运用平方差公式因式分解

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平方差与差平方公式及其应用

平方差与差平方公式及其应用在数学中，平方差与差平方公式是一种常见的数学公式，它们在代数运算、方程求解以及几何推导等方面都有广泛的应用。

本文将介绍平方差与差平方公式的定义、推导过程以及一些实际应用。

一、平方差公式平方差公式是指两个数的平方差可以展开为两个数的和与差的乘积。

设有两个数a和b，那么它们的平方差可以表示为：(a + b)(a - b)这个公式可以通过展开式来证明。

展开(a + b)(a - b)得到：a^2 - ab + ab - b^2可以看到，中间的两项-ab和ab相互抵消，最终结果为a^2 - b^2。

这就是平方差公式的推导过程。

平方差公式在代数运算中有着广泛的应用。

例如，在因式分解中，我们经常需要将一个二次多项式进行因式分解，而平方差公式可以帮助我们将其转化为两个一次多项式的乘积。

另外，在解方程的过程中，平方差公式也能够帮助我们简化计算，从而更快地得到解的结果。

二、差平方公式差平方公式与平方差公式相反，它表示两个数的差的平方可以展开为两个数的和与差的乘积。

设有两个数a和b，那么它们的差的平方可以表示为：(a - b)(a - b)同样地，我们可以通过展开式来证明这个公式。

展开(a - b)(a - b)得到：a^2 - ab - ab + b^2可以看到，中间的两项-ab和-ab相互抵消，最终结果为a^2 - 2ab + b^2。

这就是差平方公式的推导过程。

差平方公式同样在代数运算中有着广泛的应用。

它可以帮助我们进行因式分解，将一个二次多项式转化为两个一次多项式的乘积。

此外，在几何推导中，差平方公式也常常被用来计算距离、边长等问题。

三、应用举例下面我们通过一些具体的例子来展示平方差与差平方公式的应用。

例1：求解方程考虑方程x^2 - 5x + 6 = 0，我们可以使用平方差公式来求解。

将方程转化为(x - 2)(x - 3) = 0，得到x = 2或x = 3。

通过平方差公式，我们可以快速得到方程的解。

因式分解运用公式法(完全平方公式)

说明：系数是分数时应提取，使各项系数化为整数.
例8、把(x+3)2-6y(x+3)+9y2分解因式解:原式=(x+3)2-2· (x+3) · 3y+(3y)2 =[(x+3)-3y]2 =(x+3-3y)2
说明：当公式中的a、b表示多项式时，在运算过程中应用括号来表示这个多项式的整体性,并且由于式子变得复杂，在运算时应更加仔细.
例11、已知a2+2ab+b2=0 求代数式a(a+4b)-(a+2b)(a-2b)的值. 解：∵a2+2ab+b2=0 ∴(a+b)2=0 ∴a+b=0 ∴a(a+4b)-(a+2b)(a-2b) =a2+4ab-a2+4b2 =4ab+4b2 =4b(a+b)=4b×0 =0
例12、已知a、b、c为△ABC的三边长，且满足a2+b2+c2-ab-ac-bc=0，试判断 △ABC的形状. 解： ∵ a2+b2+c2-ab-ac-bc=0 ∴ 2(a2+b2+c2-ab-ac-bc)=0 ∴a2-2ab+b2+a2-2ac+c2+b2-2bc+c2=0 ∴(a-b)2+(a-c)2+(b-c)2=0 ∴a-b=0，a-c=0，b-c=0 ∴a=b，a=c，b=c 即a=b=c ∴ △ABC是等边三角形
说明：因式分解应彻底，即要分解到每个因式都不能再分解为止.
完全平方公式因式分解的应用例10、计算： 80×3.52+160×3.5×1.5+80×1.52 解: 80×3.52+160×3.5×1.5+80×1.52

因式分解公式平方差公式

因式分解公式平方差公式因式分解公式中的平方差公式，那可是数学世界里的一个超级实用的工具！咱们先来看看啥是平方差公式。

简单说，就是 a² - b² = (a + b)(a - b) 。

这公式看着简单，用起来可厉害着呢！就拿我曾经教过的一个学生小明的例子来说吧。

有一次课堂练习，题目是分解因式 x² - 25 。

小明一开始抓耳挠腮，不知道从哪儿下手。

我就提醒他，看看这式子像不像平方差公式的样子？他眼睛一亮，马上反应过来，25 不就是 5 的平方嘛，这式子不就是 x² - 5²嘛。

然后，他迅速写下 (x + 5)(x - 5) ，那脸上的表情，别提多得意了。

再比如，遇到 9m² - 4n²这样的式子。

咱们一看，9m²就是 (3m)²，4n²就是 (2n)²，那这就可以用平方差公式分解为 (3m + 2n)(3m - 2n) 。

平方差公式在解决实际问题中也大有用处。

比如说，要计算一个长方形场地的面积，已知它的长是 (x + 3) 米，宽是 (x - 3) 米，那面积就是 (x² - 9) 平方米。

这时候用平方差公式一分解，就能更清楚地知道具体数值。

而且啊，平方差公式还能帮我们在做数学证明题的时候找到思路。

有些看起来特别复杂的式子，一旦发现能用平方差公式分解，就好像找到了打开难题大门的钥匙。

我还记得有一次考试，有一道题是分解 16a⁴ - b⁴。

很多同学都被难住了，但那些真正掌握了平方差公式的同学，很快就把它分解为 (4a²+ b²)(2a + b)(2a - b) ，轻松拿下分数。

在数学的学习中，平方差公式就像是我们的得力助手，只要用对了地方，就能让难题变得简单。

所以同学们一定要好好掌握这个公式，多做练习，让它成为我们解题的神器！总之，平方差公式虽然简单，但是用处多多。

运用平方差公式进行因式分解

运用平方差公式进行因式分解教学内容：运用平方差公式进行分解因式教学目标：1、使学生进一步理解因式分解的意义。

2、使学生理解平方差公式的意义，弄清公式的形式和特征。

3、会运用平方差公式分解因式。

4、通过对比整式乘法和分解因式的关系，进一步发展学生的逆向思维能力。

教学重难点：1、弄清公式的形式和特征。

2、会运用平方差公式分解因式。

3、整式乘法和分解因式的关系。

学习过程：一、预习检测1.自学课本P39——40上部分内容。

2.平方差公式反过来是：相等吗？3.填空。

（1）4=（）2 64=（）2 b6=（）2 9a2b8=（）2（2）a2－16=a2－（）2=（a＋）（a－）（3）64－b2=（）2－（）2=（＋b）（－b）二、尝试探究1.小组讨论：992－1是100的整数倍吗？你是怎样想的？(1).判断某个数是否是另一个数的整数倍可以怎么判断？如：12是3的整数倍吗？(2).992－1可以写成（99+1）（99－1）吗？为什么可以这么写？9992－1 可以吗？(3).a2－1可以写成（a+1）(a－1)吗？(4).a2－4可以写成乘积形式吗？你认为可以写成什么样子呢？(5).a2－b2呢？2. 比一比，看谁算的又快又准确：572－562962－952 ( )2－( )23.平方差公式的特征辨析：把乘法公式(a+b)(a－b)=a2－b2反过来得：a2－b2=(a+b)(a－b)我们可以运用这个公式对某些多项式进行分解因式。

这种方法叫运用平方差公式法。

(注意:能运用平方差公式分解因式的多项式有两个特点：一是它的两项的差；二是这两项都可以写成一个整式的平方。

4.[议一议]：下列多项式可以用平方差公式分解吗？（1）x2－y2（2）x2+y2（3）－x2－y2（4）－x2+y2（5）64－a2（64)x2_9y2三、典型例题讲解例1 把下列多项式分解因式：’(1) 36－25x2 (2) 16a2－9b2 (x+p)2－(x+q)2 9(a+b)2－4(a－b)2四、课堂检测1.把下列各式因式分解36－x2 a2－9b2 x2y2－z2 （x＋2）2－81 （x＋a）2－（y－b）22.指出下列因式分解中的错误，并给以改正：① x2–4y2=（4x+y）（4x–y）.② –m2+n2=（m+n）（m–n）.3.把下列各式因式分解：（1）16a2–25b2x2；（2） 0.49 a2–49 b2。

八年级数学平方差公式1

运用平方差公式分解因式
复习：运用平方差公式计算：
1) .（a+2)(a-2);
2) . (x+2y) (x-2y)
3). (t+4s)(-4s+t)
看谁做得最快最正确！
4). (m² +2n² )(2n² - m² )
（1）观察多项式x2 –25，9 x2- y2 ，它们有什么共同特征？
（2）尝试将它们分别写成两个因式的乘积，并与同伴交流。
3.当要分解的多项式是两个多项式的平方时，分解成的两个因式要进行去括号化简，若有同类项，要进行合并，直至分解到不能再分解为止。
4.运用平方差分解因式，还给某些运算带来方便，故应善于运用此法，进行简便计算。 5.在因式分解时，若多项式中有公因式，应先提取公因式，再
考虑运用平方差公式分解因式。
随堂练习：
P49
1
2
巩固练习：
1.选择题：
1)下列各式能用平方差公式分解因式的是（ D A. 4X² +y² B. 4 x- (-y)² C. -4 X² -y³ （ D ）
D. - X² + y² ）
2) -4a² +1分解因式的结果应是 A. -(4a+1)(4a-1) B.
-( 2a –1)(2a –1)
C. -(2a +1)(2a+1)
2. 把下列各式分解因式： 1）18-2b² 2) x4 –1
D.
-(2a+1) (2a-1)
1)原式=2（3+b)(3-b)
2)原式=(x² +1)(x+1)(x-1)
做一做
2、如图，在一块边长为 acm 的正方形的四角，各剪去一个边长为 bcm的正方形，求剩余部分的面积。如果 a=3.6，b=0.8呢?

第2课时运用平方差公式因式分解

提公因式与平方差公式在同一个题中显现时，要先考虑提公因式法，再考虑平方差公式；同时每个因式都要分解完全．
布置作业
课本P45习题12.5第1题中(3)(4)(5)，第3题3．通过总结能够让学生对因式分解有更进一步的明白得.
【知识网络】
运用平方差公式分解因式
框架图式总结，更
容易形成知识网络.
【教学反思】
①[授课流程反思]
A．新课导入□B．情形导入□
导入时教师要提醒学生假如多项式是二项式，通常考虑应
用平方差公式；假如多项式中有公因式可提，应先提取公
因式，而且还要“提”得完全．
②[讲授成效反思]
A．重点□B．难点□C．易错点
运用平方差公式因式分解，第一应注意每个公式的特点．分析多项式的次数和项数，然后再确定公式．
③[师生互动反思]
师生出示幻灯片后要放手让学生独立摸索求解，然后师生共同讨论，纠正学生解题中可能发生的错误，并对各种错误进行评析．
④[习题反思]
好题题号__________________________________________ 错题题号__________________________________________
反思，更进一步提升.。

a的平方+1因式分解

a的平方+1因式分解
要将表达式"a的平方+1"进行因式分解，我们首先需要将其写成一个平方差或平方和的形式。

将"a的平方+1"写成平方和的形式是不可能的，因为平方和的形式要求两个平方的和。

但我们可以将其写成平方差的形式。

通过观察，我们可以使用平方差公式来进行因式分解。

平方差公式是(a+b)(a-b)=a的平方-b的平方。

因此，我们可以将"a的平方+1"写成(a+1)(a-1)的形式。

这是因为(a+1)(a-1)=a的平方-1。

所以，将"a的平方+1"进行因式分解后得到(a+1)(a-1)。

总结起来，"a的平方+1"可以因式分解为(a+1)(a-1)。

因式分解——运用公式法

因式分解——运用公式法因式分解是将一个多项式化简成一系列乘积的过程。

通常有两种方法用于进行因式分解：公式法和分组法。

公式法可以概括为以下几种常用的因式分解公式：1.a²-b²=(a+b)(a-b)这是平方差公式，用于因式分解差的平方。

例如，我们可以将x²-4分解为(x+2)(x-2)。

2. a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b²)这是立方和公式，用于因式分解和的立方。

例如，我们可以将x³+8分解为(x+2)(x²-2x+4)。

3. a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²)这是立方差公式，用于因式分解差的立方。

例如，我们可以将x³-8分解为(x-2)(x²+2x+4)。

4. a⁴ + b⁴ = (a² + √2ab + b²)(a² - √2ab + b²)这是四次和公式，用于因式分解和的四次方。

例如，我们可以将x⁴+16分解为(x²+4√2x+4)(x²-4√2x+4)。

5. a⁴ - b⁴ = (a² - √2ab + b²)(a² + √2ab + b²)这是四次差公式，用于因式分解差的四次方。

例如，我们可以将x⁴-16分解为(x²-4√2x+4)(x²+4√2x+4)。

除了以上这些常用的因式分解公式外，还有一些其他形式的因式分解公式，以及一些特殊的因式分解技巧。

例如，对于一个二次方程式ax² + bx + c，我们可以使用求根公式x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a 来因式分解。

根据求根公式，我们可以将二次方程ax² + bx + c 分解为两个因式的乘积 (x - x₁)(x - x₂)，其中 x₁和 x₂是由求根公式得到的两个根。

平方差公式知识点归纳总结

平方差公式知识点归纳总结平方差公式是数学中常用的公式之一，用于计算两个数的平方之差。

在代数学和几何学中都有广泛的应用。

本文将对平方差公式的定义、原理、应用以及相关例题进行全面的总结和归纳。

一、平方差公式的定义和原理平方差公式是指对于任意实数a和b，有：(a + b)(a - b) = a^2 - b^2这个公式也可以写成：a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)平方差公式的原理是基于多项式的乘法公式进行推导，通过展开和合并同类项的方法，可以得到上述等式。

二、平方差公式的应用1. 因式分解平方差公式在因式分解中经常被使用。

对于二次三项式或含有平方项的多项式，可以利用平方差公式将其分解为两个因式的乘积。

例如，对于多项式x^2 - 4，我们可以将其分解为(x + 2)(x - 2)。

2. 数列求和平方差公式在数列求和中也有应用。

考虑一个等差数列：a, a + d, a + 2d, ..., a + (n-1)d，其中a为首项，d为公差，n为项数。

当我们计算这个数列的平方和时，可以利用平方差公式简化计算。

例如，要求等差数列1, 3, 5, 7的平方和，可以利用平方差公式将其化简为：(1^2 + 7^2) + (3^2 + 5^2) = 503. 平方差法求根平方差公式还可以在求解方程中使用。

特别是在二次方程的解法中，通过巧妙地运用平方差公式，可以简化求解的过程。

例如，对于二次方程x^2 - 5x + 6 = 0，我们可以利用平方差公式将其化简为：(x - 2)(x - 3) = 0从而得到方程的两个根x = 2和x = 3。

三、平方差公式的例题1. 例题一：计算(7 + 3)(7 - 3)的值。

解：根据平方差公式，我们有：(7 + 3)(7 - 3) = 7^2 - 3^2 = 49 - 9 = 402. 例题二：分解多项式x^2 - 9y^2。

解：利用平方差公式，我们可以得到：x^2 - 9y^2 = (x + 3y)(x - 3y)通过展开乘法，可以验证这个分解是正确的。

14.3.2第1课时运用平方差公式分解因式课件人教版八年级数学上册

（2） 4a2-9b2
=( 2a )2-( 3b )2=（2a+3b)(2a-3b).
探索新知
知识点运用平方差公式分解因式
把上边的两个式子反过来：
（1）
x2-16
=(x+4)(x-4);
（2） 4a2-9b2
=( 2a )2-( 3b )2=（2a+3b)(2a-3b);
左边是多项式右边是整式的积
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知识点运用平方差公式分解因式平方差公式的符号表达形式： (a+b)(a-b)=a2-b2
运用平方差公式计算:
（1）(x+4)(x-4)= x2-16
;
（2）（2a+3b)(2a-3b)=( 2a )2-( 3b )2=
4a2-9b2 .
把上边的两个式子反过来：
（1）
x2-16
=(x+4)(x-4);
一定要检查是否还有能继续分解的因式，若有，则需继续分解. 分解因式时，若有公因式，一般先提公因式，然后再运用平方差公式.
学以致用
1.若a+b=3，a-b=7，则b2-a2的值为（ A ）
A．-21 B．21
C．-10 D．10
【解析】b2-a2=（b+a）（b-a）=3×（-7）=-21．故选A．
符合“（）2-（）2”的形式的多项式才能用平方差公式进行因式分解，可简记为“两数是平方，减号在中央”.
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知识点运用平方差公式分解因式
例2 分解因式.
（1）4x2-9；
(2) (x+p)2-(x+q)2 .
可写成(2x)2-32的形式
两者均看成一个整体
解：(1)4x2-9=(2x)2-32=(2x+3)(2x-3) ; (2)(x+p)2-(x+q)2=[(x+p)+(x+q)][(x+p)-(x+q)]=(2x+p+q)(p-q) .

因式分解的平方差公式

因式分解的平方差公式
平方差公式是统计学中一个重要的概念，它可以用来计算一组数据的方差。

通常，它是用来计算数据的变异程度的指标，而且它是通过因式分解来计算的。

平方差公式（也称为样本方差公式）可以表示如下：
s² = ∑(xi - x)² / (n - 1)
其中，s²是平方差，xi是样本中每个数据，x是样本的平均数，n 是样本的数量。

从这个公式可以看出，平方差是由两部分组成的，一部分是每个样本数据与样本平均数之差的平方，而另一部分是一个常数（n-1）。

每个样本数据与样本平均数之差的平方是平方差的基本元素，它可以表示每个样本的离散程度。

而常数（n-1）是用来将每个样本的离散程度综合起来，从而得出样本整体的变异程度。

因此，可以认为平方差公式是由两个部分组成的，一部分是每个样本数据与样本平均数之差的平方，另一部分是一个常数（n-1）。

这两部分组成的公式可以用来计算一组数据的变异程度，从而可以对数据进行分析和比较。

总之，平方差公式是由两部分组成的，它可以用来计算一组数据的
变异程度，它是通过因式分解来计算的。

它的一部分是每个样本数据与样本平均数之差的平方，而另一部分是一个常数（n-1），这两部分组成的公式可以用来计算一组数据的变异程度，从而可以对数据进行分析和比较。

平方差公式的运用技巧

平方差公式的运用技巧1.化简平方差公式：有时候，平方差公式可能需要经过化简才能更好地运用。

例如，当平方差公式中的a或b出现较为复杂的形式时，我们可以通过部分提取根号或者分解因式将其化简，以便更好地应用平方差公式。

2. 解二次方程：平方差公式的一个常见应用是解二次方程。

对于形如ax^2 + bx + c = 0的二次方程，我们可以通过平方差公式将它变形为(a-b)(a+b) = 0的形式。

从而得到两个方程a-b=0和a+b=0。

进而求解得到x的值。

3.求解多项式的因式：平方差公式也可以用于求解多项式的因式。

当我们需要将一个多项式进行因式分解时，如果该多项式中存在平方项，我们可以考虑是否可以应用平方差公式。

通过将多项式中的平方项按照平方差公式展开，我们可以得到一些常见的因式组合。

4. 解三角方程：平方差公式也可以应用于解三角方程。

例如，当我们需要解sin^2(x) - cos^2(x) = 0这样的三角方程时，我们可以应用平方差公式，将其变形为(sinx - cosx)(sinx + cosx) = 0的形式。

进而求解得到x的值。

5.求证等式：平方差公式也常用于数学证明中。

当我们需要证明一个等式时，如果该等式中存在平方项，我们可以尝试应用平方差公式，通过将等式两侧进行分解然后化简，最终得到等式成立的证明过程。

6.运用平方差公式简化表达式：平方差公式还可以用于简化复杂的代数表达式。

例如，当我们需要对一个较为复杂的代数表达式进行化简时，平方差公式可以帮助我们将表达式中的平方项分解再合并，从而得到简化后的表达式。

总而言之，平方差公式是数学中一种常见且有效的运用技巧，它可以用于解二次方程、求解多项式的因式、解三角方程、求证等式等多个方面。

熟练掌握平方差公式的运用技巧，对于解决数学问题和提高数学思维能力都具有很大的帮助。

平方差公式法分解因式

求代数式 x 2- y2-2y+2x 的值.
பைடு நூலகம்
当堂检测
把下列各式分解因式：
(1) x2 y2-36
(2)18a2-50 (3)-3ax2+3ay4
(4)(2a b) 4a
2 2 2
2 2
(5)(x 3x) x 1
6x
4
16
小结：1.具有的两式（或）两数平方差形式的多项式可运用平方差公式分解因式。 2.公式a² - b² = (a+b)(a-b)中的字母 a , b可以是数，也可以是单项式或多项式，应视具体情形灵活运用。 3.运用平方差公式分解因式的关键是要把分解的多项式看成两个数的平方差，尤其当系数是分数或小数时，要正确化为两数的平方差。 4.若多项式中有公因式，应先提取公因式，然后再
=(4m+2n)(2m+4n) =4(2m+n)(m+2n)
分解因式： xm+2-xm
解：xm+2-xm =xmx2-xm =xm(x2-1) =xm(x+1)(x-1)
（你会做么？？？）
利用因式分解计算
2 2 1.1012 -988 2 2 2.73×145 -105 ×73
创新与应用
已知, x+ y =7, x-y =5,
思考：能用平方差公式因式分解的多项式有何特
①有且只有两个平方项；
②两个平方项异号；
例3分解因式: (1) 4x2 – 9 ; (2) (x+p)2 – (x+q)2.
分析: 在(1)中,4x2 = (2x)2,9=32,4x2-9 = (2x )2 –3 2, 即可用平方差公式分解因式.