-≤解得11b≤≤+故1m≤解法二：利用圆的参数方程cos1sinxyθθ=⎧⎨=+⎩(θ为参数，[0,2)θπ∈)，故1sin(),4x yπθ+=++所以[1x y+∈+故只需1m≤选.A 【例9.25变式2】解析m≥恒成立，得min,m≤的最小值为点(2,0)到圆心(0,1)的距离d减去半径,r1,故 1.m≤故选.C评注本题亦可用参数方程求解，请同学们自行试之.【例9.26变式1】解析由题意知0,11,x y≥-≤≤且221,x y+=故圆方程表示圆心在原点，半径为1的右半圆.故选.D【例9.27变式1】分析利用数形结合思想求解.解析如图9—27所示，由1y=1,y=-得22(1)4,1,x y y+-=≥当曲线1y=+(2)4y k x=-+有两个相异交点时，圆心(0,1)到直线(2)4y k x=-+的距离为2，则52,12d k==⇒=则实数k的取值范围是53.124PAk k<≤=故选.B评注本题亦可改为：若集合{(,)|1{(,)|(2)4},A x y yB x y y k x====-+当集合A BI中有两个元素时，则实数k的取值范围是( )5.(,)12A+∞53.(,]124B5.(0,)12C13.(,]34D此种表现形式更为综合和新颖，对同学们能力的要求也有相应的提高.【例9.27变式2】解析曲线方程可化简为22(2)(3)4(14),x y y -+-=≤≤即表示圆心在(2,3)半径为2 的半圆，如图9—28所示，当直线y x b =+与此半圆相切时，需满足圆心到直线y x b =+的距离为2，即2,=解得1b =+1b =-因为是下半圆，故舍去1b =+(0,3)时，解得3,b = 故1 3.b -≤≤故选.C【例9.27变式3】解析要使,A B ≠∅I 不管0m <，A 集合表示圆及内部的区域，还是0m >时，A 集合表示圆环，只需直线，2x y m +=或21x y m +=+与大圆222(2)x y m -+=有公共点即可.故||d m =≤||m ≤，解得222m -≤≤+①又由集合,A ≠∅满足2,2mm ≥即0m ≤或12m ≥ ②由①②得，122m ≤≤ 所以m 的取值范围是1[,22+评注要使,A B ≠∅I 不管何时什么位置，圆或圆环与直线有公共点即可，勿需讨论何时什么位置没有公共点的情况.【例9.28变式1】解析由已知圆O 的半径为2，若圆O 上到直线l 的距离等于1的点的个数有两个，则圆心到直线的距离的取值范围是(1,3),即13,<<故2211a b +的取值范围是1(,1).9【例9.29变式1】解析解法一：因为圆心(0,0)到直线1y kx =+的距离1,d =≤半径r =所0,d r <<故位置关系是相交但直线不过圆心.故选.C图9—28解法二：直线1y kx =+恒过点(0,1),其在圆222x y +=的内部，直线的斜率又一定存在.故选.C【例9.29变式2】解析由题意知直线要与圆相交，且斜率必存在，设斜率为,k 则直线l 的方程为2(1),y k x +=+又圆的方程可化为22(1)(1)1,x y -+-=圆心为(1,1),半径为1，由弦长=得d =所以圆心到直线的距离,2d ==解得1k =或17.7【例9.29变式3】解析当直线l 的斜率存在时，设:3(1),l y k x -=+即:30,l kx y k -++= 则圆心到直线l 的距离d =又弦长==故 1.d = 所以1,d ==解得4.3k =-故:4350.l x y +-=当l 的斜率不存在时，由1d =知: 1.l x =- 综上所述，所求直线为:4350l x y +-=或 1.x =-评注当直线与圆相交所得弦长不为最长或最短弦时，必有两条符合，不可忽视斜率不存在的情形(若只求得一个,k 则另一条直线斜率不存在).【例9.30变式1】解析圆的标准方程是222(1)(2)13,x y ++-=圆心(1,2),-半径13,r =因此点(11,2)A在圆内，故过点(11,2)A 作的最长的弦长为26，圆心到点A 的距离为12，最短的弦长为10==(分别只有一条)，还有长度为11,12,,25L 的各两条，所以弦长为整数的弦共有221532+⨯=条. 故选.C 评注解本题要考虑圆的对称性.【例9.31变式1】解析设圆心O 到,AC BD 的距离为12,,d d 垂足分别为,,E F 则四边形OEMF 为矩形，有2212 3.d d +=由平面几何知识知|||AC BD ==所以S四边形11||||22ABCD AC BD ==⨯= 22221212448()83 5.d d d d -+-=-+=-=当且仅当122d d ==时等号成立. 即四边形ABCD 面积的最大值为5.评注一般地，S 四边形1||||sin AC,BD .2ABCD AC BD =<>u u u r u u u r【例9.32变式1】解析解法一：依题意直线l 的斜率存在，且过点(2,0),M -故设:(2).l y k x =+因为,P Q两点在圆221x y +=上，所以||||1,OP OQ ==u u u r u u u r 又1,2OP OQ ⋅=-u u u r u u u r所以1||||cos ,2OP OQ OP OQ POQ ⋅=∠=-u u u r u u u r u u u r u u u r 所以2,3POQ π∠=故圆心O 到直线l 的距离1sin.62d r π==故1,2d ==解得k = 所以直线l的方程为20x +=或20.x ++= 解法二：设直线l 的方程为(2),y k x =+联立22(2),1y k x x y =+⎧⎨+=⎩消y 得2222(1)4410,k x k x k +++-=设1122(,y ),(,y ),P x Q x则21222222212241,(4)4(1)(41)0411k x x k k k k k k x x k ⎧-+=⎪⎪+∆=-+->⇒<<⎨-⎪=⎪+⎩由2222121212121212(2)(2)(1)2()4OP OQ x x y y x x k x x k x x k x x k ⋅=+=+++=++++u u u r u u u r22711,12k k -==-+解得k =所以直线l的方程为20x +=或20.x ++=【例9.32变式1】解析设1122(,y ),(,y ).P x Q x 因,P Q 关于直线:8l y kx =+对称，所以直线:8l y kx =+ 过圆心(1,6)C +，即68,2,k k =-+=所以直线PQ 的斜率为1.2- 故设直线PQ 的方程为0.x y c ++=有22(1)(6)2520x y x y c ⎧++-=⎨++=⎩消x 得225(416)2120.y c y c c +-+-+=故22(416)20(212)0,c c c ∆=---+>即22240,c c +-< ①122124165.2125c y y c c y y -⎧+=-⎪⎪⎨-+⎪+=⎪⎩② 因为0,OP OQ ⋅=u u u r u u u r所以12120,x x y y +=即1212(2)(2)0,y c y c y y +++=即2121252()0y y c y y c +++= ③把①②代入③得， 2241621220,5c c c c c --+-⨯+=解得5c =-或6,-符合①. 故直线PQ 的方程为250x y +-=或260.x y +-=【例9.33变式1】分析求圆的切线方程可依据圆心到切线的距离等于半径长.解析 ①若切线的斜率存在，设其方程为5(1),y k x -=+即50,kx y k -++=2,=解得5.12k =-所以所求切线方程为512550x y +-=.②若切线的斜率不存在，则直线方程为1,x =-此时圆心(1,2)C 到此直线的距离2,d =故有d r =成立，故直线1x =-也是所求圆的切线方程.综上所述，过点(1,5)P -的圆的切线方程为1x =-或512550x y +-=.评注求过一定点的圆的切线方程，首先判断点是否在圆上.若在圆上，则该点为切点；若在圆外，切线必有两条，一般用圆心到直线的距离等于半径长来解较为简单.若求出的斜率只有一个，应找出过这一点与x 轴垂直的另一条切线.【例9.33变式2】解析因为直线l 过定点(2,2),而此定点在圆上，因此可以得出过此切点的切线方程为2222220,22x y x y +++-⋅-⋅=整理为40.x y +-=故选.A 【例9.34变式1】解析点(3,3)A -关于x 轴的对称点为(3,3),A '--则反射光线l '必过(3,3),A '--如图9—33所示.设反射光线所在直线方程为3(3),y k x +=+直线l '与圆C '相切，圆心(2,2)C 到直线l 的距离21,1d k ==+解得34k =或4,3所以光线l '所在直线的方程为3430x y --=或4330.x y -+=评注当然，例9.34中也可以使用对称点的求解方法，先求出反射光线所在的直线方程，再利用入射光线与反射光线关于轴对称特征，求出所求入射光线的直线方程.通过例9.34和其变式题，我们可以领会到入射光线与反射光线的求解是不同的，其依据就是便于所求直线方程的求解.【例9.35变式1】分析利用数形结合思想求解四边形PACB 面积的最小值.解析如图9—34所示，连接,PC 则122||||||.2PAC APBC S S AC PA PA ∆==⨯⨯=四边形四边形PACB 面积的最小值转化为切线长|PA 的最小值.过C 作CH 垂直于直线40kx y ++=于点,H 过点H 作HR 切圆于点,R 连接,CR 那么切线长的最小值为||,HR 且222|||||||| 1.HR CH CR CH =-=-因为22222524||,||1,111k CH HR k k k -==-=+++所以22242,1k k -=+得24,k = 又因为0,k >所以 2.k =故选.D评注若将本题中四边形PACB 的最小面积是2改为四边形PACB 的最小周长是6，实际上情形一致.因为四边形PACB 周长的最小值，可转化为切线长的最小值，这与例9.35变式1在本质上是一致的.【例9.35变式1】解析 (1)如图9—35所示，连接,OP 因为点Q 为切点，,PQ OQ ⊥由勾股定理有2222||||||||,PQ PA OP OQ ==-即22222()2(2)(1),a b a b +-=-+-化简得230.a b +-=(2)解法一：如图9—35所示，由230a b +-=得，2 3.b a =-+222226425||1(23)15(55PQ a b a a a =+-=+-+-=-+≥），当65a =时取等号，即min 25||.PQ =解法二：依题意，过O 点作OP ⊥直线230a b +-=于点,P 过点P 作PQ 切圆于点,Q 则此时PQ 的长度最小，2min ||||1,PQ OP =-由||,5OP =得min 25||.PQ = 【例9.36变式1】解析圆C 可化为22(4)1,x y -+=设直线2y kx =-上存在点D 符合题设，即圆C 与圆D 有公共点，即1212||||,r r CD r r -≤≤+即0||11 2.CD ≤≤+=因为存在点D 即可，所以min ||2,CD ≤即圆心(4,0)C 到直线2y kx =-的距离2,≤解得40,3k ≤≤所以max 4.3k =【例9.36变式2】分析 (1)两直线交点即为圆心，从而可得圆C 的方程，然后求出切线方程；(2)由题意建立关于a 的方程，通过方程有解求得a 的取值范围.解析 (1)由题设，圆心C 是直线24y x =-和1y x =-的交点，解得点(3,2),C 于是切线斜率必存在.设过点(0,3)A 的圆C 的切线方程为 3.y kx =+1,=解得0k =或3,4k =-故所求切线方程为3y =或34120.x y +-=(2)因为圆心在直线24y x =-上，所以圆C 的方程为22()[2(2)] 1.x a y a -+--=设点(,),M x y 因为2,MA MO == 化简得22230,x y y ++-=即22(1)4,x y ++= 所以点M 在以(0,1)D -为圆心，2为半径的圆上.由题意，点(,)M x y 在圆C 上，所以圆C 与圆D 有公共点，则|21|CD 21,-≤≤+即1 3.≤≤整理得285120.a a -≤-≤由251280a a -+≥得,a R ∈由25120,a a -≤得120.5a ≤≤所以点C 的横坐标a 的取值范围是12[0,].5【例9.37变式1】解析两圆方程联立22224,260x y x y ay ⎧+=⎪⎨++-=⎪⎩可得公共弦所在直线方程为1,ay =故圆心(0,0)到直线1ay =的距离为1(0),a a >故弦长为=得21,a =又0,a >所以 1.a =【例9.37变式2】解析依题意，因为圆1C 与圆2C 都过点(4,1),且与两坐标轴相切，如图9—36所示. 可设两圆圆心都在第一象限，设圆1C 的圆心心坐标为11(,),r r 则圆1C 的方程为222111()(),x r y r r -+-=圆2C 的圆心坐标为22(,),r r 则圆2C 的方程为222222()().x r y r r -+-=由圆1C 与圆2C 都过点(4,1),则有222111222222()(),()()x r y r r x r y r r ⎧-+-=⎪⎨-+-=⎪⎩ 故12,r r 是方程222(4)(1)x x x -+-=，即210170x x -+=的两根，由韦达定理得121210,17,r r r r +==两圆圆心距12||C C ==12||8.r r -===故选.C。

直线与圆知识点及经典例题(含答案)

圆的方程、直线和圆的位置关系【知识要点】一、圆的定义：平面内与一定点距离等于定长的点的轨迹称为圆 (一) 圆的标准方程(x a)2 (y b)2『这个方程叫做圆的标准方程。

-____ 2 2 2说明：1、若圆心在坐标原点上，这时 a b 0，则圆的方程就是 x y r 。

2、圆的标准方程的两个基本要素：圆心坐标和半径；圆心和半径分别确定了圆的位置和大小，从而确定了圆，所以，只要a ，b ，r 三个量确定了且r > 0,圆的方程就给定了。

就是说要确定圆的方程，必须具备三个独立的条件-确定a ，b ，r ，可以根据条件，利用待定系数法来解决。

(二) 圆的一般方程2 2 2 2 2 2 2 2将圆的标准方程(x a) (y b) r ，展开可得x y 2ax 2by a b r。

可见，任何一个2圆的方程都可以写成：X2y Dx Ey F 02 2问题：形如xy DxEy F 0的方程的曲线是不是圆？2 2FD 2E 2 J D ‘ E 4F将方程X y Dx Ey左边配方得：2)2) 2D E0表示以 22为圆2 2(1)当 D E 4F >° 时，方程(1 )与标准方程比较，方程xyDx Ey FD 2E 2 4F心，以2为半径的圆。

DE DE⑵当DmE —4F=Q 时,方fc a +y a +Dx+Ey+F = OR 有实数解汁亍厂亍所以表示一个点(亍-計2 2(3)当D 2E 24F v 0时，方程x y Dx Ey F °没有实数解，因而它不表示任何图形。

圆的一般方程的定义：2 2当D 2 E 2 4F >°时，方程x y Dx Ey F °称为圆的一般方程. 圆的一般方程的特点：22(1) X 和y 的系数相同，不等于零；(2) 没有xy 这样的二次项。

(三) 直线与圆的位置关系 1、直线与圆位置关系的种类 (1)相离---求距离； ⑵相切---求切线； (3)相交---求焦点弦长。

直线与圆的位置关系(经典)

0 相交 0 切 0 相
【方法小结】
位置关系
相交
图形
几何特征
方程特征
判定方法
几何代数法法
相切
相离
硬商品买卖在阿里巴巴软商品交易在阿里巧巧
【方法小结】
位置关系
相交
图形
相切
几何特征
有两个公共点
方程特征
判定方法
几何代数法法
方程组有两个不同实根 d<r △>0
所以 , d<r
所以直线L与圆C相交
所以方程组有两解，
直线L与圆C相交
硬商品买卖在阿里巴巴软商品交易在阿里巧巧
比较：几何法比代数法运算量少，简便。
【典题例证】
求它们的交点坐标。
解：联立方程得：
3x y 6 0

x
2

y2

2
y

4

0
解得：xy

2 0
或xy
【引入新知】判断直线和圆的位置关系方法
几何方法
代数方法
求圆心坐标及半径r （配方法）
圆心到直线的距离d （点到直线距离公式）
(x a)2 ( y b)2 r 2 Ax By C 0
消去y（或x）
px2 qx t 0
d r 相交d r 切d r 相硬商品买卖在阿里巴巴软商品交易在阿里巧巧
.y 港口
.
O
轮船 x
硬商品买卖在阿里巴巴软商品交易在阿里巧巧
【小试身手】
试解本节引言中的问题．
解：以台风中心为原点，东西方向为x 轴，建立

(完整版)直线与圆综合练习题含答案

直线与圆的方程训练题一、选择题:1．直线1x =的倾斜角和斜率分别是（）A ．B ．C ．，不存在D ．，不存在 2．设直线0ax by c ++=的倾斜角为α，且sin cos 0αα+=，则,a b 满足（） A ．1=+b aB ．1=-b aC ．0=+b aD ．0=-b a3．过点(1,3)P -且垂直于直线032=+-y x 的直线方程为（）A ．012=-+y xB ．052=-+y xC ．052=-+y xD ．072=+-y x 4．已知点(1,2),(3,1)A B ，则线段AB 的垂直平分线的方程是（） A ．524=+y x B ．524=-y x C ．52=+y x D ．52=-y x 5．直线cos sin 0x y a θθ++=与sin cos 0x y b θθ-+=的位置关系是（）A ．平行B ．垂直C ．斜交D ．与的值有关 6．两直线330x y +-=与610x my ++=平行，则它们之间的距离为（）A ．4 BCD7．如果直线l 沿x 轴负方向平移3个单位再沿y 轴正方向平移1个单位后，又回到原来的位置，那么直线l 的斜率是（）A ．-13B ．3-C ．13D ．38．直线l 与两直线1y =和70x y --=分别交于,A B 两点，若线段AB 的中点为(1,1)M -，则直线l 的斜率为（）A ．23 B ．32 C ．32- D ． 23-9．若动点P 到点(1,1)F 和直线340x y +-=的距离相等，则点P 的轨迹方程为（） A ．360x y +-= B ．320x y -+= C ．320x y +-= D ．320x y -+=10．若为圆的弦AB 的中点，则直线AB 的方程是（）A. 03=--y xB. 032=-+y xC. 01=-+y x D . 052=--y x11．圆012222=+--+y x y x 上的点到直线2=-y x 的距离最大值是（） A ．2 B ．21+ C ．221+D ．221+ 12．在坐标平面内，与点(1,2)A 距离为1，且与点(3,1)B 距离为2的直线共有（）0135,1-045,10900180,,a b θ(2,1)P -22(1)25x y -+=A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条 13．圆0422=-+x y x 在点)3,1(P 处的切线方程为（）A ．023=-+y xB ．043=-+y xC ．043=+-y xD ．023=+-y x14．直线032=--y x 与圆9)3()2(22=++-y x 交于,E F 两点，则∆EOF （O 是原点）的面积为（）Ａ．23 Ｂ．43Ｃ．52 Ｄ．55615．已知圆C 的半径为2，圆心在x 轴的正半轴上，直线0443=++y x 与圆C 相切，则圆C 的方程为（）A ．03222=--+x y x B ．0422=++x y xC ．03222=-++x y xD ．0422=-+x y x16．若过定点)0,1(-M 且斜率为k 的直线与圆05422=-++y x x 在第一象限内的部分有交点，则k 的取值范围是（）A. 50<<k B. 05<<-k C. 130<<k D. 50<<k 17．圆：06422=+-+y x y x 和圆：0622=-+x y x 交于,A B 两点，则AB 的垂直平分线的方程是（） A.30x y ++= B ．250x y --= C ．390x y --= D ．4370x y -+=18．入射光线在直线1:23l x y -=上，经过x 轴反射到直线2l 上，再经过y 轴反射到直线3l 上，若点P是1l 上某一点，则点P 到3l 的距离为（）A ．6 B ．3 C D 二、填空题:19．已知直线,32:1+=x y l 若2l 与1l 关于y 轴对称，则2l 的方程为__________; 若3l 与1l 关于x 轴对称，则3l 的方程为_________; 若4l 与1l 关于x y =对称，则4l 的方程为___________;20．点(,)P x y 在直线40x y +-=上，则22x y +的最小值是________________.21．直线l 过原点且平分ABCD 的面积，若平行四边形的两个顶点为(1,4),(5,0)B D ，则直线l 的方程为________________。

高二数学直线与圆经典习题

直线与圆一．回顾1.已知定点P(-2,-1)和直线:(13)(12)(25)0()l x y R λλλλ+++-+=∈，求证：不论λ取何值，点P 到直线l .2.（对称点问题）．已知直线l ：3x–y–1=0，在l 上求一点P 使得：⑴P 到点A （4，1）和B （0，4）的距离之差最大⑵P 到点A （4，1）和C （3，4）的距离之和最小变式训练1：一条光线从点A(3，2)发出，经x 轴反射后，通过点B(1-，6)，求入射光线和反射光线所在的直线方程。

3.(1)求函数()f x =的最小值．(2)求函数22222256254),(y xy x y y x x y x f +-++-++-=的最小值．（3）函数y =的值域为．二．直线与圆例1.根据下列条件，求出符合条件的圆的标准方程．(1)圆心是(2,3)C ，且经过原点．(2)已知两点(4,9)P ，(6,3)Q ，以线段PQ 为直径．(3)圆心在y x =-上且过两点()()2,0,0,4-．(4)以点(1,2)A 为圆心，并且和x 轴相切的．(5)圆心在直线5380x y --=上，且与两坐标轴都相切．变式训练：(1)已知一个圆C 与y 轴相切，圆心C 在直线l 1：x －3y ＝0上，且在直线l 2：x －y ＝0上截得的弦长为27，求圆C 的方程．(2)求以圆C 1：x 2＋y 2－12x －2y －13＝0和圆C 2：x 2＋y 2＋12x ＋16y －25＝0的公共弦为直径的圆C 的方程．例2.根据下列条件，求圆的方程．(1)与圆O ：x 2＋y 2＝4相外切于点P (－1，3)，且半径为4的圆的方程；(2)圆心在原点且圆周被直线3x ＋4y ＋15＝0分成1∶2两部分的圆的方程．变式训练：已知圆满足：①截y 轴所得弦长为2；②被x 轴分成两段圆弧，其弧长的比为3∶1；当圆心到直线20x y -=的距离最小时，求该圆的方程例3．已知直线l ：063=-+y x 和圆C 的方程：04222=--+y y x ，判断直线与圆的位置关系，如果相交，求出直线被圆所截得的弦长例4.圆4)1(22=+-yx 内有一点P(1,1),AB 过点P,1若弦长32||=AB ，求直线AB 的斜率；若圆上恰有三点到直线AB 的距离等于23，求直线AB 的方程例5.（与圆有关的最值问题）已知实数y x ,满足方程01422=+-+x y x （1）求xy的最大值和最小值；（2）求22y x +的最大值和最小值.变式1：已知实数x ,y 满足2246120x y x y +-++=则22x y --的最小值是_______变式2：函数122y x =+的值域是例6.已知半径为2，圆心在直线2y x =-+上的圆C .（1）当圆C 经过点(2,2)A 且与y 轴相切时，求圆C 的方程；（2）已知(1,1)E ,(1,3)F -,若圆C 上存在点Q ，使2232QF QE -=,求圆心的横坐标的取值范围.变式：如图,在平面直角坐标系xOy 中,点)3,0(A ,直线42:-=x y l ,设圆C 的半径为1,圆心在l 上.(1)若圆心C 也在直线1-=x y 上,过点A 作圆C 的切线,求切线的方程;(2)若圆C 上存在点M ,使||2||MA MO =,求圆心C 的横坐标a 的取值范围.xy A lO例7.直线)(0442)1(:R m m y x m l ∈=--++恒过定点C，圆C 是以点C 为圆心，以4为半径的圆(1)求圆C 的方程；(2)设圆M 的方程为M y x 过圆,1)sin 7()cos 74(22=-+--θθ上任意一点P 分别作圆C的两条切线PE、PF，切点为E、F，求CF CE ⋅的最大值和最小值。

直线与圆知识点及经典例题(含答案)

圆的方程、直线和圆的位置关系【知识要点】一、圆的定义：平面内与一定点距离等于定长的点的轨迹称为圆（一）圆的标准方程222()()x a y b r -+-= 这个方程叫做圆的标准方程。

说明：1、若圆心在坐标原点上，这时0a b ==，则圆的方程就是222x y r +=。

2、圆的标准方程的两个基本要素：圆心坐标和半径；圆心和半径分别确定了圆的位置和大小，从而确定了圆，所以，只要,,a b r 三个量确定了且r ＞0，圆的方程就给定了。

就是说要确定圆的方程，必须具备三个独立的条件确定,,a b r ，可以根据条件，利用待定系数法来解决。

（二）圆的一般方程将圆的标准方程222)()(r b y a x =-+-,展开可得02222222=-++--+r b a by ax y x 。

可见，任何一个圆的方程都可以写成 :220x y Dx Ey F ++++= 问题：形如220x y Dx Ey F ++++=的方程的曲线是不是圆？将方程022=++++F Ey Dx y x 左边配方得：22224()()222D E D E Fx x +-+++=（1）当F E D 422-+＞0时，方程（1）与标准方程比较，方程022=++++F Ey Dx y x 表示以(,)22D E--为圆心，以2242D E F+-为半径的圆。

,（3）当F E D 422-+＜0时，方程022=++++F Ey Dx y x 没有实数解，因而它不表示任何图形。

圆的一般方程的定义：当224D E F +-＞0时，方程220x y Dx Ey F ++++=称为圆的一般方程. 圆的一般方程的特点：（1）2x 和2y 的系数相同，不等于零；（2）没有xy 这样的二次项。

（三）直线与圆的位置关系 1、直线与圆位置关系的种类（1）相离---求距离； (2)相切---求切线；（3）相交---求焦点弦长。

2、直线与圆的位置关系判断方法：几何方法主要步骤：（1）把直线方程化为一般式，利用圆的方程求出圆心和半径（2）利用点到直线的距离公式求圆心到直线的距离（3）作判断: 当d>r 时，直线与圆相离；当d ＝r 时，直线与圆相切;当d<r 时，直线与圆相交。

直线与圆知识点总结及例题

直线和圆知识点总结1、直线的倾斜角：1定义：在平面直角坐标系中,对于一条与x 轴相交的直线l ,如果把x 轴绕着交点按逆时针方向转到和直线l 重合时所转的最小正角记为α,那么α就叫做直线的倾斜角.当直线l 与x 轴重合或平行时,规定倾斜角为0；2倾斜角的范围[)π,0.如1直线023cos =-+y x θ的倾斜角的范围是____答：5[0][)66，，πππ；倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°.倾斜角不是90°的直线,它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率,常用k 表示.倾斜角是90°的直线没有斜率.2过点),0(),1,3(m Q P -的直线的倾斜角的范围m 那么],32,3[ππα∈值的范围是______答：42≥-≤m m 或2、直线的斜率：1定义：倾斜角不是90°的直线,它的倾斜角的正切值叫这条直线的斜率k ,即k ＝tan αα≠90°；倾斜角为90°的直线没有斜率；2斜率公式：经过两点111(,)P x y 、222(,)P x y 的直线的斜率为()212121x x x x y y k ≠--=；3直线的方向向量(1,)a k =,直线的方向向量与直线的斜率有何关系4应用：证明三点共线： AB BC k k =.如1 两条直线钭率相等是这两条直线平行的____________条件答：既不充分也不必要；2实数,x y满足3250x y --= 31≤≤x ,则x y 的最大值、最小值分别为______答：2,13-3、直线的方程：1点斜式：已知直线过点00(,)x y 斜率为k ,则直线方程为00()y y k x x -=-,它不包括垂直于x 轴的直线.直线的斜率0=k 时,直线方程为1y y =；当直线的斜率k 不存在时,不能用点斜式求它的方程,这时的直线方程为1x x =.2斜截式：已知直线在y 轴上的截距为b 和斜率k ,则直线方程为y kx b =+,它不包括垂直于x 轴的直线.3两点式：已知直线经过111(,)P x y 、222(,)P x y 两点,则直线方程为121121x x x x y y y y --=--,它不包括垂直于坐标轴的直线.若要包含倾斜角为00或090的直线,两点式应变为))(())((121121y y x x x x y y --=--的形式.4截距式：已知直线在x 轴和y 轴上的截距为,a b ,则直线方程为1=+by a x,它不包括垂直于坐标轴的直线和过原点的直线.5一般式：任何直线均可写成0Ax By C ++=A,B 不同时为0的形式.如1经过点2,1且方向向量为v=－1,3的直线的点斜式方程是___________答：12)y x -=-；2直线(2)(21)(34)0m x m y m +----=,不管m 怎样变化恒过点______答：(1,2)--；3若曲线||y a x =与(0)y x a a =+>有两个公共点,则a 的取值范围是_______答：1a > 提醒：1直线方程的各种形式都有局限性.如点斜式不适用于斜率不存在的直线,还有截距式呢；2直线在坐标轴上的截距可正、可负、也可为0.直线两截距相等⇔直线的斜率为-1或直线过原点；直线两截距互为相反数⇔直线的斜率为1或直线过原点；直线两截距绝对值相等⇔直线的斜率为1±或直线过原点.如过点(1,4)A ,且纵横截距的绝对值相等的直线共有___条答：34.设直线方程的一些常用技巧：1知直线纵截距b ,常设其方程为y kx b =+；2知直线横截距0x ,常设其方程为0x my x =+它不适用于斜率为0的直线；3知直线过点00(,)x y ,当斜率k 存在时,常设其方程为00()y k x x y =-+,当斜率k 不存在时,则其方程为0x x =；4与直线:0l Ax By C ++=平行的直线可表示为10Ax By C ++=；5与直线:0l Ax By C ++=垂直的直线可表示为10Bx Ay C -+=.提醒：求直线方程的基本思想和方法是恰当选择方程的形式,利用待定系数法求解.5、点到直线的距离及两平行直线间的距离：1点00(,)P x y 到直线0Ax By C ++=的距离d =；2两平行线1122:0,:0l Ax By C l Ax By C ++=++=间的距离为d =6、直线1111:0l A x B y C ++=与直线2222:0l A x B y C ++=的位置关系：1平行⇔12210A B A B -=斜率且12210B C B C -≠在y 轴上截距；2相交⇔12210A B A B -≠；3重合⇔12210A B A B -=且12210B C B C -=.提醒：1 111222A B C A B C =≠、1122A B A B ≠、111222A B C A B C ==仅是两直线平行、相交、重合的充分不必要条件为什么2在解析几何中,研究两条直线的位置关系时,有可能这两条直线重合,而在立体几何中提到的两条直线都是指不重合的两条直线；3直线1111:0l A x B y C ++=与直线2222:0l A x B y C ++=垂直⇔12120A A B B +=.如1设直线1:60l x my ++=和2:(2)320l m x y m -++=,当m ＝_______时1l ∥2l ；当m ＝________时1l ⊥2l ；当m _________时1l 与2l 相交；当m ＝_________时1l 与2l 重合答：－1；12；31且m m ≠≠-；3；2已知直线l 的方程为34120x y +-=,则与l 平行,且过点—1,3的直线方程是______答：3490x y +-=；3两条直线40ax y +-=与20x y --=相交于第一象限,则实数a 的取值范围是____答：12a -<<；4设,,a b c 分别是△ABC 中∠A 、∠B 、∠C 所对边的边长,则直线sin 0A x ay c ++=与sin sin 0bx B y C -+=的位置关系是____答：垂直；5已知点111(,)P x y 是直线:(,)0l f x y =上一点,222(,)P x y 是直线l 外一点,则方程1122(,)(,)(,)f x y f x y f x y ++＝0所表示的直线与l 的关系是____答：平行；6直线l 过点１,０,且被两平行直线360x y +-=和330x y ++=所截得的线段长为9,则直线l 的方程是________答：43401x y x +-==和7、特殊情况下的两直线平行与垂直:当两条直线中有一条直线没有斜率时：1当另一条直线的斜率也不存在时,两直线的倾斜角都为90°,互相平行；2当另一条直线的斜率为0时,一条直线的倾斜角为90°,另一条直线的倾斜角为0°,两直线互相垂直．8、对称中心对称和轴对称问题——代入法：如1已知点(,)M a b 与点N x轴对称,点P 与点N y 轴对称,点Q 与点P 直线0x y +=对称,则点Q 的坐标为_______答：(,)b a ；3点Ａ４,５直线l 的对称点为Ｂ－2,7,则l 的方程是_________答：3y=3x ＋；4已知一束光线通过点Ａ－３,５,经直线l :3x －4y+4=0反射.如果反射光线通过点Ｂ２,15,则反射光线所在直线的方程是_________答：18x 510y -=＋；5已知ΔABC 顶点A3,－１,ＡＢ边上的中线所在直线的方程为6x+10y －59=0,∠B 的平分线所在的方程为x －4y+10=0,求ＢＣ边所在的直线方程答：29650x y +-=；6直线2x ―y ―4=0上有一点Ｐ,它与两定点Ａ4,－1、Ｂ3,4的距离之差最大,则Ｐ的坐标是______答：5,6；7已知A x ∈轴,:B l y x ∈=,C2,1,ABC 周长的最小值为______答：提醒：在解几中遇到角平分线、光线反射等条件常利用对称求解.9.1直线过定点.如直线3m+4x+5-2my+7m-6=0,不论m 取何值恒过定点-1,22直线系方程1与已知直线Ax+By+C=0平行的直线的设法: Ax+By+m=0 m ≠C2 与已知直线Ax+By+C=0垂直的直线的设法:Bx-Ay+m=03经过直线1l ∶1A x+1B y+1C =0,2l ∶2A x+2B y+2C =0交点的直线设法：1A x+1B y+1C +λ2A x+2B y+2C =0λ为参数,不包括2l3对称 1点点对称中点坐标公式2线点对称转化为点点对称,或代入法,两条直线平行3点线对称点和对称点的连线被线垂直平分,中点在对称轴上、kk’=-1二个方程4线线对称求交点,转化为点线对称10、圆的方程：⑴圆的标准方程：()()222x a y b r -+-=.⑵圆的一般方程：22220(D E 4F 0)＋－x y Dx Ey F ++++=>,特别提醒：只有当22D E 4F 0＋－>时,方程220x y Dx Ey F ++++=才表示圆心为(,)22D E --,半径为的圆二元二次方程220Ax Bxy Cy Dx Ey F +++++=表示圆的充要条件是什么 0,A C =≠且0B =且2240D E AF +->；⑶圆的参数方程：{cos sin x a r y b r θθ=+=+θ为参数,其中圆心为(,)a b ,半径为r .圆的参数方程的主要应用是三角换元：222cos ,sin x y r x r y r θθ+=→==；22x y t +≤cos ,sin (0x r y r r θθ→==≤≤.⑷()()1122A ,,,x y B x y 为直径端点的圆方程()()()()12120x x x x y y y y --+--=如1圆C 与圆22(1)1x y -+=直线y x =-对称,则圆C 的方程为____________答：22(1)1x y ++=；2圆心在直线32=-y x 上,且与两坐标轴均相切的圆的标准方程是__________答：9)3()3(22=-+-y x 或1)1()1(22=++-y x ；3已知(P -是圆{cos sin x r y r θθ==θ为参数,02)θπ≤<上的点,则圆的普通方程为________,P 点对应的θ值为_______,过P 点的圆的切线方程是___________答：224x y +＝；23π；40x -+=；4如果直线l 将圆：x 2+y 2-2x-4y=0平分,且不过第四象限,那么l 的斜率的取值范围是____答：0,2；5方程x 2+y ２－x+y+k=0表示一个圆,则实数k 的取值范围为____答：21<k ；6若{3cos {(,)|3sin x M x y y θθ===θ为参数,0)}θπ<<,{}b x y y x N +==|),(,若φ≠N M ,则b 的取值范围是_________答：(－11、点与圆的位置关系：已知点()00M ,x y 及圆()()()222C 0：x-a y b r r +-=>,1点M 在圆C 外()()22200CM r x a y b r ⇔>⇔-+->；2点M 在圆C 内⇔ ()()22200CM r x a y b r <⇔-+-<；3点M 在圆C 上()20CM r x a ⇔=⇔-()220y b r +-=.如点P5a+1,12a 在圆x －１２＋y 2=1的内部,则a 的取值范围是______答：131||<a12、直线与圆的位置关系：直线:0l Ax By C ++=和圆()()222C ：x a y b r -+-= ()0r >有相交、相离、相切.可从代数和几何两个方面来判断：1代数方法判断直线与圆方程联立所得方程组的解的情况：0∆>⇔相交；0∆<⇔相离；0∆=⇔相切；2几何方法比较圆心到直线的距离与半径的大小：设圆心到直线的距离为d ,则d r <⇔相交；d r >⇔相离；d r =⇔相切.提醒：判断直线与圆的位置关系一般用几何方法较简捷.如1圆12222=+y x 与直线sin 10(,2x y R πθθθ+-=∈≠k π+,)k z ∈的位置关系为____答：相离；2若直线30ax by +-=与圆22410x y x ++-=切于点(1,2)P -,则ab 的值____答：2；3直线20x y +=被曲线2262x y x y +--150-=所截得的弦长等于答：4一束光线从点A －1,1出发经x 轴反射到圆C:x-22+y-32=1上的最短路程是答：4；5已知(,)(0)M a b ab ≠是圆222:O x y r +=内一点,现有以M 为中点的弦所在直线m 和直线2:l ax by r +=,则A ．//m l ,且l 与圆相交 B ．l m ⊥,且l 与圆相交C ．//m l ,且l 与圆相离D ．l m ⊥,且l 与圆相离答：C ；6已知圆C ：22(1)5x y +-=,直线L ：10mx y m -+-=.①求证：对m R ∈,直线L 与圆C总有两个不同的交点；②设L 与圆C 交于A 、B 两点,若AB =求L 的倾斜角；③求直线L 中,截圆所得的弦最长及最短时的直线方程. 答：②60或120 ③最长：1y =,最短：1x =13、圆与圆的位置关系用两圆的圆心距与半径之间的关系判断：已知两圆的圆心分别为12O O ，,半径分别为12,r r ,则1当1212|O O r r |>+时,两圆外离；2当1212|O O r r |=+时,两圆外切；3当121212<|O O r r r r -|<+时,两圆相交；4当1212|O O |r r |=|-时,两圆内切；5当12120|O O |r r ≤|<|-时,两圆内含.如双曲线22221x y a b-=的左焦点为F 1,顶点为A 1、A 2,P 是双曲线右支上任意一点,则分别以线段PF 1、A 1A 2为直径的两圆位置关系为答：内切14、圆的切线与弦长：1切线：①过圆222x y R +=上一点00(,)P x y 圆的切线方程是：200xx yy R +=,过圆222()()x a y b R -+-=上一点00(,)P x y 圆的切线方程是：200()()()()x a x a y a y a R --+--=,一般地,如何求圆的切线方程抓住圆心到直线的距离等于半径；②从圆外一点引圆的切线一定有两条,可先设切线方程,再根据相切的条件,运用几何方法抓住圆心到直线的距离等于半径来求；③过两切点的直线即“切点弦”方程的求法：先求出以已知圆的圆心和这点为直径端点的圆,该圆与已知圆的公共弦就是过两切点的直线方程；③切线长：过圆220x y Dx Ey F ++++=222()()x a y b R -+-=外一点00(,)P x y 所引圆的切线的长为如设A 为圆1)1(22=+-y x 上动点,PA 是圆的切线,且|PA|=1,则P 点的轨迹方程为__________答：22(1)2x y -+=；2弦长问题：①圆的弦长的计算：垂径定理常用弦心距d ,半弦长12a及圆的半径r 所构成的直角三角形来解：2221()2r d a =+；②过两圆1:(,)0C f x y =、2:(,)0C g x y =交点的圆公共弦系为(,)(,)0f x y g x y λ+=,当1λ=-时,方程(,)(,)0f x y g x y λ+=为两圆公共弦所在直线方程..15.解决直线与圆的关系问题时,要充分发挥圆的平面几何性质的作用如半径、半弦长、弦心距构成直角三角形,切线长定理、割线定理、弦切角定理等等16. 圆的切线和圆系方程1．过圆上一点的切线方程：圆222r y x =+,圆上一点为00,y x ,则过此点的切线方程为0x x+ 0y y= 2r 课本命题．圆222r y x =+,圆外一点为00,y x ,则过此点的两条切线与圆相切,切点弦方程为200r y y x x =+.2．圆系方程：①设圆C1∶011122=++++F y E x D y x 和圆C2∶022222=++++F y E x D y x ．若两圆相交,则过交点的圆系方程为11122F y E x D y x +++++λ22222F y E x D y x ++++=0λ为参数,圆系中不包括圆C2,λ=-1为两圆的公共弦所在直线方程．②设圆C ∶022=++++F Ey Dx y x 与直线l ：Ax+By+C=0,若直线与圆相交,则过交点的圆系方程为F Ey Dx y x ++++22+λAx+By+C=0λ为参数．例题 1经过点P 2,m 和Q 2m ,5的直线的斜率等于12,则m 的值是 BA ．4B ．3C ．1或3D ．1或4变：的取值范围的斜率的直线求经过点 )1,cos (),sin ,2( k l B A θθ--2. 已知直线l 过P －1,2,且与以A －2,－3、B3,0为端点的线段相交,求直线l 的斜率的取值范围．点评：要用运动的观点,研究斜率与倾斜角之间的关系答案： ⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－12∪5,＋∞ 3.已知坐标平面内三点A (－1，1)，B (1，1)，C (2，3＋1)，若D 为△ABC 的边AB 上一动CD 斜率k 的变化范围．答案：⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－12∪5,＋∞ 1.求a 为何值时,直线l 1：a ＋2x ＋1－ay －1＝0与直线l 2：a －1x ＋2a ＋3y ＋2＝0互相垂直答案：a=-12.求过点P 1,－1,且与直线l 2：2x ＋3y ＋1＝0垂直的直线方程．答案：3x －2y －5＝0.例2.求过定点P 2,3且在两坐标轴上的截距相等的直线方程．例3.已知△ABC 的顶点A 1,－1,线段BC 的中点为D 3,23．1求BC 边上的中线所在直线的方程；2若边BC 所在直线在两坐标轴上的截距和是9,求BC 所在直线的方程．例4.方程m 2－2m －3x ＋2m 2＋m －1y ＝2m －6满足下列条件,请根据条件分别确定实数m 的值．1方程能够表示一条直线；答案：m 1-≠2方程表示一条斜率为－1的直线．答案：m 2-=例5.直线l 的方程为a －2y ＝3a －1x －1a ∈R ．1求证：直线l 必过定点；答案：15,352若直线l 在两坐标轴上的截距相等,求l 的方程；答案：5x ＋5y －4＝0 3若直线l 不过第二象限,求实数a 的取值范围．答案：分斜率存在与不存在例1：求点A-2,3到直线 l :3x+4y+3=0的距离 d= . 例2：已知点a,2到直线l: x-y+1=0的距离为2,则a= . a ＜0例3:求直线 y=2x+3直线l : y=x+1对称的直线方程.类型一：圆的方程例1 求过两点)4,1(A 、)2,3(B 且圆心在直线0=y 上的圆的标准方程并判断点)4,2(P 与圆的关系．变式1：求过两点)4,1(A 、)2,3(B 且被直线0=y 平分的圆的标准方程. 变式2：求过两点)4,1(A 、)2,3(B 且圆上所有的点均直线0=y 对称的圆的标准方程.类型二：切线方程、切点弦方程、公共弦方程例4 已知圆422=+y x O ：,求过点()42，P 与圆O 相切的切线．解：∵点()42，P 不在圆O 上,∴切线PT 的直线方程可设为()42+-=x k y根据r d =∴21422=++-k k .解得43=k ,所以()4243+-=x y ,即01043=+-y x 因为过圆外一点作圆得切线应该有两条,可见另一条直线的斜率不存在．易求另一条切线为2=x ．类型三：弦长、弧问题例7、求直线063:=--y x l 被圆042:22=--+y x y x C 截得的弦AB 的长. 例8、直线0323=-+y x 截圆422=+y x 得的劣弧所对的圆心角为解：依题意得,弦心距3=d ,故弦长2222=-=d r AB ,从而△OAB 是等边三角形,故截得的劣弧所对的圆心角为3π=∠AOB . 例9、求两圆0222=-+-+y x y x 和522=+y x 的公共弦长类型四：直线与圆的位置关系例10、已知直线0323=-+y x 和圆422=+y x ,判断此直线与已知圆的位置关系.类型五：圆与圆的位置关系例13、判断圆02662:221=--++y x y x C 与圆0424:222=++-+y x y x C 的位置关系,例14：圆0222=-+x y x 和圆0422=++y y x 的公切线共有条. 类型六：圆中的最值问题例15：圆0104422=---+y x y x 上的点到直线014=-+y x 的最大距离与最小距离的差是例16 1已知圆1)4()3(221=-+-y x O ：,),(y x P 为圆O 上的动点,求22y x d +=的最大、最小值．2已知圆1)2(222=++y x O ：,),(y x P 为圆上任一点．求12--x y 的最大、最小值,求y x 2-的最大、最小值．例17：已知)0,2(-A ,)0,2(B ,点P 在圆4)4()3(22=-+-y x 上运动,则22PB PA +的最小值是 . 解：设),(y x P ,则828)(2)2()2(222222222+=++=+-+++=+OP y x y x y x PB PA .设圆心为)4,3(C ,则325min =-=-=r OC OP ,∴22PB PA +的最小值为268322=+⨯.。

直线和圆基础习题和经典习题加答案精编版

【知识网络】综合复习和应用直线和圆的基础知识，解决对称问题、轨迹问题、最值问题，以及直线与圆和其他数学知识的综合问题，提高分析问题和解决问题能力．【典型例题】[例1]（1）直线x ＋y=1与圆x 2＋y 2－2ay=0(a ＞0)没有公共点，则a 的取值范围是（） A ．（0， 2 －1） B ．（ 2 －1， 2 ＋1）C ．（－ 2 －1， 2 －1）D ．（0， 2 ＋1（2）圆（x －1)2＋(y ＋ 3 )2=1的切线方程中有一个是（） A ．x －y=0 B ．x ＋y=0 C ．x=0 D ．y=0（3）“a =b ”是“直线222()()2y x x a y b =+-++=与圆相切”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分又不必要条件（4）已知直线5x ＋12y ＋a=0与圆x 2＋y 2－2x=0相切，则a 的值为．（5）过点（1， 2 ）的直线l 将圆（x －2)2＋y 2=4分成两段弧，当弧所对的圆心角最小时，直线l 的斜率k= ．[例2] 设圆上点A （2，3）关于直线x ＋2y=0的对称点仍在圆上，且圆与直线x －y ＋1=0相交的弦长为2 2 ，求圆的方程．[例3] 已知直角坐标平面上点Q （2，0）和圆C ：x 2＋y 2=1,动点M 到圆C 的切线长与|MQ|的比等于λ（λ＞0）．求动点M 的轨迹方程，并说明它表示什么曲线．[例4] 已知与曲线C ：x 2＋y 2－2x －2y ＋1=0相切的直线l 叫x 轴，y 轴于A ，B 两点，|OA|=a,|OB|=b(a ＞2,b ＞2)． (1)求证：（a －2)(b －2)=2；(2)求线段AB 中点的轨迹方程；（3）求△AOB 面积的最小值．【课内练习】1．过坐标原点且与圆x 2＋y 2－4x ＋2y ＋52=0相切的直线的方程为（）A．y=－3x 或y=13x B．y=3x 或y=－13xC．y=－3x 或y=－13x D．y=3x 或y=13x2．圆(x－2)2＋y2=5关于原点(0,0)对称的圆的方程为( ) A．(x＋2)2＋y2=5 B．x2＋(y－2)2=5C．(x－2)2＋(y－2)2=5 D．x2＋(y＋2)2=53．对曲线|x|－|y|=1围成的图形，下列叙述不正确的是（）A．关于x轴对称B．关于y轴对称C．关于原点轴对称D．关于y=x轴对称4．直线l1：y=kx＋1与圆x2＋y2＋kx－y－4=0的两个交点关于直线l2：y＋x=0对称，那么这两个交点中有一个是（）A．（1，2）B．（－1，2）C．（－3，2）D．（2，－3）5．若直线y=kx＋2与圆（x－2)2＋(y－3)2=1有两个不同的交点，则k的取值范围是．6．已知直线ax＋by＋c＝0与圆O：x2＋y2＝1相交于A、B两点，且|AB|＝3，则＝.7．直线l1：y=－2x＋4关于点M（2，3）的对称直线方程是．8．求直线l1：x＋y－4=0关于直线l：4y＋3x－1=0对称的直线l2的方程．9．已知圆C：x2＋y2＋2x－4y＋3=0（1）若C的切线在x轴，y轴上的截距的绝对值相等，求此切线方程；（2）从圆C外一点P（x1,y1)向圆引一条切线，切点为M，O为原点，且有|PM|=|PO|，求使|PM|最小的P点的坐标．10．由动点P引圆x2＋y2=10的两条切线PA，PB，直线PA，PB的斜率分别为k1,k2．(1)若k1＋k2＋k1k2=－1,求动点P的轨迹方程；（2）若点P在直线x＋y=m上，且PA⊥PB，求实数m的取值范围．11．5直线与圆的综合应用A 组1．设直线过点（0，a ），其斜率为1，且与圆x 2＋y 2=2相切，则a 的值为（） A ．±2 B ．±2 C ．±2 2 D ．±42．将直线2x －y ＋λ＝0，沿x 轴向左平移1个单位，所得直线与圆x 2+y 2+2x －4y=0相切，则实数λ的值为 A ．－3或7 B ．－2或8 C ．0或10 D ．1或11 3．从原点向圆 x 2＋y 2－12y ＋27=0作两条切线，则该圆夹在两条切线间的劣弧长为( ) A ．π B ． 2π C ． 4π D ． 6π4．若三点A （2，2），B （a,0)，C （0，b)（a ，b 均不为0）共线，则11a b+的值等于．5．设直线ax －y ＋3=0与圆（x －1)2＋(y －2)2=4有两个不同的交点A ，B ，且弦AB 的长为2 3 ，则a 等于．6．光线经过点A （1，74），经直线l ：x ＋y ＋1=0反射，反射线经过点B （1，1）．（1）求入射线所在的方程；（2）求反射点的坐标．7．在△ABC 中，BC 边上的高所在的直线方程为x －2y ＋1=0,∠A 的平分线所在直线方程为y=0,若B 点的坐标为（1，2），求点A 和点C 的坐标．8．过圆O ：x 2＋y 2=4与y 轴正半轴的交点A 作这个圆的切线l ，M 为l 上任意一点，过M 作圆O 的另一条切线，切点为Q ，当点M 在直线l 上移动时，求△MAQ 垂心H 的轨迹方程．B 组1．已知两定点A （－2，0），B （1，0），如果动点P 满足|PA|=2|PB|，则点P 的轨迹所包围的图形的面积等于（）A ．πB ．4πC ．8πD ．9π2．和x 轴相切，且与圆x 2＋y 2=1外切的圆的圆心的轨迹方程是（） A ．x 2=2y ＋1 B ．x 2=－2y ＋1 C ．x 2=2y －1 D ．x 2=2|y|＋13．设直线的方程是0=+By Ax ，从1，2，3，4，5这五个数中每次取两个不同的数作为A 、 B 的值，则所得不同直线的条数是（）A ．20B ．19C ．18D ．164．设直线0132=++y x 和圆03222=--+x y x 相交于点A 、B ，则弦AB 的垂直平分线方程是 . 5．已知圆M ：（x ＋cosθ)2＋(y －sinθ)2=1，直线l ：y=kx ，下面四个命题 A ．对任意实数k 和θ，直线l 和圆M 都相切； B ．对任意实数k 和θ，直线l 和圆M 有公共点；C ．对任意实数θ，必存在实数k ，使得直线l 和圆M 相切；D ．对任意实数k ，必存在实数θ，使得直线l 和圆M 相切．其中真命题的代号是（写出所有真命题的代号）． 6．已知点A ，B 的坐标为（－3，0），（3，0），C 为线段AB 上的任意一点，P ，Q 是分别以AC ，BC 为直径的两圆O 1，O 2的外公切线的切点，求PQ 中点的轨迹方程． 7．已知△ABC 的顶点A （－1，－4），且∠B 和∠C 的平分线分别为l BT ：y ＋1=0,l CK :x ＋y ＋1=0,求BC 边所在直线的方程．8．设a,b,c,都是整数，过圆x 2＋y 2=（3a ＋1)2外一点P （b 3－b,c 3－c)向圆引两条切线，试证明：过这两切点的直线上的任意一点都不是格点（纵横坐标均为整数的点）．11．5直线与圆的综合应用【典型例题】例1 （1）A ．提示：用点到直线的距离公式．（2）C ．提示：依据圆心和半径判断．（3）A ．提示：将直线与圆相切转化成关于ab 的等量关系．（4）－18或8．提示：用点到直线的距离公式，注意去绝对值符号时的两种可能情况．（5）22．提示：过圆心（2，0）与点（1， 2 ）的直线m 的斜率是－ 2 ，要使劣弧所对圆心角最小，只需直线l 与直线m 垂直．例2、设圆的方程为（x －a)2＋(y －b)2=r 2, 点A （2，3）关于直线x ＋2y=0的对称点仍在圆上，说明圆心在直线x ＋2y=0上，a ＋2b=0，又（2－a)2＋(3－b)2=r 2,而圆与直线x －y ＋1=0相交的弦长为2 2 ，，故r 2－)2=2,依据上述方程解得：｛b 1=－3a 1=6r 12=52或｛b 2=－7a 2=14r 22=244∴所求圆的方程为（x －6)2＋(y ＋3)2=52，或（x －14)2＋(y ＋7)2=224．例3、设切点为N ，则|MN|2=|MO|2－|ON|2=|MO|2－1，设M （x,y),则λ2－1）（x 2＋y 2)－4λx ＋(1＋4λ2）=0当λ=1时，表示直线x=54；当λ≠1时，方程化为2222222213()1(1)x y λλλλ+-+=--，它表示圆心在222(,0)1λλ-，的一个圆．例4、（1）设出直线方程的截距式，用点到直线的距离等于1，化减即得；（2）设AB 中点M(x,y),则a=2x,b=2y,代入（a －2)(b －2)=2，得（x －1)(y －1)=12 (x ＞1,y ＞1)；(3)由（a －2)(b －2)=2得ab ＋2=2(a ＋b)≥4ab ,解得ab ≥2＋ 2 （ab ≤2－ 2 不合，舍去），当且仅当a=b 时，ab 取最小值6＋4 2 ，△AOB 面积的最小值是3＋2 2 ．【课内练习】1．A ．提示：依据圆心到直线的距离求直线的斜率． 2．D ．提示：求圆心关于原点的对称点．3．C.提示：画张图看，或考虑有关字母替代规律． 4．A ．提示：圆心在直线l 2上．5．0＜k ＜43 ．提示：直接用点到直线的距离公式或用△法．6．21-．提示：求弦所对圆心角． 7．2x ＋y －10=0．提示：所求直线上任意一点（x,y)关于（2，3）的对称点（4－x,6－y)在已知直线上．8．2x ＋11y ＋16=0．提示：求出两直线的交点，再求一个特殊点关于l 的对称点，用两点式写l 2的方程；或直接设l 2上的任意一点，求其关于l 的对称点，对称点在直线l 1上．求对称点时注意，一是垂直，二是平分． 9．（1）提示：∵切线在x 轴，y 轴上的截距的绝对值相等，∴切线的斜率是±1．分别依据斜率设出切线的斜率，用点到直线的距离公式，或△法，解得切线的方程为：x ＋y －3=0, x ＋y ＋1=0, x －y ＋5=0, x －y ＋1=0．(2)将圆的方程化成标准式（x ＋1)2＋(y －2)2=2，圆心C （－1，2），半径r= 2 ， ∵切线PM 与CM 垂直，∴|PM|2=|PC|2－|CM|2，又∵|PM|=|PO|，坐标代入化简得2x 1－4y 1＋3=0．|PM|最小时即|PO|最小，而|PO|最小即P 点到直线2x 1－4y 1＋3=0．从而解方程组2211119202430x y x y ⎧+=⎪⎨⎪-+=⎩，得满足条件的点P 坐标为（－310 ，35 ）．10．（1）由题意设P （x 0,y 0)在圆外,切线l ：y －y 0=k(x －x 0)=∴（x 02－10)k 2－2x 0·y 0k ＋y 02－10=0由k 1＋k 2＋k 1k 2=－1得点P 的轨迹方程是x ＋y±2 5 =0．（2）∵P （x 0,y 0)在直线x ＋y=m 上，∴y 0=m －x 0,又PA ⊥PB ，∴k 1k 2=－1,202010110y x -=--,即：x 02＋y 02=20,将y 0=m －x 0代入化简得,2x 02－2mx 0＋m 2－20=0∵△≥0,∴－210 ≤m≤210 ,又∵x 02＋y 02＞10恒成立，∴m ＞2,或m ＜－2 5 ∴m 的取值范围是[－210 ，－2 5 ]∪（2 5 ，210 ]11．5直线与圆的综合应用A 组1．B ．提示：用点到直线的距离公式或用△法．2．A ．提示：先求出向左平移后直线的方程，再用点到直线的距离公式． 3．B ．提示：考虑切线的斜率及劣弧所对圆心角．4．12 ．提示：由三点共线得两两连线斜率相等，2a ＋2b=ab ，两边同除以ab 即可．5．0．提示：依据半径、弦长、弦心距的关系求解．6．（1）入射线所在直线的方程是：5x －4y ＋2=0；（2）反射点（－23 ，－13 ）．提示：用入射角等于反射角原理．7．点A 既在BC 边上的高所在的直线上，又在∠A 的平分线所在直线上，由⎩⎨⎧x －2y ＋1=0y=0得A （－1，0） ∴k AB =1又∠A 的平分线所在直线方程为y=0 ∴k AC =－1∴AC 边所在的直线方程为 y=－（x ＋1） ① 又k BC =－2,∴BC 边所在的直线方程为 y －2=－2（x －1） ② ①②联列得C 的坐标为（5，－6）8．设所求轨迹上的任意一点H （x,y)，圆上的切点Q （x 0,y 0)∵QH ⊥l,AH ⊥MQ,∴AH ∥OQ,AQ ∥QH ．又|OA|=|OQ|，∴四边形AOQH 为菱形． ∴x 0=x,y 0=y －2．∵点Q （x 0,y 0)在圆上，x 02＋y 02=4∴H 点的轨迹方程是：x 2＋（y －2）2=4（x≠0)．B 组1．B ．提示：直接将动点坐标代如等式，求得点的轨迹是一个以（2，0）为圆心，2为半径的圆．2．D ．提示：设圆心（x,y)||1y + 3．C ．提示：考虑斜率不相等的情况．4．0323=--y x ．提示：弦的垂直平分线过圆心．5． B ，D ．提示：圆心到直线的距离d ==|sin(θ＋ϕ）|≤1． 6．作MC ⊥AB 交PQ 于M ，则MC 是两圆的公切线．|MC|=|MQ|=|MP|，M 为PQ 的中点．设M （x,y),则点C ，O 1，O 2的坐标分别为（x,0),(－3＋x 2 ,0),( 3＋x 2,0)连O 1M ，O 2M ，由平面几何知识知∠O 1MO 2=90°．∴|O 1M|2＋|O 2M|2=|O 1O 2|2，代入坐标化简得：x 2＋4y 2=9(－3＜x ＜3)7．∵BT,CK 分别是∠B 和∠C 的平分线，∴点A 关于BT,CK 的对称点A′，A″必在BC 所在直线上，所以BC 的方程是x ＋2y －3=0．8．线段OP 的中点坐标为（12 （b 3－b),12 (c 3－c)),以OP 为直径的圆的方程是[x －12 （b 3－b)]2＋[y －12 (c 3－c)]2=[ 12 （b 3－b)]2＋[12(c 3－c)]2……①将x 2＋y 2=（3a ＋1)2代入①得：（b 3－b)x ＋(c 3－c)y=（3a ＋1)2这就是过两切点的切线方程．因b 3－b=b(b ＋1)(b －1)，它为三个连续整数的乘积，显然能被整除．同理，c 3－c 也能被3整除．于是（3a ＋1)2要能被3整除，3a ＋1要能被3整除，因a 是整数，故这是不可能的．从而原命题得证．。

(完整版)直线与圆练习题(带答案解析)

..直线方程、直线与圆练习1．如果两条直线l 1:260ax y ++=与l 2:(1)30x a y +-+=平行，那么a 等 A ．1 B ．-1 C ．2 D ．23【答案】B 【解析】试题分析：两条直线平行需满足12211221A B A B A C A C =⎧⎨≠⎩即122112211A B A B a AC A C =⎧⇒=-⎨≠⎩，故选择B考点：两条直线位置关系2．已知点A （1，1），B （3，3），则线段AB 的垂直平分线的方程是 A ．4y x =-+ B ．y x = C ．4y x =+ D ．y x =- 【答案】A 【解析】试题分析：由题意可得:AB 中点C 坐标为()2,2，且31131AB k -==-，所以线段AB 的垂直平分线的斜率为-1，所以直线方程为：()244y x y x -=--⇒=-+，故选择A考点：求直线方程3．如图，定圆半径为a ，圆心为(,)b c ，则直线0ax by c ++=与直线10x y +-=的交点在A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D 【解析】试题分析：由图形可知0b a c >>>，由010ax by c x y ++=⎧⎨+-=⎩得0b c x b a a c y b a +⎧=>⎪⎪-⎨--⎪=<⎪-⎩所以交点在第四象限考点：圆的方程及直线的交点4．若点(,0)k 与(,0)b 的中点为(1,0)-，则直线y kx b =+必定经过点 A ．(1,2)- B ．(1,2) C ．(1,2)- D ．(1,2)-- 【答案】A 【解析】试卷第2页，总48页试题分析：由中点坐标公式可得2k b +=-，所以直线y kx b =+化为()212y kx k k x y =--∴-=+，令10,201,2x y x y -=+=∴==-，定点(1,2)-考点：1．中点坐标公式；2．直线方程5．过点(1,3)P -且平行于直线032=+-y x 的直线方程为（） A ．012=-+y x B ．052=-+y x C ．052=-+y x D ．072=+-y x【答案】D 【解析】试题分析：设直线方程：02=+-c y x ，将点(1,3)P -代入方程，06-1-=+c ，解得7=c ，所以方程是072=+-y x ，故选D ．考点：直线方程 6．设(),P x y 是曲线2cos :sin x C y θθ=-+⎧⎨=⎩（θ为参数,02θπ≤<）上任意一点，则y x 的取值范围是（）A ．3,3⎡⎤-⎣⎦B ．(),33,⎤⎡-∞-⋃+∞⎦⎣C ．33,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ D ．33,,33⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢ ⎪⎝⎦⎣⎭【答案】C 【解析】试题分析：曲线2cos :sin x C y θθ=-+⎧⎨=⎩（θ为参数,02θπ≤<）的普通方程为：()()2221,,x y P x y ++=是曲线()22:21C x y ++=上任意一点，则yx 的几何意义就是圆上的点与坐标原点连线的斜率，如图：33,33y x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦．故选C ．考点：1.直线与圆的位置关系；2.直线的斜率；3.圆的参数方程．7．设点(1,0)A ，(2,1)B ，如果直线1ax by +=与线段AB 有一个公共点，那么22a b +..（A ）最小值为15 （B ）最小值为55 （C ）最大值为15 （D ）最大值为55【答案】A【解析】试题分析：直线ax+by=1与线段AB 有一个公共点，则点A(1，0)B(2，1)应分布在直线ax+by-1=0两侧，将(1，0)与(2，1)代入，则(a-1)(2a+b-1)≤0，以a 为横坐标，b 为纵坐标画出区域如下图：则原点到区域内点的最近距离为OA ，即原点到直线2a+b-1=0的距离，OA=55，22a b +表示原点到区域内点的距离的平方，∴22a b +的最小值为15，故选A.考点：线性规划.8．点()11-，到直线10x y -+=的距离是（）． A ．21 B ．23 C ．22D ．223【答案】D【解析】试题分析：根据点到直线的距离公式，()221(1)132211d --+==+-，故选D 。

直线与圆的位置关系压轴题八种模型全攻略(解析版)

直线与圆的位置关系压轴题八种模型全攻略【考点导航】目录【典型例题】【考点一判断直线和圆的位置关系】【考点二已知直线和圆的位置关系求半径的取值】【考点三已知直线和圆的位置关系求圆心到直线的距离】【考点四判断或补全使直线为切线的条件】【考点五证明某直线是圆的切线】【考点六切线的性质定理】【考点七切线的性质与判定的综合应用】【考点八直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系】【过关检测】【典型例题】【考点一判断直线和圆的位置关系】1(2023春·广东惠州·九年级校考开学考试)如图，∠O=30°，P为OA上一点，且OP=6，以点P为圆心，半径为3的圆与OB的位置关系是( )A.相离B.相交C.相切D.以上三种情况均有可能【答案】C【分析】过点P作PC⊥OB于点C，根据直角三角形的性质，可得PC=12OP=3，再由直线与圆的位置，即可求解．【详解】解：如图，过点P作PC⊥OB于点C，∵∠O=30°，OP=6，∴PC=12OP=3，∵以点P为圆心的圆的半径为3，∴以点P为圆心，半径为3的圆与OB的位置关系是相切．故选：C【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系，熟练掌握直线与圆的位置关系是解题的关键．【变式训练】1.(2023春·广东梅州·九年级校考开学考试)Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，以C为圆心，以AC长为半径作⊙C，则AB与⊙C的位置关系是()A.相离B.相切C.相交D.无法确定【答案】C【分析】此题首先应求得圆心到直线的距离，根据直角三角形的面积公式即可求得；再进一步根据这些和圆的位置关系与数量之间的联系进行判断．【详解】解：根据勾股定理求得BC=5．∵AC=3，BC=4，∴AB=32+42=5，S△ABC=12AC×BC=12×3×4=6，∴AB上的高为：6×2÷5=2.4，即圆心到直线的距离是2.4．∵2.4<3，∴直线和圆相交．故选：C．【点睛】此题主要考查了直线与圆的位置关系，关键是根据三角形的面积求出斜边上的高的长度．注意：直角三角形斜边上的高等于两条直角边的乘积除以斜边．2.(2022秋·九年级单元测试)已知⊙O的半径是3，点P在⊙O上，如果点P到直线l的距离是6，那么⊙O与直线l的位置关系是()A.相交B.相离C.相切或相交D.相切或相离【答案】D【分析】根据圆心到直线的距离d与圆的半径r之间的大小关系解答．【详解】如图，当点P与P1重合时，⊙O与直线l相切；当点P与P1不重合时，⊙O与直线l相离，∴⊙O与直线l的位置关系是相切或相离．故选：D．【点睛】此题考查直线与圆的位置关系，掌握数形结合是解题的关键．【考点二已知直线和圆的位置关系求半径的取值】1(2022秋·江苏连云港·九年级统考期中)直线l与⊙O相离，且⊙O的半径等于3，圆心O到直线l的距离为d，则d的取值范围是．【答案】d>3【分析】根据直线与圆的位置关系判断即可.【详解】解：∵直线l与⊙O相离，且⊙O的半径等于3，圆心O到直线l的距离为d，∴d的取值范围是d>3；故答案为：d>3.【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，设⊙O的半径等于r，圆心O到直线l的距离为d，则当d>r 时，直线与圆相离，当d=r时，直线与圆相切，当d<r时，直线与圆相交；反之也成立.【变式训练】1.(2023·全国·九年级专题练习)已知直线l与半径长为R的⊙O相离，且点O到直线l的距离为5，那么R的取值范围是．【答案】0<R<5【分析】若直线和圆相离，则应满足d>r即可．【详解】解：∵直线和圆相离，且点O到直线l的距离为5，∴0<R<5，故答案为：0<R<5．【点睛】本题考查了直线和圆的位置关系，掌握直线和圆的位置关系与数量之间的等价关系．直线和圆相离，则应满足d>R是解题的关键．2.(2023·湖南常德·统考模拟预测)如图，已知∠ACB=30°，CM=2，AM=5，以M为圆心，r为半径作⊙M，⊙M与线段AC有交点时，则r的取值范围是．【答案】1≤r≤5【分析】过M作MH⊥AC于H，根据直角三角形的性质得到HM=12CM=1，然后根据直线与圆的位置关系即可得到结论．【详解】解：过M作MH⊥AC于H，如图所示：∵CM=2，∠ACB=30°，∴HM=12CM=1，∵AM=5，⊙M与线段AC有交点，∴r的取值范围是1≤r≤5，故答案为：1≤r ≤5．【点睛】本题考查了直线和圆的位置关系：设⊙O 的半径为r ，圆心O 到直线l 的距离为d ，若直线l 和⊙O 相交⇔d <r ；直线l 和⊙O 相切⇔d =r ；直线l 和⊙O 相离⇔d >r ．【考点三已知直线和圆的位置关系求圆心到直线的距离】1(2022秋·九年级单元测试)设⊙O 的半径为R ，圆心O 到直线l 的距离为d ，若d 、R 是方程x 2-6x+m =0的两根，则直线l 与⊙O 相切时，m 的值为．【答案】9【分析】先根据直线与圆的位置关系得出方程有两个相等的根，再根据Δ=0即可求出m 的值．【详解】解：∵d 、R 是方程x 2-6x +m =0的两个根，且直线l 与⊙O 相切，∴d =R ，∴方程有两个相等的实根，∴Δ=b 2-4ac =-6 2-4m =36-4m =0，解得，m =9，故答案为：9．【点睛】本题考查的是直线与圆的位置关系及一元二次方程根的判别式，熟知以上知识是解答此题的关键．【变式训练】1.(2022春·九年级课时练习)在直角坐标系中，⊙M 的圆心坐标为m ,0 ，半径是2．如果⊙M 与y 轴相切，那么m =；如果⊙M 与y 轴相交，那么m 的取值范围是；如果⊙M 与y 轴相离，那么m 的取值范围是．【答案】±2-2<m <2m <-2或m >2【分析】根据y 轴与圆的位置关系，推出圆心到y 轴的距离和半径之间的关系即可得解．【详解】解：∵⊙M 与y 轴相切，∴|m |=r =2；即m =±2；∴如果⊙M 与y 轴相交，那么m 的取值范围是-2<m <2；如果⊙M 与y 轴相离，那么m 的取值范围是m <-2或m >2．故答案为：±2；-2<m <2；m <-2或m >2．【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，熟练掌握圆心到直线的距离与圆的半径的大小关系与直线与圆的位置关系之间的联系，是解题的关键．2.(2023·陕西·模拟预测)如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ,∠A =90°，E 是AD 上一定点，AB =3,BC =6,AD =8,AE =2．点P 是BC 上一个动点，以P 为圆心，PC 为半径作⊙P ．若⊙P 与以E 为圆心，1为半径的⊙E 有公共点，且⊙P 与线段AD 只有一个交点，则PC 长度的取值范围是．【答案】154<PC ≤4或PC =3【分析】根据题意可得PC 的最小值为圆P 与AD 相切，切点为M ；PC 最大值为圆P 与圆E 内切，切点为Q ，由直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系即可解决问题．【详解】解：根据题意可知：PC 的最小值为圆P 与AD 相切，切点为M ，如图所示：∴PM ⊥AD ，在直角梯形ABCD 中，∵AD ∥BC ，∴∠ABC =∠A =90°，∴四边形ABPM 是矩形，∴PM =AB =PC =3，PC 最大值为圆P 与圆E 内切，切点为Q ，∴P ′C =P ′Q =P ′E +EQ =3+1=4，当PC =PA 时，此时圆P 与线段AD 开始有2个交点，不符合题意，设PC =PA =x ，则BP =BC -PC =6-x ,AB =3，∴6-x 2+9=x 2，∴x =154，则PC 长度的取值范围是154<PC ≤4或PC =3．故答案为：154<PC ≤4或PC =3．【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系，直角梯形，解决本题的关键是掌握直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系．【考点四判断或补全使直线为切线的条件】1(2023·江苏·九年级假期作业)如图，已知∠AOB =30°，M 为OB 边上任意一点，以M 为圆心，2cm为半径作⊙M ，当OM =cm 时，⊙M 与OA 相切.【答案】4【分析】过M 作MN ⊥OA 于点N ，此时以MN 为半径的圆⊙M 与OA 相切，根据30°角所对直角边为斜边的一半可得OM 的长.【详解】解：如图，过M 作MN ⊥OA 于点N ，∵MN=2cm，∠AOB=30°，∴OM=4cm，则当OM=4cm时，⊙M与OA相切.故答案为4.【点睛】本题主要考查切线判定，直角三角形中30°角所对直角边为斜边的一半，解此题的关键在于熟练掌握其知识点.【变式训练】1.(2022春·九年级课时练习)如图，AB为⊙O的直径，AB=1cm,BC=2cm，当AC=cm时，直线AC与⊙O相切．【答案】1【分析】直线AC与⊙O相切时，∠BAC=90°，根据勾股定理即可求出AC．【详解】解：当∠BAC=90°时，直线AC与⊙O相切，∴AC=BC2+AB2=(2)2+12=1(cm)，故答案为：1．【点睛】本题考查了切线的判定，掌握切线的判定和性质是解题关键．2.(2022春·九年级课时练习)如图，A、B是⊙O上的两点，AC是过A点的一条直线，如果∠AOB=120°，那么当∠CAB的度数等于度时，AC才能成为⊙O的切线．【答案】60【分析】由已知可求得∠OAB的度数，因为OA⊥AC，AC才能成为⊙O的切线，从而可求得∠CAB的度数．【详解】解：∵△AOB中，OA=OB，∠AOB=120°，∴∠OAB=∠OBA=12180°-∠AOB=30°，∵当OA⊥AC即∠OAC=90°时，AC才能成为⊙O的切线，∴当∠CAB的度数等于60°，即OA⊥AC时，AC才能成为⊙O的切线．故答案为：60．【点睛】本题考查了切线的判定，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，掌握切线的判定定理是解答此题的关键．【考点五证明某直线是圆的切线】1(2023秋·云南昭通·九年级校联考阶段练习)如图，已知AB是⊙O的直径，直线BC与⊙O相切于点B，过点A作AD∥OC交⊙O于点D，连接CD．(1)求证：CD是⊙O的切线．(2)若∠BCD=60°，直径AB=10，求线段BC的长．【答案】(1)见解析(2)53【分析】(1)连接OD,BD，根据平行线的性质可得∠COD=∠ODA,∠COB=∠OAD，通过证明△ODC≌△OBC SAS，得出∠ODC=∠OBC，即可求证；(2)易得OB=OD=5，根据△COD≌△COB，得出∠OCD=∠OCB=30°，则OC=2OB=10，根据勾股定理求解即可．【详解】(1)证明：连接OD,BD，如图所示：∵OA=OD，∴∠ODA=∠OAD．∵AD∥OC，∴∠COD=∠ODA,∠COB=∠OAD，∴∠COD=∠COB．∵OD=OB,OC=OC，∴△ODC≌△OBC SAS．∴∠ODC=∠OBC，∵CB是圆O的切线且OB为半径，∴∠CBO=90°．∴∠CDO=90°．∴OD⊥CD．又∵OD是⊙O半径，∴CD为圆O的切线．(2)解：∵AB是直径，且AB=10，∴OB=OD=5据(1)知，△COD≌△COB，又∠BCD=60°，∴∠OCD=∠OCB=30°，∴在Rt△OBC中：OC=2OB=10，BC=OC2-OB2=102-52=53．【点睛】本题考查了圆周角定理、圆的切线的判定与性质、三角形全等的判定定理与性质，勾股定理等知识点，解题的关键通过正确作辅助线，构造全等三角形，熟练掌握相关知识点并灵活运用．【变式训练】1.(2023秋·云南昭通·九年级统考期末)如图，⊙O的半径为2，点A是⊙O的直径BD延长线上的一点，C为⊙O上的一点，AD=CD，∠A=30°．(1)求证：直线AC是⊙O的切线；(2)求△ABC的面积．【答案】(1)见解析(2)33【分析】(1)首先根据AD=CD，∠A=30°得到∠CDB=60°，进而得到∠OCD=60°，然后求出∠ACO=∠ACD+∠OCD=90°，即可证明；(2)首先得到△DCO是等边三角形，然后作CH⊥BD于点H，利用等腰三角形三线合一性质得到DH=1，进而利用勾股定理求出CH=CD2-DH2=22-12=3，得到AB=AO+OB=4+2=6，最后利用三角形面积公式求解即可．【详解】(1)证明：如图所示，连接OC∵AD=CD，∠A=30°∴∠ACD=30°∴∠CDB=60°∵OD=OC∴∠OCD=60°∴∠ACO=∠ACD+∠OCD=90°∵OC是半径∴直线AC是⊙O的切线；(2)由(1)得△DCO是等边三角形，CD=AD=OD=2作CH⊥BD于点H，则DH=1∴CH=CD2-DH2=22-12=3在△ACO中，∠ACO=90°，∠A=30°∴AO=2OC=4∴AB=AO+OB=4+2=6∴S△ABC=12AB⋅CH=12×6×3=33．【点睛】此题考查了圆和三角形综合题，圆切线的判定，勾股定理，等边三角形的性质和判定等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．2.(2023秋·辽宁葫芦岛·九年级统考期末)如图，四边形ABCD内接于圆O，AD是圆O的直径，AD，BC的延长线交于点E，延长CB交AF于点F，∠BAF+∠DCE=90°．(1)求证：AF是圆O的切线；(2)点G在CE上，且BC=CD=CG，连接DG，DG=2，AB=5，求AD的长．【答案】(1)见解析(2)7【分析】(1)根据四边形ABCD内接于圆O和∠DCE+∠BCD=180°得出∠BAD=∠DCE，再根据∠BAF+∠DCE=90°得出∠FAD=90°即可证明；(2)连接OB，OC，BD，记OC与BD相交于点N，根据BC=CD用垂径定理得出BN=DN，再根据BC =CG，OA=OD运用三角形中位线得出CN,ON即可解答；【详解】(1)证明：∵四边形ABCD内接于圆O∴∠BAD+∠BCD=180°∵∠DCE+∠BCD=180°∴∠BAD=∠DCE∵∠BAF+∠DCE=90°∴∠BAF+∠BAD=90°，即∠FAD=90°又∵AD是圆O的直径∴AF是圆O的切线(2)如图，连接OB，OC，BD，记OC与BD相交于点N∵BC =CD ，∴BC =CD∴∠BOC =∠COD ，又OB =OD∴BN =DN∵BC =CG ，∴CN =12DG =12×2=1又∵OA =OD ，∴ON =12AB =12×5=2.5∴OC =ON +CN =3.5∴AD =2OC =7．【点睛】该题主要考查了圆切线证明，圆心角定理，垂径定理，三角形中位线等知识点，解题的关键是熟练掌握圆部分的这些知识点．【考点六切线的性质定理】1(2023·浙江衢州·统考二模)如图，⊙O 的切线PC 交直径AB 的延长线于点P ，C 为切点，若∠P =30°，⊙O 的半径为3，则PB 的长为．【答案】3【分析】连接OC ，根据切线的性质得到∠OCP =90°，再根据30°所对的直角边是斜边的一半计算即可；【详解】如图，连接OC ，∵PC 是⊙O 的切线，∴OC ⊥CP ，即∠OCP =90°，又∠P =30°，⊙O 的半径为3，∴OP =2CO =6，∴PB =6-3=3．故答案是3．【点睛】本题主要考查了切线的性质，直角三角形的性质，准确计算是解题的关键．【变式训练】1.(2022秋·福建福州·九年级统考期中)如图，AB 是⊙O 的直径，点C 是⊙O 外的一点，且BC 是⊙O 的切线，AC交⊙O于点D，若∠C=60°，则∠A=°．【答案】30【分析】根据切线的性质得到AB⊥BC，根据直角三角形的性质计算，得到答案．【详解】解：∵BC是⊙O的切线，∴AB⊥BC，∵∠C=60°，∴∠A=90°-60°=30°，故答案为：30．【点睛】本题考查的是切线的性质，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．2.(2023·湖南永州·校考二模)如图，AB是⊙O的直径，PA与⊙O相切于点A，∠ABC=32°，OC的延长线交PA于点P，则∠P的度数是．【答案】26°/26度【分析】利用圆周角定理，切线的性质定理和三角形的内角和定理解答即可．【详解】解：∵AB是⊙O的直径，PA与⊙O相切于点A，∴OA⊥PA，∴∠PAB=90°，∵∠B=12∠AOC，∠ABC=32°，∴∠AOC=64°，∴∠P=180°-∠PAB-∠AOC=26°．故答案为：26°．【点睛】本题主要考查了圆周角定理，圆的切线的性质定理，熟练掌握上述定理是解题的关键．【考点七切线的性质与判定的综合应用】1(2023秋·江苏·九年级专题练习)如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，点O在边AC上，以点O为圆心，OC为半径的圆交边AC于点D，交边AB于点E，且BC=BE．(1)求证：AB 是⊙O 的切线．(2)若AE =24，BE =15，求⊙O 的半径．【答案】(1)见解析(2)⊙O 的半径为10．【分析】(1)连接OE ，连接BO ，通过证明△BOE ≌△BOC SSS 即可进行求证；(2)连接OE ，则BC =BE =15，AB =BE +AE =39根据勾股定理求出AC =AB 2-BC 2=36，设⊙O 的半径为r ，根据OA 2=OE 2+AE 2，列出方程求解即可．【详解】(1)证明：如图，连接OE ，连接BO ，在△OBC 和△OBE 中，OE =OCBE =BC BO =BO，∴△BOE ≌△BOC SSS ，∴∠BEO =∠BCO ，∵∠BCO =90°，∴∠BEO =90°，∵OE 是半径，∴AB 是⊙O 的切线；(2)解：如图，连接OE ，∵BE =15，AE =24，∴BC =BE =15，AB =BE +AE =15+24=39，∴AC =AB 2-BC 2=392-152=36，设⊙O 的半径为r ，则OE =OC =r ，OA =36-r ，∵OA 2=OE 2+AE 2，∴36-r 2=r 2+242，解得：r =10，∴⊙O 的半径为10．【点睛】本题主要考查了切线的判定和性质，勾股定理，解题的关键是掌握经过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线．【变式训练】1.(2023·河南周口·校联考三模)如图，点E 是以AB 为直径的⊙O 外一点，点C 是⊙O 上一点，EB 是⊙O 的切线，EC ⊥OC，连接AC 并延长交BE 的延长线于点F ．(1)求证：点E 是BF 的中点；(2)若EC =OC ，⊙O 的半径为3，求CF 的长．【答案】(1)见解析(2)32【分析】(1)连接BC，证明EC是⊙O的切线．根据EB是⊙O的切线，可得EC=EB，进而证明EF= EC，等量代换可得EF=EB，即可得证；(2)根据EC=OC，可得四边形OCEB是正方形，则△ABF是等腰直角三角形．勾股定理，即可求解．【详解】(1)证明：连接BC．∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°．∵EC⊥OC，∴EC是⊙O的切线．∵EB是⊙O的切线，∴EC=EB，∴∠ECB=∠EBC．∵∠ECB+∠FCE=90°，∠EBC+∠F=90°，∴∠FCE=∠F，∴EF=EC，∴EF=EB，∴点E是BF的中点．(2)解：若EC=OC，由(1)得，四边形OCEB是正方形，∴△ABF是等腰直角三角形．∵⊙O半径为3，∴AB=6，∴AF=2AB=62，∵BC⊥AF∴CF=12AF=32．【点睛】本题考查了切线的性质与判定，切线长定理，勾股定理，正方形的性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．2.(2023·云南昆明·统考二模)如图，在△ABC中，O为AB上一点，以点O为圆心，OB为半径作半圆，与BC相切于点B，过点A作AD⊥CO交CO的延长线于点D，且∠AOD=∠CAD．(1)求证：AC是半⊙O的切线；(2)若CO=AO，BC=4，求半⊙O的半径．【答案】(1)见解析(2)433【分析】(1)过点O作OF⊥AC于点F，由切线的性质知∠B=90°，∠BOC+∠BCO=90°，又∠CAD +∠ACO=90°，AOD=∠CAD，∠AOD=∠BOC，推证∠BCO=∠ACO，由角平分线性质定理得OF =OB，结论得证；(2)由切线长定理知CF=BC=4，由等腰三角形性质知AF=CF=4，∠OCA=∠OAC，进一步推证=433．∠OAC=30°，由直角三角形性质，求解圆半径为OF=AF3【详解】(1)证明：过点O作OF⊥AC于点F．∵BC为半⊙O切线，∴OB⊥BC，∴∠B=90°，∴∠BOC+∠BCO=90°．∵AD⊥CD，∴∠D=90°，∴∠CAD+∠ACO=90°．∵∠AOD=∠CAD，∠AOD=∠BOC∴∠BOC=∠CAD，∴∠BCO=∠ACO，∴CO平分∠ACB．∵OB⊥BC，OF⊥AC，∴OF=OB，∴OF是半⊙O的半径．∵OF⊥AC，∴AC是半⊙O的切线．(2)∵BC，AC是半⊙O的切线，BC=4，∴CF=BC=4．∵CO=AO，OF⊥AC，∴AF=CF=4，∠OCA=∠OAC.∵∠BCO=∠OCA,∴∠OCA=∠OAC=∠BCO．∵∠B=90°，∴∠BCA+∠OAC=90°，即∠OCA+∠OAC+∠BCO=90°，∴∠OAC=30°．在Rt△OFA中，OA=2OF，∴AF=OA2-OF2=3OF，∴⊙O 的半径为OF=AF3=43=433．【点睛】本题考查圆切线的判定和性质，切线长定理，等腰三角形性质，角平分线性质，直角三角形的性质，勾股定理，利用已知的角之间的数量关系结合直角三角形性质求解角度是解题的关键．3.(2023·全国·九年级专题练习)如图，AB是⊙O的直径，E为⊙O上的一点，∠ABE的平分线交⊙O于点C，过点C的直线交BA的延长线于点P，交BE的延长线于点D．且∠PCA=∠CBD．(1)求证：PC为⊙O的切线；(2)若PC=22BO，PB=12，直接写出半径的长．【答案】(1)见解析(2)3【分析】(1)连接OC，根据角平分线求得∠ABC=∠CBD，由等边对等角可得∠PCA=∠OCB，由AB是直径和等量代换可得∠PCO=90°，即可得证；(2)连接OC，设OB=OC=r，证明OP=3r，可得4r=12，推出r=3，即可求解．【详解】(1)证明：连接OC，∵BC平分∠ABE，∴∠ABC=∠CBD，∵OC=OB，∴∠ABC=∠OCB，∵∠PCA=∠CBD，∴∠PCA=∠OCB，∵AB是直径，∴∠ACB=90°，∴∠ACO+∠OCB=90°，∴∠PCA+∠ACO=90°，∴∠PCO=90°，∴OC⊥PC，∵OC是半径，∴PC是OO的切线；(2)解：连接OC，如图，设OB=OC=r，∵PC=22OB，∴PC=22r，∴OP=OC2+PC2=r2+(22r)2=3r，∵PB=12，∴4r=12，∴r=3，【点睛】本题考查了切线的判定，勾股定理，等腰三角形的性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题．【考点八直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系】1(2023·甘肃陇南·校考一模)如图，⊙O与∠A=90°的Rt△ABC的三边AB、BC、AC分别相切于点D、E、F，若BE=10，CF=3，则⊙O的半径为()A.5B.4C.3D.2【答案】D【分析】连接OD，OF，首先根据切线长定理得到BD=BE=10，CE=CF=3，然后证明出四边形ADOF是正方形，然后设AD=AF=x，根据勾股定理求解即可．【详解】如图，连接OD，OF，∵AC、AB、CB与⊙O相切，∴BD=BE=10，CE=CF=3，AD=AF，OD⊥AB，OF⊥AC，∴∠ADO=∠AFO=90°，∵∠BAC=90°，∴四边形ADOF是矩形，∴矩形ADOF是正方形，∴AD=OD，设AD=AF=x，Rt△ABC中，AB=BD+AD=x+10，AC=CF+AF=x=3，BC=BE+CE=13，由勾股定理得，AB2+AC2=BC2，∴10+x2=132，2+x+3∴x1=2，x2=-15(舍去)，∴OD=2，故选：D．【点睛】此题考查了三角形的内切圆，切线长定理，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．【变式训练】1.(2022秋·山东淄博·九年级统考期末)如图，△ABC中，∠C=90°，圆O是△ABC的内切圆，D，E，F是切点．若AB=5，AC=3，则OD=．【答案】1【分析】根据内切圆的性质先证明四边形OECD是矩形，可得OD=CE，再由切线长定理可得AF=AE, BF=BD,CD=CE，设OD=CD=CE=r，可得AF=AE=3-r，BF=BD=4-r，可得到关于r的方程，即可求解．【详解】解：∵圆O是△ABC的内切圆，∴OE⊥AC,OD⊥BC，∴∠ODC=∠OEC=∠C=90°，∴四边形OECD是矩形，∴OD=CE，∵圆O是△ABC的内切圆，∴AF=AE,BF=BD,CD=CE，设OD=CD=CE=r，∵AB=5，AC=3，∴BC=AB2-AC2=4，AF=AE=3-r∴BF=BD=4-r，∵AF+BF=5，∴3-r+4-r=5，解得：r=1，即OD=1．故答案为：1【点睛】本题主要考查了三角形的内切圆，切线长定理，勾股定理，熟练掌握三角形的内切圆的性质，切线长定理是解题的关键．2.(2023秋·陕西延安·九年级统考期末)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，⊙O是△ABC的内切圆，分别切边BC，AC，AB于点D，E，F．(1)求⊙O的半径．(2)若Q是Rt△ABC的外心，连接OQ，求OQ的长度．【答案】(1)1(2)OQ=52【分析】(1)先利用勾股定理求得AB=5，利用三角形面积公式S△ABC=S△OBC+S△OAC+S△OAB，即可求解；(2)证明四边形ODCE为正方形，边长为1，再利用切线长定理结合勾股定理即可．【详解】(1)解：如图，连接OF，OA，OB，OC，设⊙O的半径为r．∵⊙O是△ABC的内切圆，分别切边BC，AC，AB于点D，E，F，∴OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB．在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，∴AB=BC2+AC2=5．∵S△ABC=S△OBC+S△OAC+S△OAB，∴12×3×4=12×3r+12×4r+12×5r，解得r=1，∴⊙O的半径为1；(2)解：∵⊙O是△ABC的内切圆，分别切边BC，AC，AB于点D，E，F，∴BD=BF，CD=CE，AE=AF．OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB．∴四边形ODCE为正方形，∵OD=OE，∴四边形ODCE为正方形，∴CD=CE=r=1，∴BD=BF=2．∵Q是Rt△ABC的外心，∴QB=QA=12AB=52，∴FQ=QB-BF=12．在Rt△OFQ中，OF2+FQ2=OQ2，即12+122=OQ2，解得OQ=52(负值舍去)．【点睛】此题考查了三角形的内切圆的性质、切线长定理、正方形的判定与性质以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．【过关检测】一、单选题1.(2022秋·湖南长沙·九年级校联考期末)在平面直角坐标系中，以点-3,4为圆心，3为半径的圆()A.与x轴相交，与y轴相切B.与x轴相离，与y轴相切C.与x轴相离，与y轴相交D.与x轴相切，与y轴相离【答案】B【分析】由已知点-3,4可求该点到x轴，y轴的距离，再与半径比较，确定圆与坐标轴的位置关系．设d 为直线与圆的距离，r为圆的半径，则有若d<r，则直线与圆相交；若d=r，则直线于圆相切；若d>r，则直线与圆相离．【详解】解：点-3,4到x轴的距离为4，大于半径3，点-3,4到y轴的距离为3，等于半径3，故该圆与x轴相离，与y轴相切，故选：B．【点睛】本题考查的是直线与圆的位置关系以及点到坐标轴的距离，解决此类问题可通过比较圆心到直线距离d与圆半径大小关系完成判定．2.(2022秋·福建福州·九年级统考期中)《九章算术》中“今有勾七步，股二十四步，问勾中容圆径几何？”其意思为：今有直角三角形，勾(短直角边)长为7步，股(长直角边)长为24步，问该直角三角形(内切圆)的直径是多少？()A.3步B.5步C.6步D.8步【答案】C【分析】设三角形△ABC，由勾股定理可求得直角三角形的斜边，设内切圆的半径为r，由S△ABC=12(AB+BC+CA)⋅r可求得半径，则可求得直径．【详解】解：设三角形为△ABC，∠C=90°，AC=7，BC=24，∴AB=AC2+BC2=72+242=25，设内切圆的半径为r，则S△ABC=12(AB+BC+CA)∙r，∴12AC⋅BC=12(AB+BC+CA)⋅r，即12×7×24=12×(7+24+25)×r，解得r=3，∴内切圆的直径是6步，故选：C．【点睛】本题主要考查三角形的内切圆，利用等积法得到关于内切圆半径的方程是解题的关键．3.(2023·全国·九年级专题练习)如图，在⊙O中，∠CDB=25°，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E，则∠E的度数为()A.40°B.50°C.55°D.60°【答案】A【分析】连接OC，由CE为圆O的切线，利用切线的性质得到OC垂直于CE，利用圆周角定理求出∠COB的度数，即可求出∠E的度数．【详解】解：如图所示，连接OC，∵CE为圆O的切线，∴OC⊥CE，∴∠OCE=90°，∵∠CDB=25°，∴∠COB=2∠CDB=50°，∴∠E=90°-∠COE=40°．故选：A．【点睛】此题考查了切线的性质，圆周角定理，以及三角形内角和定理，熟练掌握切线的性质是解本题的关键．4.(2023·广东深圳·校考一模)如图，AB是⊙O的直径，AE⊥EP，垂足为E，直线EP与⊙O相切于点C，AE交⊙O于点D，直线EC交AB的延长线于点P，连接AC，若∠APC=36°，则∠CAE的度数是()A.27°B.18°C.30°D.36°【答案】A【分析】根据垂直的定义及平行线的判定可知OC∥AE，再利用等腰三角形的性质及平行线的性质即可解答．【详解】解：连接OC，∵PE与⊙O相切于C，∴半径OC⊥PE，∴∠OCP=90°，∵AE⊥PE，∴∠AEP=90°，∴OC∥AE，∴∠EAC=∠ACO，∵OA=OC，∴∠CAO=∠ACO，∴∠EAC=∠CAO=12∠PAE，∵∠APC=36°，∴∠PAE=90°-∠P=90°-36°=54°，∴∠EAC=12∠PAE=12×54°=27°．故选：A．【点睛】本题考查了垂直的定义，平行线的性质，切线的性质，等腰三角形的性质，掌握平行线的性质及切线的性质是解题的关键．5.(2023秋·江苏·九年级专题练习)如图，在△ABC中，∠A=30°，点O是边AB上一点，以点O为圆心，以OB为半径作圆，⊙O恰好与AC相切于点D，连接BD．若BD平分∠ABC，CD=3，则线段AB的长是()A.23B.43C.3D.6【答案】D【分析】连接OD，根据切线的性质得到OD⊥AC，根据等腰三角形的性质得到∠OBD=∠ODB，根据角平分线的定义得到∠OBD=∠CBD，根据平行线的性质得到BC⊥AC，设OD=OB=x，则AO=2x，AB=3x，根据直角三角形的性质即可得到结论．【详解】解：连接OD，∵OD是⊙O的半径，AC是⊙O的切线，点D是切点，∴OD⊥AC，∵OD=OB，∴OBD=ODB，∵BD平分∠ABC，∴∠OBD=CBD，∴∠ODB=∠CBD，∴OD∥BC，∴BC⊥AC，∴∠ADO=∠C=90°，∵∠A=30°，∴AO=2OD，设OD=OB=x，则AO=2x，AB=3x，∴AD=3x，AC=332x，∴CD=AC-AD=332x-3x=3，∴x=2，∴AB=3x=6．故选：D．【点睛】本题考查了切线的性质，直角三角形的性质，平行线的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键．二、填空题6.(2023秋·河北秦皇岛·九年级统考期末)如图，BD是⊙O的切线，∠BCE=30°，则∠D=．【答案】30°/30度【分析】连接OB，根据圆周角定理得到∠BOD=60°，根据切线的性质得到∠OBD=90°，于是得到∠D= 90°-60°=30°．【详解】如图，连接OB，∵∠BCE=30°，∴∠BOD=2∠C=60°，∵BD是⊙O的切线，∴∠OBD=90°，∴∠D=90°-60°=30°，故答案为：30°．【点睛】此题考查了切线的性质，圆周角定理，解题的关键是正确作出辅助线并熟练掌握圆周角定理和切线性质．7.(2023·浙江宁波·校联考一模)如图，▱ABCD的两边AB、BC分别切⊙O于点A、C，若∠B=50°，则∠DAE=．【答案】15°/15度【分析】如图，连接OA，OC，求解∠AOC=360°-2×90°-50°=130°，可得∠AEC=12∠AOC=65°，证明∠D=∠B=50°，再利用三角形的外角和的性质可得答案．【详解】解：如图，连接OA，OC，∵▱ABCD的两边AB、BC分别切⊙O于点A、C，∴∠OAB=∠OCB=90°，而∠B=50°，∴∠AOC=360°-2×90°-50°=130°，∴∠AEC=12∠AOC=65°，∵▱ABCD，∴∠D=∠B=50°，∴∠DAE=∠AEC-∠D=65°-50°=15°；故答案为：15°．【点睛】本题考查的是平行四边形的性质，圆周角定理的应用，切线的性质，四边形的内角和定理的应用，三角形的外角的性质，熟记以上基础知识是解本题的关键．8.(2023秋·江苏·九年级专题练习)如图，在平面直角坐标系中，半径为2的⊙P的圆心P的坐标为(-3,0)，将⊙P沿x轴正方向平移，使⊙P与y轴相交，则平移的距离d的取值范围是．【答案】1<d<5/5>d>1【分析】分两种情况讨论：⊙P位于y轴左侧和⊙P位于y轴右侧，根据平移的性质和圆的切线的性质分别求解，即可得到答案．【详解】解：⊙P的圆心P的坐标为(-3,0)，∴OP=3，∵⊙P的半径为2，∴AP=BP=2，∴OA=1，OB=5，∴当⊙P位于y轴左侧且与y轴相切时，平移的距离为1，当⊙P位于y轴右侧且与y轴相切时，平移的距离为5，∴平移的距离d的取值范围是1<d<5，故答案为：1<d<5．【点睛】本题考查了平移的性质，直线与圆的位置关系，解题关键是掌握当圆与直线相切时，点到圆心的距离等于圆的半径．9.(2023秋·江苏·九年级专题练习)如图，PA、PB、DE分别切⊙O于A、B、C，DE分别交PA，PB于D、E，已知P到⊙O的切线长为8cm，那么△PDE的周长为．【答案】16cm/16厘米【分析】根据题意，结合切线长定理得到相应线段长，再由三角形周长定义求解即可得到答案．【详解】解：∵PA、PB、DE分别切⊙O于A、B、C，∴由切线长定理可得PA=PB，DA=DC，EC=EB，∵P到⊙O的切线长为8cm，PA=PB=8cm，∴C△PDE=PD+DE+PE=PD+DA+EB+PE=PA+PB=8+8=16cm，∴△PDE的周长为16cm，故答案为：16cm．【点睛】本题考查求三角形周长，涉及切线长定理、三角形周长等知识，熟练掌握切线长定理是解决问题的关键．10.(2023秋·河南漯河·九年级统考期末)如图，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D,E,F，且∠A=90°，BC=5，CA=4，则⊙O的半径是．【答案】1【分析】先根据勾股定理求出AB=3，由切线长定理得BD=BE，AD=AF，CF=CE，设OD=OF= AF=AD=x，则CF=CE=4-x，BD=BE=3-x，然后根据CE+BE=5，求解即可．【详解】解：在Rt△ABC中，∵∠A=90°，BC=5，CA=4，∴AB=BC2-AC2=3，∵⊙O为Rt△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F，∴BD=BE，AD=AF，CF=CE，如图，连接OD，OF，∵⊙O为Rt△ABC的内切圆，∴OD⊥AB，OF⊥AC，OD=OF，∴∠ODA=∠A=∠OFA=90°，∴四边形ADOF是正方形，设OD=OF=AF=AD=x，则CF=CE=4-x，BD=BE=3-x，∵CE+BE=5，∴4-x+3-x=5，∴x=1，则⊙O的半径为1．故答案为：1．【点睛】本题考查三角形的内切圆与内心，勾股定理，正方形的判定与性质，切线长定理等知识，解题的关键是熟练掌握切线长定理．三、解答题11.(2022秋·安徽芜湖·九年级校考阶段练习)如图，AB是⊙O的直径，点E在弦AC的延长线上，过点E作ED⊥AE交⊙O于点D，若AD平分∠BAC．。

直线与圆的最值问题

题型一：过圆内一定点的直线被圆截得的弦长的最值．例1：.圆x 2＋y 2－4x ＋6y －12＝0过点(－1,0)的最大弦长为m ，最小弦长为n ，则m －n 等于解析圆的方程x 2＋y 2－4x ＋6y －12＝0化为标准方程为(x －2)2＋(y ＋3)2＝25.所以圆心为(2，－3)，半径长为5.因为(－1－2)2＋(0＋3)2＝18＜25，所以点(－1,0)在已知圆的内部，则最大弦长即为圆的直径，即m ＝10.当(－1,0)为弦的中点时，此时弦长最小.弦心距d ＝(2＋1)2＋(－3－0)2＝32，所以最小弦长为2r 2－d 2＝225－18＝27，所以m －n ＝10－27.变式训练1：1y kx =+与圆C ()2214x y +-=相交于,A B 两点，则AB 的最小值是多少？解：直线1y kx =+过定点()1,0M ，当MC AB ⊥时，AB取最小值，由 2222l d r ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，可知，222d R l -=，2==MC d ，故22222=-=d R l变式训练2：已知圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝25，直线l ：(2m ＋1)x ＋(m ＋1)y －7m －4＝0(m ∈R).(1)求证不论m 取什么实数，直线l 与圆恒交于两点；(2)求直线被圆C 截得的弦长最小时的l 的方程.(1)证明因为l 的方程为(x ＋y －4)＋m (2x ＋y －7)＝0(m ∈R )，所以⎩⎨⎧ 2x ＋y －7＝0，x ＋y －4＝0，解得⎩⎨⎧x ＝3，y ＝1，即l 恒过定点A (3,1).因为圆心为C (1,2)，|AC |＝5<5(半径)，所以点A 在圆C 内，从而直线l 与圆C 恒交于两点.(2)解由题意可知弦长最小时，l ⊥AC .因为k AC ＝－12，所以l 的斜率为2. 又l 过点A (3,1)，所以l 的方程为2x －y －5＝0. 方法总结：过圆内一定点的直线被圆截得的弦长的最大值为圆的直径，最小值为垂直于直径的弦.题型二：圆外一点与圆上任一点间距离的最值直线与圆相离，圆上的点到直线的距离的最值．例2：求点A ）（0,2到圆C 122=+y x 的距离的最大值和最小值？解：==AC d 2，故距离的最大值为3=+r d ，最小值为1=-r d变式训练1：圆122=+y x 上的点到直线2x y -=的距离的最大值？解:圆心到直线的距离为222==d ，则圆上的点到直线2x y -=的最大值为12+=+r d 则圆上的点到直线2x y -=的最小值为1-2-=r d方法总结：圆外一点与圆上任一点间距离的最大值为r d +，最小值为r d -直线与圆相离，圆上的点到直线的距离的最大值为r d +，最小值为r d -题型三：切线问题例3 由直线y ＝x ＋2上的点P 向圆C ：(x －4)2＋(y ＋2)2＝1引切线PT (T 为切点)，当PT 最小的时候P 的坐标？解析根据切线段长、圆的半径和圆心到点P 的距离的关系，可知PT ＝PC 2－1，故PT 最小时，即PC 最小，此时PC 垂直于直线y ＝x ＋2，则直线PC 的方程为y ＋2＝－(x －4)，即y ＝－x ＋2，联立方程⎩⎨⎧y ＝x ＋2，y ＝－x ＋2，解得点P 的坐标为(0,2)．变式训练1：点P 是直线2x ＋y ＋10＝0上的动点，P A ，PB 与圆x 2＋y 2＝4分别相切于A ，B 两点，则四边形P AOB 面积的最小值为________．解析：如图所示，因为S 四边形P AOB ＝2S △POA .又OA △AP ，所以S 四边形P AOB ＝2×12|OA |·|P A | ＝2|OP |2－|OA |2＝2|OP |2－4.为使四边形P AOB 面积最小，当且仅当|OP |达到最小，即为点O 到直线2x ＋y ＋10＝0的距离：|OP |min ＝1022＋12＝2 5.故所求最小值为2252－4＝8.题型五：两圆相离，两圆上点的距离的最值。

《直线与圆》变式题111

直线与圆的相交问题

直线与圆的综合运用练习题

直线和圆基础习题(答案版)教程文件

直线和圆综合练习题集附答案解析

(完整版)直线与圆的方程测试题(含答案)

2014届高二第一学期期末数学复习--直线与圆答案

2020年高考全国1数学理高考真题变式题11-15题-(学生版)

第09章 直线与圆的方程 变式题答案

直线与圆知识点及经典例题(含答案)

直线与圆的位置关系(经典)

(完整版)直线与圆综合练习题含答案

高二数学直线与圆经典习题

直线与圆知识点及经典例题(含答案)

直线与圆知识点总结及例题

直线和圆基础习题和经典习题加答案精编版

(完整版)直线与圆练习题(带答案解析)

直线与圆的位置关系压轴题八种模型全攻略(解析版)

直线与圆的最值问题

第09章直线与圆的方程变式题答案